基于擴(kuò)展O-U模型的天氣期權(quán)定價及數(shù)據(jù)信息應(yīng)用分析

姚譽

摘要：天氣期權(quán)不斷發(fā)展，政府多次提出推廣農(nóng)產(chǎn)品“期權(quán)+期貨”，天氣期權(quán)在農(nóng)業(yè)的應(yīng)用成為研究重點。本文利用拓展的O-U模型，通過傅里葉變換、自回歸方程、AR-GARCH等，以1951-2017年數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計，預(yù)測大連市2018年的日均氣溫，吻合度較高，可應(yīng)用于模擬期權(quán)定價。此外，分析其在玉米期權(quán)（GDDs、MGDDs）中應(yīng)用的可行性和誤差，并提出在農(nóng)業(yè)中應(yīng)用期權(quán)的建議。

關(guān)鍵詞：天氣期權(quán);O-U模型;玉米期權(quán)

中圖分類號：F832 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1007-9416（2019）05-0128-03

0 引言

隨著全球氣候變暖，氣象災(zāi)害頻發(fā)，異常天氣事件對社會經(jīng)濟(jì)活動產(chǎn)生了嚴(yán)重影響。對天氣敏感的企業(yè)，如：能源、農(nóng)業(yè)、交通運輸業(yè)、旅游業(yè)等均面臨天氣風(fēng)險。其中，農(nóng)業(yè)對天氣的依賴性最強(qiáng)，因此，國外多采用天氣衍生品、農(nóng)業(yè)保險等多種綜合手段來保障農(nóng)民收益。我國也在加大對天氣期權(quán)期貨的研究試點。

天氣衍生品市場正在不斷發(fā)展，其中氣溫期權(quán)期貨發(fā)展得最為迅速。氣溫期權(quán)將氣溫指數(shù)化模擬股指作為交易的標(biāo)準(zhǔn)。但由于氣溫指數(shù)本身的不可交易性，Davis（2001）等認(rèn)為B-S模型不適用于天氣類指數(shù)。此外，對氣溫的預(yù)測是氣溫期權(quán)定價的前期條件。Campbell（2005）用時間序列來進(jìn)行天氣預(yù)測，在短期和長期預(yù)測中都有具有可行性。李永（2011）中以上海市為例，進(jìn)行了天氣預(yù)測，精度檢驗極高，具有良好的預(yù)測效果。

本文運用李永（2013）的建模方法，以大連市為例，進(jìn)行氣溫期權(quán)的分析研究。第一部分，是將1951-2017的日均氣溫數(shù)據(jù)作為時間序列，以擴(kuò)展的O-U模型建模，包含季節(jié)、氣溫周期性變化、氣溫波動等因素。第二部分，采用傅里葉變換、自回歸過程、AR-GARCH模型估計氣溫模型的各個參數(shù)。第三部分，擬合2018年的數(shù)據(jù)，進(jìn)行精度檢驗，并模擬GDDs期權(quán)的定價及對沖農(nóng)業(yè)風(fēng)險的可行性。

1 拓展O-U模型

均值回歸的Ornstein-Uhlenbeck過程的一般方程為：

dx（t）=-α（x（t）-μ）dt+σdw（t）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

本文將從季節(jié)變化、周期性變化、波動率來建立模型：

dTt=dSt+αtdt+σtdw（t）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

其中，Tt是大連市的第t天的日均氣溫，St是氣溫的總趨勢，是對Tt的長期趨勢擬合，α是均值回復(fù)速率，σt是各時期的波動率，w（t）是維納過程。

1.1 長期趨勢和季節(jié)變化

大連氣溫具有明顯的四季變化，大體上呈現(xiàn)周期波動的情況，因此考慮通過傅里葉變換來擬合。其次，由于二氧化碳含量的逐年增加，用線性方程a+bt來表示溫度的長期增長趨勢。

St=a+bt+aisin+bicos? （3）

其中，m1，n1需要通過擬合1951-2017的數(shù)據(jù)來確定，傅里葉變換的級數(shù)。

1.2 均值回復(fù)速率

均值回復(fù)的速率需要通過分析Tt和St之間殘差的關(guān)系，得到估計。由李永（2013）可知，氣溫一般存在自回歸過程，用方程表示如下：

αt=ci（Tt-i-St-i）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4）

其中，p是具體回歸的階數(shù)，p的選擇需要基于和AIC等準(zhǔn)則和ACF、PACF的圖像。

1.3 波動率

通常，夏季溫度的變化較為穩(wěn)定，而冬季溫度相對變化幅度較大，因此，波動率不是一個常數(shù)。由于存在明顯的季節(jié)性，所采用傅里葉變換表示大體趨勢，方程表達(dá)如公式（5）。分析殘差的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)，考慮ARMA，方程表示如公式（6）。通過檢驗殘差是否存在條件異方差，即ARCH效應(yīng)。若存在該效應(yīng)，則考慮AR-GARCH，方程表示如公式（7）：

Yt=d+disin（iωt）+ejcos（iωt）? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

σt2=Yt+βi（σ2t-i-Yt-i）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

σt2=Yt+βi（σ2t-i-Yt-i）+γiσ2t-j+λkε2t-k（7）

其中，m2，n2可以通過具體數(shù)據(jù)，判斷級數(shù)，q為AR的階數(shù)，m3，n3是GARCH里的參數(shù)。

2 參數(shù)估計

大連市逐日數(shù)據(jù)來源于中國氣象數(shù)據(jù)網(wǎng)。時間區(qū)間為1951年1月1日-2018年1月1日，共24820項日均氣溫數(shù)據(jù)記錄，其中2月29日數(shù)據(jù)都已刪除，繪制如圖1。為了對比分析預(yù)測精度，本區(qū)間選擇為1951年1月1日-2017年1月1日，共24455項記錄。

