構(gòu)造圖形讓代數(shù)問題思維可視化芻議

林文亮

摘 要 利用構(gòu)造圖形來解決代數(shù)問題，讓代數(shù)問題思維可視化，更有利于學(xué)生的創(chuàng)新思維和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，成就學(xué)生的精彩。

關(guān)鍵詞 代數(shù);問題;思維

中圖分類號：G633.62，B01???????????????????????????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2019）12-0175-01

學(xué)生在解決代數(shù)式、方程、函數(shù)等代數(shù)問題時，往往只用考慮用代數(shù)公式運(yùn)算等代數(shù)的解題方法，卻忽略了數(shù)與形的結(jié)合，而幾何與代數(shù)隔離，限制了學(xué)生思維的發(fā)展，有時還往往不得要領(lǐng)或者只是一知半解。著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授說過：“數(shù)與形，本是相倚依，怎能分作兩邊飛，數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！苯處熢诮虒W(xué)時若能多引導(dǎo)學(xué)生利用構(gòu)造圖形來解決代數(shù)問題，以形表數(shù)，用圖形給學(xué)生建立思維的立腳點(diǎn)與腳手架，讓代數(shù)問題思維可視化，更能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，更有利于落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。而學(xué)生若能熟練掌握用構(gòu)造圖形來解決代數(shù)問題也就相當(dāng)于打通了數(shù)學(xué)的“任督二脈”，學(xué)生在欣賞“數(shù)學(xué)之美”中學(xué)會探究數(shù)學(xué)，感覺數(shù)學(xué)更生活化、更美、更接地氣，也就會更喜歡上數(shù)學(xué)，為終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

一、追根溯源，探究規(guī)律

課本例題：在新人教版八年級上15.3《乘法公式》一節(jié)中出現(xiàn)用面積說明平方差公式的思考題。分析：大正方形面積-小正方形面積=剩余面積。剩余部分可以拼湊為一個邊長為（a+b）、（a-b）的一個矩形。為了讓學(xué)生體會面積拼湊的過程，筆者利用flash軟件制作了可用鍵盤控制圖形旋轉(zhuǎn)與平移的課件，學(xué)生通過動態(tài)的操作，體會通過代數(shù)式轉(zhuǎn)化為圖形的運(yùn)動變化的過程，可以邊操作邊思維，還可以有糾錯改正的余地，真正地用圖形來實(shí)現(xiàn)思維的可視化。學(xué)生通過圖形的重新構(gòu)造不難證明以下結(jié)論：S_剩余面積=S_大-S_小=a²-b²S_剩余面積=（a+b）（a-b）因此，a²-b²=（a+b）（a-b）。運(yùn)用構(gòu)圖法還可以證明完全平方公式：（a+b）²=a²+2ab+b²、（a-b）²=a²-2ab+b²。通過對公式的證明，讓學(xué)生體會構(gòu)圖法可以把代數(shù)與幾何完美地結(jié)合在一起，更深刻體會數(shù)形結(jié)合的思想。

二、趣味試題，激發(fā)興趣

例題：求代數(shù)式的最小值.若用常規(guī)代數(shù)方法學(xué)生則可能是一籌莫展，我引導(dǎo)學(xué)生可另辟捷徑采用構(gòu)造圖形法來解決問題。

構(gòu)造方法：，先設(shè)線段BD=12，再分別過點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，且讓AB=3，DE=2，設(shè)C為線段BD上一動點(diǎn)，連接AC、EC，設(shè)CD=x.再設(shè)置以下兩個提示問題：

（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長;

（2）請問點(diǎn)C滿足什么條件時，AC+CE的值最??？

學(xué)生就可由兩點(diǎn)間線段最短不難得出代數(shù)式的最小值其實(shí)就是線段AE的長了.本題巧用構(gòu)造圖形來顯示各個量的關(guān)系和變化，

為學(xué)生探究解題思路提供“思維可視化”.而構(gòu)造圖形的關(guān)鍵在于敏銳的觀察和合理的聯(lián)想，通過研究其幾何特征，能使抽象的數(shù)量關(guān)系在圖形上直觀地呈現(xiàn)出來，使問題變得簡單.

三、以形解數(shù)，柳暗花明

在解決三角函數(shù)問題的學(xué)習(xí)中更是少不了圖形的構(gòu)造了。例：已知tan30°和tan45°的值，你能求出tan75°的值嗎？對初中學(xué)生而言因不能直接利用公式，因而很多學(xué)生都“無路可走”，而利用構(gòu)造圖形法卻能使問題“柳暗花明”。以下是解答思路：

首先得先把45°角和30°角都要構(gòu)在一個直角三角形中，其次構(gòu)一線三直角，為了有75°角，想到平行角相等，所以構(gòu)造矩形.

具體操作的時候可以按如下步驟：

（1）作一個45°角（∠O）如圖;

（2）在∠O終邊上取點(diǎn)A向角的外部作垂線，構(gòu)造∠AOB=30°（也即以OA為公共邊向外構(gòu)造一個含30°角的直角三角形ABO）;

（3）過點(diǎn)A，B，O三點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，框成一個矩形OCDE，有此得到∠EBO=∠BOC=75°;

（4）由一線三直角得到兩個陰影的三角形相似，相似比為AB和OA的比1：，不妨令BD為1，由45°則AD=BD=1，由相似比知OC=AC=，所以OE=CD=+1，EB=ED-BD=-1，順時針標(biāo)出矩形邊上各線段的值得出tan∠EBO=tan∠BOC=tan75°=.

構(gòu)圖法是數(shù)形結(jié)合思想的一個重要形式，是一種創(chuàng)造性的解題方法，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，若能啟發(fā)學(xué)生從“構(gòu)造圖形”渠道進(jìn)行廣泛的聯(lián)想則能得到許多構(gòu)思巧妙、新穎獨(dú)特、簡捷有效的解題方法。

總之，在解決代數(shù)問題時，若有了圖形的借助，能把學(xué)生從枯燥的數(shù)學(xué)語言、符號用圖形直觀呈現(xiàn)出來，若把一個個數(shù)字和符號組合轉(zhuǎn)化成一個個圖形，使其能“看得到、摸得著”，就如同“可視化”一般，則數(shù)學(xué)也就生動活潑了。圖形化也是體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的和諧美，不僅對學(xué)生的多元思維培養(yǎng)、學(xué)習(xí)興趣的提高以及獨(dú)創(chuàng)鉆研精神的發(fā)揮無疑也是十分有利的，而且還對培養(yǎng)學(xué)生探究能力和建模能力有積極作用.毛作為教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生去體會、理解和運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想方法，借圖發(fā)揮，讓思維可視化，成就學(xué)生的精彩。不僅可以提升學(xué)生數(shù)形互用解題的能力，

參考文獻(xiàn)：

[1]梅延峰.例談教材中的構(gòu)造法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2018（05）.

[2]陳炎.構(gòu)造幾何圖形巧解代數(shù)問題[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017（02）.

基金項目：本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度專項研究課題“初中數(shù)學(xué)思維可視化教學(xué)研究”（立項編號：FJJKXB18-478）