金屬橡膠阻感數(shù)學(xué)模型建立*

楊鳳彪，孫世宇，2，王 寧

（1.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)，石家莊050003；2.山東華宇工學(xué)院，山東 德州253034；3.中國兵器科學(xué)研究院，北京100081）

0 引言

金屬橡膠的耐高低溫、耐腐蝕、抗輻射、真空不揮發(fā)、不易老化等特點是傳統(tǒng)橡膠不可比擬的，因此，在武器裝備、航空航天等國防、工業(yè)領(lǐng)域嚴(yán)苛環(huán)境下的減振緩沖、吸聲降噪、過濾、調(diào)壓、密封等得到了廣泛應(yīng)用。

金屬橡膠的制備工藝及其內(nèi)部螺旋狀不銹鋼絲的排列組織結(jié)構(gòu)，決定了金屬橡膠是一種各向異性材料，在成型方向可以承受較大的壓縮載荷，但抗拉伸、抗剪切性能較弱，尤其在承受高頻動態(tài)拉伸或側(cè)向剪切載荷時，極易導(dǎo)致螺旋卷不銹鋼絲之間致密的組織結(jié)構(gòu)剝離，甚至出現(xiàn)不銹鋼絲勞損斷裂的現(xiàn)象，使用壽命大大降低。目前，國內(nèi)外學(xué)者對如何提高金屬橡膠非成型方向的力學(xué)性能開展了相關(guān)研究［1-8］，對金屬橡膠進(jìn)行脈沖電流燒結(jié)是業(yè)界比較認(rèn)可的一種方法。文獻(xiàn)［9］研究了金屬橡膠材料的溫度特性，從理論上推導(dǎo)了金屬橡膠材料的線膨脹系數(shù)與金屬材料的線膨脹系數(shù)的關(guān)系，并進(jìn)行了相關(guān)的試驗研究，揭示了金屬橡膠材料熱膨脹受溫度變化的影響特性。文獻(xiàn)［10］對金屬橡膠材料坯料的編織過程和電脈沖強(qiáng)化系統(tǒng)進(jìn)行了介紹，提出一種通過監(jiān)測金屬橡膠動態(tài)電阻瞬時值變化速度對金屬橡膠燒結(jié)質(zhì)量進(jìn)行評估的方法。文獻(xiàn)［11］從內(nèi)部組織結(jié)構(gòu)形態(tài)闡述了金屬橡膠非連續(xù)體材料電阻的產(chǎn)生機(jī)理和影響因素，分析了電脈沖強(qiáng)化后金屬橡膠材料電阻與壓力的非線性特征，以及與靜態(tài)剛度之間的聯(lián)系。

目前，國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者在金屬橡膠脈沖電流燒結(jié)研究時，更多地關(guān)注于等效電阻。由制備金屬橡膠的不銹鋼絲螺旋狀結(jié)構(gòu)可知，螺旋狀金屬絲必然伴隨有電感效應(yīng)，金屬橡膠通過脈沖電流時，內(nèi)部電流的分布將受到電阻、電感共同作用。金屬橡膠等效電感的存在必然會對電流的分布及波形造成影響，因此，在對金屬橡膠進(jìn)行電參數(shù)模型建立時，電感是不能忽略的。

1 金屬橡膠空間結(jié)構(gòu)分析

金屬橡膠是由不銹鋼絲之間相互交錯、搭接、勾連形成的空間網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，其內(nèi)部組織結(jié)構(gòu)決定了不銹鋼螺旋卷絲之間勾連接觸點的數(shù)量、接觸形式、接觸電阻等參數(shù)，這些參數(shù)對于金屬絲勾連搭接處焊接點形成及焊接質(zhì)量有著重要影響。常見的圓柱形金屬橡膠外觀如圖1所示。

