利用最小二乘支持向量機(jī)求解潛艇內(nèi)外磁場(chǎng)映射模型*

劉勝道，何保委，趙文春，周?chē)?guó)華

(海軍工程大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 湖北 武漢 430033)

磁隱身技術(shù)是保障潛艇生命力的重要手段，主要方法是潛艇定期前往消磁站進(jìn)行消磁處理，以降低大部分固定磁場(chǎng)；其次，消磁系統(tǒng)能夠有效地補(bǔ)償感應(yīng)磁場(chǎng)和部分剩余固定磁場(chǎng)。由于地球磁場(chǎng)、海浪沖擊、鐵磁設(shè)備運(yùn)行等因素影響，潛艇的固定磁場(chǎng)會(huì)逐漸積累，最終超出控制指標(biāo)，而目前的消磁系統(tǒng)不能實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)和補(bǔ)償固定磁場(chǎng)的變化[1-2]。為實(shí)現(xiàn)對(duì)潛艇生命力的最佳保護(hù)，提高消磁保障效率，應(yīng)對(duì)潛艇的固定磁場(chǎng)進(jìn)行實(shí)時(shí)跟蹤和補(bǔ)償。

由內(nèi)部磁場(chǎng)來(lái)推算外部磁場(chǎng)是其中一種有效的監(jiān)測(cè)手段，即在潛艇內(nèi)部特征位置安裝多個(gè)磁傳感器，通過(guò)測(cè)量潛艇內(nèi)部磁場(chǎng)來(lái)實(shí)時(shí)推算其在某一深度或高度的磁場(chǎng)值。文獻(xiàn)[3-5]推導(dǎo)了基于虛擬磁源法的磁場(chǎng)推算模型，文獻(xiàn)[6]在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了空心圓筒實(shí)驗(yàn)；文獻(xiàn)[7-8]采用了徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，并提高了推算精度。上述實(shí)驗(yàn)中，內(nèi)部磁傳感器懸吊在船模內(nèi)部的方式并不符合實(shí)際。從安全性出發(fā)，內(nèi)部磁傳感器一般布置在兩層殼體之間，此時(shí)傳感器距離殼體和鐵磁設(shè)備非常接近，其測(cè)量值所受影響也相當(dāng)大，而且固定磁場(chǎng)的變化具有不確定性，因此其外推方法一直制約著閉環(huán)消磁技術(shù)的發(fā)展。

在艦艇消磁勤務(wù)中，通常十?dāng)?shù)次通電即可完成消磁任務(wù)，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法一般需要大量數(shù)據(jù)用于訓(xùn)練模型，傳統(tǒng)的深度換算更不可能進(jìn)行外部磁場(chǎng)推算。本文提出了基于最小二乘支持向量機(jī)(Least Squares Support Vector Machine, LS-SVM)的潛艇內(nèi)外磁場(chǎng)映射方法，采用雙殼體潛艇模型作為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，將內(nèi)部磁傳感器布置在夾層之間，以潛艇外部垂向固定磁場(chǎng)為研究對(duì)象，進(jìn)行了仿真分析和艇模實(shí)驗(yàn)。

1 基于LS-SVM的磁場(chǎng)映射原理

1.1 內(nèi)外映射法原理

磁場(chǎng)的變化來(lái)源于磁矩的變化[5]。對(duì)于同一個(gè)磁源來(lái)說(shuō)，測(cè)量點(diǎn)的磁場(chǎng)變化量與磁矩變化量的關(guān)系式為：

ΔH=C·ΔM

(1)

式中：ΔH是磁場(chǎng)變化量，C是測(cè)量點(diǎn)磁場(chǎng)和磁源的關(guān)系矩陣，ΔM是磁矩變化量。

對(duì)于同一艘潛艇，可以分別得到其內(nèi)外磁場(chǎng)與磁源的關(guān)系。

(2)

其中：ΔHn和ΔHw分別是潛艇內(nèi)外磁場(chǎng)變化量，Cn和Cw分別是內(nèi)外磁場(chǎng)和磁源的關(guān)系矩陣，[ΔM1ΔM2…ΔMk]是每一個(gè)磁矩的變化量。

式(2)最終可化為：

ΔHw=K·ΔHn

(3)

式中，K是由內(nèi)到外的磁場(chǎng)映射矩陣。測(cè)量點(diǎn)一旦固定，K即為常數(shù)。這表明只需得到多組潛艇內(nèi)外磁場(chǎng)值用于求解K，即可通過(guò)內(nèi)部磁場(chǎng)直接推算出外部磁場(chǎng)。

1.2 LS-SVM原理

潛艇內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，鐵磁設(shè)備繁多，固定磁場(chǎng)在航行過(guò)程中不斷積累和變化，具有不確定性，直接求解K十分困難。

