用活教材實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的繼承與發(fā)展

摘要：作為高中數(shù)學(xué)教師，要用活教材，從整體與全局入手，充分理解與體會(huì)編著者的意圖，挖掘數(shù)學(xué)課程所蘊(yùn)含的資源與價(jià)值；更好發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量；從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得到更好的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)得到更好的繼承與發(fā)展。

關(guān)鍵詞：用活教材；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；圓與橢圓；整體設(shè)計(jì)；內(nèi)在聯(lián)系；繼承與發(fā)展

我思故我在。人是靠思想直立的，沒(méi)有“思”是不行的，僅有“思”是不夠的，還必須在“思”的基礎(chǔ)上進(jìn)行“研”，我“研”故我智。作為一名數(shù)學(xué)教師，只有對(duì)教材深入思考與研究，理解和體會(huì)編著者的意圖，才能更好地讓數(shù)學(xué)知識(shí)、方法與思想得到繼承與發(fā)展；讓更多的學(xué)生喜愛(ài)并研究數(shù)學(xué)。因?yàn)閿?shù)學(xué)的育人就要從如何發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，如何才能充分挖掘數(shù)學(xué)課程所蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源；以實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展的需要，培育學(xué)生的理性精神。下面是我在上圓與橢圓內(nèi)容時(shí)所做的一些處理與嘗試。

在必修二上圓的定義時(shí)，我根據(jù)橢圓有兩個(gè)定義這一特點(diǎn)，在講圓的定義后我給學(xué)生拋出了一個(gè)問(wèn)題“在平面上除了用動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定值的點(diǎn)集合來(lái)刻畫(huà)圓外，還有沒(méi)有其他方式？我們今后要學(xué)習(xí)的橢圓可是有兩種刻畫(huà)方式哦！”激起了學(xué)生探究與深入學(xué)習(xí)圓的定義的熱情與興趣。課后我給學(xué)生留了這樣一道題“在平面上，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）到兩定點(diǎn)A（-1，0）與B（1，0）的距離之比為2，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程?！钡诙焐险n講評(píng)告訴學(xué)生答案是x-532+y2=432；引申1：若將題目變成是“在平面上，已知?jiǎng)狱c(diǎn) P（x，y）到兩定點(diǎn)A（-c，0）與B（c，0）的距離之比為m，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。”引申2：圓的第二定義：在平面上，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）到兩定點(diǎn)A（a1，b1）與 B（a2，b2）的距離之比為常數(shù)m（m>0，m≠1），動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓。這樣就為推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，讓學(xué)生對(duì)課本方法理解就更為透徹，從而掌握得更好，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一次繼承與發(fā)展。

章建躍博士就提倡單元整體設(shè)計(jì)教學(xué)，他認(rèn)為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的達(dá)成不是一蹴而就的，它有階段性、連續(xù)性與整合性等特點(diǎn)；所以，整體把握教學(xué)內(nèi)容對(duì)促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展具有重要意義?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀》（下稱《課標(biāo)》）中也這樣寫(xiě)道：無(wú)論是教材的編寫(xiě)，還是教學(xué)的設(shè)計(jì)，都可以考慮改變傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)思路，不是就每一節(jié)課或每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)，而是把一些具有邏輯聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)放在一起進(jìn)行整體設(shè)計(jì)。碎片化的數(shù)學(xué)內(nèi)容，無(wú)法把數(shù)學(xué)的本質(zhì)表述清楚，更無(wú)法體現(xiàn)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)?？梢园堰@樣的整體稱為單元或者主題，把這些內(nèi)容前后照應(yīng)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，就可以在關(guān)注知識(shí)與技能的同時(shí)，思考知識(shí)與技能所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)、體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

在2-1學(xué)習(xí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，在必修一與四學(xué)習(xí)了函數(shù)圖像的伸縮變換，雖然圓與橢圓不是函數(shù)，但它們都存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣就較為自然地從伸縮變換的角度揭示了圓與橢圓的關(guān)系即橢圓可以由圓沿某一方向“壓扁”得到。經(jīng)過(guò)這樣的壓縮后，圓的每條半徑變成連接橢圓中心與橢圓上一點(diǎn)的線段。其中最長(zhǎng)的為長(zhǎng)半軸，最短的為短半軸。圓的大小由半徑?jīng)Q定；橢圓的形狀和大小由長(zhǎng)半軸和短半軸決定。這樣就有效地將圓與橢圓整合在一起，為解決橢圓的一些問(wèn)題做好了較為充分的鋪墊。