圖1 圓柱形金屬橡膠

由金屬橡膠內(nèi)部接觸微元結(jié)構(gòu)組成可知，金屬橡膠的電阻特性由金屬絲本身電阻與接觸電阻組成，且為空間網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)模型，如圖2所示。圖中，紅色圓柱代表接觸電阻，設(shè)為RC；墨綠色圓柱代表兩個接觸點之間金屬絲的電阻，設(shè)為RM；黃色線代表各個電阻的連接線，可以看成電阻率為零的理想導(dǎo)線。由模型結(jié)構(gòu)可知，金屬橡膠內(nèi)部為一系列電阻的串并聯(lián)。由于接觸形式不同、接觸點之間金屬絲長度不同，各個接觸電阻和金屬絲電阻的取值存在差異，造成在金屬橡膠電流燒結(jié)過程中，各條電阻支路上的電流不均勻，電阻小的流過電流較大。

假定接觸電阻及其一端的金屬絲為一條通電支路，則該支路電阻為：

其中，RC1為接觸電阻；RMi為并聯(lián)金屬絲的等效電阻，a為與其他接觸電阻之間的并聯(lián)支路數(shù)，最小為1。式（1）最后一項包括了與其他接觸電阻之間連接金屬絲數(shù)不同的各種情況。將金屬橡膠按照空間結(jié)構(gòu)分層考慮，如果每層電阻相同，則金屬橡膠總等效電阻為：

n為層數(shù)，m為每層的并聯(lián)通電支路數(shù)，RZj為并聯(lián)通電支路電阻。

圖2 金屬橡膠電阻空間結(jié)構(gòu)模型

金屬橡膠金屬絲的螺旋結(jié)構(gòu)，形成了空心電感L，對高頻脈沖電流的流通具有一定的阻礙作用，勢必也對電流的分布造成影響。由于接觸區(qū)域相對較小，如果忽略該處的電感值，那么接觸區(qū)域只有電阻作用，由于金屬絲可等效為電感、電阻串聯(lián)結(jié)構(gòu)，則在圖2中，各個墨綠色圓柱可表示為并聯(lián)金屬絲的等效電抗Z，根據(jù)式（1）、式（2）可得金屬橡膠的等效電抗為：

2 金屬橡膠阻感參數(shù)模型

金屬橡膠在進(jìn)行燒結(jié)時，需要施加一定的壓力，以保證金屬絲的可靠接觸及產(chǎn)生一定的壓入深度和鍛造力，由于其內(nèi)部結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，在不同壓力作用下，金屬橡膠內(nèi)部微結(jié)構(gòu)的滑移、變形等無法進(jìn)行精確預(yù)測，等效電阻、電感的變化有較大隨機(jī)性，因此，需要通過實驗對這些參數(shù)進(jìn)行測定。

試驗原理電路如圖3所示，電容C容量為10 F；上下電極為紫銅材質(zhì)，上電極可以縱向位移，用以對金屬橡膠施加一定壓力；K為開關(guān)，控制電容的放電電路的通斷；用電流傳感器檢測放電回路電流，傳輸比20 A/5 V。試驗初始條件為：電容充電到5 V、對金屬橡膠施加50 N的壓力；放電時間設(shè)定為600 ms；試件采用10 g質(zhì)量的柱形金屬橡膠。由于金屬橡膠的阻感特性，放電電路拓?fù)錇镽LC串聯(lián)二階電路，其中，R、L和C為放電回路的總電阻、電感和電容值，由于儲能電容C的容量較大，可以忽略線路中的雜散電容。

圖3 金屬橡膠阻感特性試驗電路

金屬橡膠試件在一定的壓力條件下，其電阻R、電感量L為恒定值，根據(jù)電路理論［12］可知，放電回路的KVL方程為表達(dá)式為：

根據(jù)微分方程理論可知，式（3）解的形式由方程特征根的性質(zhì)而定，其特征方程為：

兩個特征根為：

放電電流波形如圖4所示，圖中放電電流曲線分為兩個階段，第1階段為有效放電測試階段，電容儲能主要在本階段釋放；第2階段為關(guān)閉開關(guān)K很短時間后，再重新導(dǎo)通的波形，以將電容儲能完全釋放。