最小二乘支持向量機(jī)是基于支持向量機(jī)的改進(jìn)算法，它區(qū)別于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中依賴(lài)樣本數(shù)量的經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化原理，采用了結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化準(zhǔn)則[9]，不單純追求損失函數(shù)最小化，有效避免了在小樣本條件下的過(guò)擬合現(xiàn)象。

LS-SVM用于回歸預(yù)測(cè)的基本思想是將樣本映射至高維空間，通過(guò)構(gòu)建決策函數(shù)，把非線(xiàn)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性問(wèn)題。LS-SVM能夠解決具有小樣本、特征點(diǎn)多、局部變化等特點(diǎn)的分類(lèi)與回歸問(wèn)題，非常適用于解決固定磁場(chǎng)推算這類(lèi)應(yīng)用。其基本原理如下：

給定樣本D={(xi,yi),i=1,2,…,k,xi∈Rm,yi∈Rn}，xi和yi分別為輸入和輸出矩陣，通過(guò)映射函數(shù)φ(x)將樣本映射至高維空間。

y=ωΤφ(x)+b

(4)

式中：ω為權(quán)值矩陣，b為偏置量。

基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原理，該模型需要解決以下規(guī)劃問(wèn)題：

(5)

yi=ωΤφ(xi)+b+ei,i=1,2,…,k

(6)

其中：J為懲罰函數(shù)，e為輸出誤差，γ為懲罰參數(shù)。

此時(shí)對(duì)式(5)和式(6)引入拉格朗日函數(shù)，則有：

(7)

式中，?i為拉格朗日系數(shù)。

分別對(duì)參數(shù)ω、b、e、?求偏導(dǎo)，根據(jù)KKT條件[10]消除變量ω和e，式(4)的最終回歸函數(shù)為：

(8)

1.3 交叉驗(yàn)證法優(yōu)化LS-SVM參數(shù)

LS-SVM模型參數(shù)的選取對(duì)訓(xùn)練效果影響巨大，其中最主要的是樣本懲罰參數(shù)γ和核函數(shù)參數(shù)σ，常用的尋優(yōu)方法有交叉驗(yàn)證法、粒子群算法、網(wǎng)格搜索法和遺傳算法[11]等。采用網(wǎng)格搜索法結(jié)合10折交叉驗(yàn)證法來(lái)尋找最佳參數(shù)，優(yōu)化映射模型，既能保證訓(xùn)練精度也能滿(mǎn)足訓(xùn)練效率。交叉驗(yàn)證法基本流程如下：

步驟1：不重復(fù)抽樣將原始數(shù)據(jù)隨機(jī)分成10份。

步驟2：每一次挑選其中1份作為測(cè)試集，剩余9份作為訓(xùn)練集。

步驟3：多次重復(fù)步驟2，使得每個(gè)子集都有一次機(jī)會(huì)作為測(cè)試集。

步驟4：每次訓(xùn)練得到一個(gè)模型，用這個(gè)模型在測(cè)試集上測(cè)試，保存模型的參數(shù)指標(biāo)。

步驟5：計(jì)算10組測(cè)試結(jié)果的誤差平均值作為該模型的最終性能指標(biāo)。

2 仿真分析

2.1 建模準(zhǔn)備

仿真分析采用雙殼體潛艇簡(jiǎn)易模型，其參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 潛艇模型參數(shù)

表1中，艇模的磁導(dǎo)率為200，內(nèi)部含有若干小立方體殼模擬鐵磁設(shè)備。27個(gè)內(nèi)部磁傳感器環(huán)繞內(nèi)殼沿艇?？v向分布，15個(gè)外部磁傳感器沿龍骨正下方放置于標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量平面，如圖1所示。

圖1 艇模內(nèi)部示意圖Fig.1 Sketch map of submarine model

將艇模剖分成若干單元，每個(gè)單元的磁化強(qiáng)度可認(rèn)為是常數(shù)。由積分方程法[12]反演得到磁矩，通過(guò)改變固定磁矩大小，同時(shí)得到若干組內(nèi)外固定磁場(chǎng)用于后續(xù)的數(shù)值計(jì)算。值得注意的是，任何物體的磁矩都不是獨(dú)立的，相鄰的磁矩間存在連續(xù)性，即單個(gè)磁矩不能發(fā)生過(guò)強(qiáng)的突變。因此，在給定磁矩變化量時(shí)，相鄰磁矩的變化量必定是連續(xù)變化的。積分方程法流程如圖2所示。