如在湘教版第39頁(yè)例3：對(duì)不同的實(shí)數(shù)m，討論直線y=x+m與橢圓x24+y2=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。我們常規(guī)解法是聯(lián)立直線與橢圓方程，消元后通過(guò)Δ來(lái)判斷，其實(shí)我們也可以通過(guò)伸縮變換把橢圓方程與直線方程先進(jìn)行變換成圓與新的直線，利用圓心到直線的距離與半徑的大小也可得出正確答案，過(guò)程如下：令x′=x2y′=y，則直線l：y=x+m可化為2x′-y′+m=0，橢圓x24+y2=1可化為圓O：（x′）2+（y′）2=1，則圓心到直線的距離d=|m|5，所以當(dāng)|m|>5時(shí)，直線與橢圓相離，當(dāng)|m|=5時(shí)，直線與橢圓相切，當(dāng)|m|<5時(shí)，直線與橢圓相交。這樣，就讓學(xué)生再一次感受了圓與橢圓間的密切關(guān)系，也告訴學(xué)生許多問(wèn)題可以通過(guò)化歸與轉(zhuǎn)化的方法來(lái)解決。

雖然我們高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的選擇遵循了以三條原則：基礎(chǔ)性、發(fā)展性與可行性；但模塊化的課程結(jié)構(gòu)，使得同一主題的內(nèi)容分散在不同模塊中，割裂了數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的邏輯聯(lián)系。而發(fā)展性就要求課程要具有自我生長(zhǎng)的活力，容易在新情境中引發(fā)新思想和新方法；可行性是針對(duì)學(xué)生的，相互之間有交叉。所以，如果單純?cè)谀K內(nèi)進(jìn)行教學(xué)是無(wú)法很好實(shí)現(xiàn)發(fā)展性與可行性的；《課標(biāo)》中也這樣寫(xiě)到：學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，是在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)自己的獨(dú)立思考或與他人交流，最終自己“悟”出來(lái)的，是一種逐漸養(yǎng)成的思維習(xí)慣和思想方法。因此，在教學(xué)活動(dòng)中，把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、精心設(shè)計(jì)合適的教學(xué)方案就非常重要。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成是日積月累的結(jié)果，因此需要整體設(shè)計(jì)、分步實(shí)施。

再如在圓中有性質(zhì)：直徑所對(duì)的圓周角等于90°即圓上的動(dòng)點(diǎn)與直徑兩端點(diǎn)連線的斜率之積等于-1。因?yàn)闄E圓x2a2+y2b2=1可由x′=xay′=yb伸縮變換成（x′）2+（y′）2=1，則單位圓上任意一點(diǎn)P（x′，y′）與A（-1，0）、B（1，0）連線的斜率之積為-1即KPA·KPB=y′x′+1·y′x′-1=（y′）2（x′）2-1=-1y2b2x2a2-1=-1y2x2-a2=-b2a2即橢圓上任意一點(diǎn)P（x，y）與長(zhǎng)軸上的兩頂點(diǎn)A（-a，0）、B（a，0）連線的斜率之積為定值-b2a2，這樣很自然地讓學(xué)生理解并推導(dǎo)出了橢圓中重要的一個(gè)結(jié)論；同時(shí)再次讓學(xué)生體驗(yàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的環(huán)環(huán)相扣及數(shù)學(xué)不同章節(jié)之間的繼承與發(fā)展。事實(shí)上這一結(jié)論如果不從橢圓與圓的關(guān)系來(lái)揭示是很難發(fā)現(xiàn)的，雖然證明并不難。章建躍博士就強(qiáng)調(diào)代數(shù)要教歸納，而幾何要教類(lèi)比；研究對(duì)象在變，但研究套路與思想方法不變。

今天，我們沐浴在新世紀(jì)的曙 光里。中國(guó)數(shù)學(xué)教育呼喚著新的變革；素質(zhì)教育要落實(shí)在數(shù)學(xué)課堂上；新一輪數(shù)學(xué)課程改革已經(jīng)拉開(kāi)序幕那就是要深入研究數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，在問(wèn)題引導(dǎo)下進(jìn)行有效研究，這比使用多媒體技術(shù)與計(jì)算機(jī)課件上課更為重要，因?yàn)檫@能讓學(xué)生更好地學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)眾多知識(shí)間的有機(jī)與密切關(guān)聯(lián)，這也正是數(shù)學(xué)的最大價(jià)值——發(fā)展人的思維，讓人變得更聰明而且更愛(ài)學(xué)與善學(xué)。使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中樹(shù)立自信與啟迪智慧。課程標(biāo)準(zhǔn)也認(rèn)為普通高中教育的任務(wù)是促進(jìn)學(xué)生全面而有個(gè)性的發(fā)展，為學(xué)生適應(yīng)社會(huì)生活、高等教育和職業(yè)發(fā)展做準(zhǔn)備，為學(xué)生的終身發(fā)展奠定基礎(chǔ)。愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：“知識(shí)是會(huì)忘記的，留下來(lái)的是教育?！彼哉莆罩R(shí)并不是教育的最終目的，發(fā)展認(rèn)識(shí)力才是教育的最大目標(biāo)。因而我們的教學(xué)應(yīng)該是教會(huì)學(xué)生去思考、去繼承與發(fā)展，進(jìn)而提升自己的認(rèn)識(shí)能力與水平實(shí)現(xiàn)自我的發(fā)展與跨越！

作者簡(jiǎn)介：

林志坤，福建省龍巖市，福建省長(zhǎng)汀一中。