圖4 電容放電電流波形

由圖3所示波形可知，電容放電電流為非振蕩波形，屬于過阻尼情況，式（5）的兩個值為不相等的負(fù)實數(shù)，式（3）的解可表示為：

根據(jù)電容電壓、電流的伏安特性可知，電流表達(dá)式：

其中，C為10 F，而K1、K2、S1、S2為需確定的4個未知量，在圖3所示波形上取4個點，時間為120 ms、240 ms、360 ms和480 ms，與此4個時間點對應(yīng)的電流值經(jīng)過換算后分別為38.93 A、37.71 A、34.12 A和30.55 A，根據(jù)式（7）建立微分方程組：

利用MATLAB軟件進(jìn)行求解，得到未知量的值分 別 為：K1=-47.252 3；K2=-1.645 4；S1=-0.907；S2=-21.76 3。將這4個值代入式（5）求得放電回路的總電阻和電感值為：L=5.066 mH，R=115.6 mΩ。用M4070型LCR表測得放電線路雜散電感量約為4μH；用QJ57型直流電阻電橋測量放電線路的電阻值約為0.5 mΩ，線路電阻和電感的數(shù)值較低，對放電電流的影響可忽略。根據(jù)電容生產(chǎn)廠家提供的技術(shù)參數(shù)，電容的等效串聯(lián)電阻為80 mΩ，因此，可知，金屬橡膠在50 N壓力下等效電阻值為35.1 mΩ，等效電感為5.066 mH。

對同型號金屬橡膠試件進(jìn)行不同壓力條件下放電試驗，壓力從10 N逐步增加到200 N，每次增加10 N，采用同樣的計算方法，得到等效電阻、電感數(shù)據(jù)如下頁表1所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，金屬橡膠的等效電阻、電感值隨壓力的變化呈非線性，從而表征了金屬橡膠的非線性特性。但對金屬橡膠進(jìn)行電流燒結(jié)時，希望獲得其比較精確的數(shù)學(xué)模型，以控制燒結(jié)電流的有效值與燒結(jié)時間。利用曲線擬合的方法對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到金屬橡膠等效電阻、電感與壓力的關(guān)系分別為：

其 中，a=0.016 9，b=1.775，P1=3.281，P2=-8.224，P3=1.67，P4=6.782，P5=-1.152，P6=-6.753，P7=26.49。

表1 不同壓力下放電試驗測試的阻感值

其中，a1=0.363 5，b1=42.33，c1=7.778，a2=5.416，b2=80.82，c2=34.5，a3=3.537，b3=31.12，c3=30.98，a4=-4.25，b4=82.89，c4=34.11，a5=0.729 8，b5=109.4，c5=43.02，a6=3.469，b6=192.2，c6=162.8。

本文利用MATLAB軟件對金屬橡膠的電阻值試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行2、3、8次多項式及指數(shù)曲線擬合，如圖5所示。其中，poly6為電阻方程擬合曲線；poly2、poly3、poly8、exp1分別為2、3、8次多項式及指數(shù)擬合曲線；x坐標(biāo)為壓力；y坐標(biāo)為電阻。可以發(fā)現(xiàn)，電阻方程曲線與試驗數(shù)據(jù)擬合比較準(zhǔn)確。

圖5 金屬橡膠電阻曲線擬合

同樣利用MATLAB軟件對金屬橡膠的電感值試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行6次多項式及指數(shù)曲線擬合，如圖6所示。其中Gaussian為電感擬合方程曲線；poly6、exp1分別為6次多項式及指數(shù)擬合曲線；橫坐標(biāo)N為壓力；縱坐標(biāo)為電感值；可以發(fā)現(xiàn)，電感方程曲線與試驗數(shù)據(jù)具有良好的擬合特性。