圖2 積分方程法流程圖Fig.2 Diagram of integral equation method

2.2 仿真結(jié)果

仿真共獲取100組內(nèi)外磁場(chǎng)值，將第一組作為測(cè)試樣本，其余組作為訓(xùn)練樣本，研究在樣本數(shù)目不同的情況下，對(duì)外部磁場(chǎng)推算結(jié)果的影響。定義誤差計(jì)算公式為：

(9)

式中：ΔH′w為推算值，ΔHw為仿真值，n為外部測(cè)量點(diǎn)數(shù)。

將外部垂向磁場(chǎng)仿真值作為標(biāo)準(zhǔn)值,分別計(jì)算LS-SVM算法和徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Radius Basis Function Neural Network, RBFNN)算法推算值的誤差，結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 訓(xùn)練樣本不同時(shí)LS-SVM和RBFNN推算誤差比較

由表2可知，隨著訓(xùn)練樣本的減少，LS-SVM算法的誤差相差不大，而RBFNN算法因?yàn)槭チ瞬糠钟行?shù)據(jù)，誤差有所增大。

因此，將每一組數(shù)據(jù)作為測(cè)試樣本，其余99組作為訓(xùn)練樣本，得到每一組測(cè)試樣本所對(duì)應(yīng)的外部磁場(chǎng)推算值，推算誤差如圖3所示。

圖3 仿真分析下LS-SVM和RBFNN推算誤差比較Fig.3 Extrapolation error comparison of LS-SVM and RBFNN of simulated analysis

最小二乘支持向量機(jī)的推算精度明顯優(yōu)于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，其誤差一般在4%以下，最大誤差為10.02%。由于固定磁場(chǎng)變化復(fù)雜，訓(xùn)練樣本過(guò)少，造成RBFNN推算結(jié)果誤差很大甚至失真。相比之下，LS-SVM能夠降低因上述問(wèn)題所帶來(lái)的誤差。

3 艇模實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

在潛艇的兩層殼體之間布置27個(gè)三分量磁傳感器作為內(nèi)部測(cè)量點(diǎn)，潛艇模型外殼封裝完畢后，將其放在測(cè)量平臺(tái)上，在龍骨正下方標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量深度平面放置15個(gè)磁傳感器作為外部測(cè)量點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)過(guò)程如下：

步驟1：測(cè)量艇模原始磁場(chǎng)。

步驟2：隨機(jī)改變縱向、橫向或垂向補(bǔ)償線(xiàn)圈電流，同時(shí)給工作線(xiàn)圈施加交變衰減的電流，從而改變艇模的固定磁場(chǎng)。

步驟3：每次通電完畢后，斷開(kāi)所有電流，記錄此時(shí)的內(nèi)外磁場(chǎng)值，再進(jìn)行下一次通電。

步驟4：將所有磁場(chǎng)值匯總處理。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)共獲取100組磁場(chǎng)值，取其中1組作為測(cè)試樣本，其余99組作為訓(xùn)練樣本，得到每一組測(cè)試樣本所對(duì)應(yīng)的外部磁場(chǎng)推算值。將外部垂向磁場(chǎng)測(cè)量值作為標(biāo)準(zhǔn)值，分別計(jì)算LS-SVM算法和RBFNN算法推算值的誤差，結(jié)果如圖4所示。

圖4 實(shí)驗(yàn)分析下LS-SVM與RBFNN推算誤差比較Fig.4 Extrapolation error comparison of LS-SVM and RBFNN of experimental analysis

在艇模實(shí)驗(yàn)中，最小二乘支持向量機(jī)的推算精度同樣明顯優(yōu)于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，其誤差一般在 6%以下，最大誤差為12.76%。

3.3 誤差分析

仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都證明了基于LS-SVM的內(nèi)外映射法能夠準(zhǔn)確得到潛艇外部固定磁場(chǎng)的變化量。其中實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生誤差的原因主要有以下兩個(gè)方面：

1)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，磁傳感器受外界環(huán)境干擾而發(fā)生變化；

2)傳感器存在測(cè)量誤差以及算法本身的計(jì)算誤差。

4 結(jié)論

本文采用基于LS-SVM的內(nèi)外磁場(chǎng)映射方法來(lái)推算潛艇外部垂向固定磁場(chǎng)，仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，在誤差范圍內(nèi)能夠滿(mǎn)足技術(shù)要求。與RBFNN算法相比，LS-SVM有著更好的泛化能力和推算精度，且不需要大量的樣本用于訓(xùn)練模型，符合艦艇消磁勤務(wù)工作實(shí)際，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。下一步研究考慮在該方法的基礎(chǔ)上，對(duì)內(nèi)部磁傳感器的安裝位置及數(shù)目進(jìn)行優(yōu)化，不斷提高推算精度。