圖6 金屬橡膠電感曲線擬合

根據(jù)圖5及圖6擬合曲線變化趨勢，金屬橡膠的電阻值在壓力較小的情況下等效電阻較大，隨著壓力的增加，電阻下降很快，當(dāng)壓力達(dá)到50 N的時候，電阻值變化較為緩慢，到后期逐漸穩(wěn)定；電感量在壓力施加的初始階段比較小，而后增加，在40 N壓力的情況下又開始緩慢下降直至比較穩(wěn)定。經(jīng)過分析認(rèn)為：在施加壓力的初始階段，金屬橡膠內(nèi)部各個微元相互接觸比較松散，接觸電阻較大，隨著壓力增加微元之間的接觸變得緊密，接觸電阻減小，金屬橡膠的電阻快速下降，到后期各個微元接觸點處達(dá)到了可壓入深度的彈性限值，故趨于穩(wěn)定；金屬絲螺旋結(jié)構(gòu)在壓力較小的時候，螺距較大，電感量較小，隨著壓力的逐步增大，螺距受壓減小，故電感量有所增加，當(dāng)螺距減小到零，使金屬絲螺旋完全接觸后，電感量減小，到后期，各個接觸微元趨于穩(wěn)定接觸，電感量減小緩慢，并趨向于恒定，且在外加壓力情況下，金屬橡膠內(nèi)部應(yīng)力增大，外部的金屬絲擠壓向外擴(kuò)張，電感量主要集中在金屬橡膠外圍區(qū)域。

3 燒結(jié)試驗驗證

表2 柱狀試件在不同電容電壓下試驗數(shù)據(jù)

對柱狀金屬橡膠試件在燒結(jié)時間為500 ms、壓力為50 N情況下，改變電容電壓進(jìn)行寬脈沖燒結(jié)的試驗數(shù)據(jù)如表2所示，根據(jù)數(shù)據(jù)表繪制的電容初始電壓、終止電壓、放電電流峰值波形如圖7所示；燒結(jié)效果如圖8所示，8圖（a）～圖（c）分別為第6～8次試驗的燒結(jié)效果。

圖7 柱狀試件電流和電壓變化曲線

圖8 柱狀試件不同電容電壓下的燒結(jié)效果

從圖7電流、電容電壓變化曲線可以看出，在壓力一定時，金屬橡膠的等效電阻、等效電感為一定值。從圖8的燒結(jié)效果可以看出，隨著電容初始電壓的增大，燒結(jié)電流增加，金屬橡膠出現(xiàn)黑色區(qū)域的面積擴(kuò)大，但主要集中在金屬橡膠中心區(qū)域，說明在燒結(jié)過程中，等效電感主要分布在外圍區(qū)域，使電流主要流經(jīng)金屬橡膠內(nèi)部區(qū)域，因此，燒結(jié)點的位置及所需燒結(jié)能量須充分考慮等效電感的作用。

4 結(jié)論

本文基于金屬橡膠內(nèi)部組織結(jié)構(gòu)關(guān)系建立了金屬橡膠空間結(jié)構(gòu)電路拓?fù)淠Ｐ?；根?jù)制備金屬橡膠的不銹鋼絲螺旋結(jié)構(gòu)，指出金屬橡膠的電參數(shù)數(shù)學(xué)模型中電感的重要性。采用試驗測定、曲線擬合的方法得到了金屬橡膠的阻感數(shù)學(xué)模型，并對相關(guān)分析進(jìn)行了試驗驗證，可得出以下結(jié)論：

1）根據(jù)試驗測定、曲線擬合得到的金屬橡膠等效電阻、電感回歸數(shù)學(xué)方程能夠很好地表述在不同壓力下參數(shù)的變化關(guān)系，同時彌補(bǔ)了目前金屬橡膠等效電參數(shù)模型只考慮電阻效應(yīng)的不足。

2）在壓力不變的情況下，金屬橡膠的等效電阻、電感可以視為定值，對于燒結(jié)時間、燒結(jié)電流的確定具有一定指導(dǎo)意義。

3）在對金屬橡膠施壓燒結(jié)情況下，由于內(nèi)部不銹鋼絲互相擠壓接觸，使其外圍出現(xiàn)擴(kuò)張現(xiàn)象，等效電感主要分布于外圍區(qū)域，使得電流主要分布于中心區(qū)域。