2.1 St參數(shù)估計

通過MATLAB編程，可估計St的各參數(shù)。通過比較多個m1，n1的組合，發(fā)現(xiàn)m1=n1=1時，誤差最小，所以取值為1階傅里葉。擬合后式（3）參數(shù)值如表1。

擬合后，如圖2所示，模擬了日均氣溫的大致變化趨勢。同時，對比了St所預(yù)測的2018年數(shù)據(jù)和真實數(shù)據(jù)，吻合度很高，如圖3所示。

2.2 均值回復(fù)參數(shù)估計

從上一步得到Tt-St的殘差值，將其記為Xt。為利用ARMA建模，對Xt進(jìn)行平穩(wěn)性的檢驗。在單位根檢驗法中，Xt的t統(tǒng)計值在-30.904，顯著小于1%的臨界值，-3.43，因此，不拒絕原假設(shè)，為平穩(wěn)序列。

觀察ACF，PACF圖像（圖4），有自相關(guān)函數(shù)呈拖尾狀，偏自相關(guān)函數(shù)呈3階截尾狀，因此，建立AR（3）的模型，式（4）的參數(shù)估計如表2。

2.3 σt的參數(shù)估計

將1951-2017年中的樣本數(shù)據(jù)，按照日期分為365組，每組有67條記錄，計算每組的方差，可得到該日期的歷史波動率，并通過不同傅里葉階數(shù)組合，得到最適階數(shù)為m2=n2=4，擬合如圖5，式（5）參數(shù)估計值如表3。

對殘值進(jìn)行單位根檢驗，可以得到t統(tǒng)計量為-11.6513，1%的臨界值為-3.448161，P值為0.0000，所以該殘差序列為平穩(wěn)序列，故進(jìn)行ARMA回歸。根據(jù)SIC準(zhǔn)則，初步選定為AR（1），即一階自相關(guān)性，因此，式（6），（7）中的q值應(yīng)選為1。

一次殘值擬合完AR（1）方程，得到二次殘值?？梢园l(fā)現(xiàn)波動的集群現(xiàn)象，這說明二次殘值可能存在條件異方差。利用ARCH-LM檢驗，結(jié)果如表4，通過比較，滯后階數(shù)選為3。

上述結(jié)果表明，拒絕原假設(shè)，存在ARCH效應(yīng)。利用GARCH消除條件異方差，通過分析，選定GARCH（1，1）模型，再次進(jìn)行ARCH-LM檢驗，結(jié)果如表5。

上述結(jié)果表明，此時二次殘值通過GARCH（1，1）消除了條件異方差。因此，選用式（7），參數(shù)q=m3=n3=1，參數(shù)擬合結(jié)果如表6。

其中，γ1和λ1的和為0.999634，小于1且都大于0，因此，滿足參數(shù)約束條件。同時，兩者之和充分接近1，說明二次殘差序列的條件方差所受到的沖擊是持久的，可以進(jìn)行長期的預(yù)測。

此時，AR-GARCH模型的殘差值偏度為0.137751，峰度為 3.317492，屬于平頂分布，但是非常接近0，3，JB值為2.665262，所以該殘差序列可以近似認(rèn)為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，滿足模型εt～N（0，1）假設(shè)。

3 預(yù)測檢驗與定價應(yīng)用

3.1 預(yù)測對比

將式（3）（4）（5）（7）代入式（2），并將各估計好的參數(shù)值代入，預(yù)測大連市2018年全年的日均氣溫，預(yù)測值與真實值的對比，如圖7。預(yù)測值基本反映了溫度的分布大體趨勢，tf為預(yù)測值。

3.2 應(yīng)用拓展

由于農(nóng)作物各時期的生長要求溫度并不相同，考慮利用分段的GDDs，以大連地區(qū)玉米為例。玉米在大連的播種時間一般為4月，收獲時間為10月左右，根據(jù)生長溫度的需求，將2月初到7月底，K=8℃，1月初到1月底和8月初到12月底，K=18℃。此時，真實值的GDDs指數(shù)為1699.5，預(yù)測值的GDDs指數(shù)為1511.867，相對誤差項為-0.11041。誤差較大，說明若要考慮分段GDDs，需要更高的預(yù)測精度。

4 結(jié)論及展望

本文利用拓展的O-U均值回復(fù)模型對大連市的溫度進(jìn)行預(yù)測，其中，涉及了傅里葉變換、自回歸方程，AR-GARCH模型等。運用預(yù)測得到的2018年的氣溫值，分析了有關(guān)氣溫指數(shù)在農(nóng)產(chǎn)品期權(quán)的可行性，得到以下結(jié)論：

（1）在氣溫預(yù)測的過程中，運用了傅里葉變換等，因此，還需要考慮Tt和σt是否協(xié)整，應(yīng)進(jìn)行協(xié)整檢驗。同時，隨著天氣期權(quán)市場的不斷發(fā)展，氣溫的預(yù)測精度仍有待提升，氣溫預(yù)測是溫值類期權(quán)的發(fā)展基礎(chǔ)。（2）現(xiàn)有的玉米期權(quán)等對沖天氣風(fēng)險的針對性并不強(qiáng)。多數(shù)學(xué)者研究氣溫期權(quán)，在能源業(yè)應(yīng)用結(jié)果較為成功，但在農(nóng)業(yè)上應(yīng)用還需綜合考慮許多要素，亟待學(xué)者進(jìn)一步研究。

參考文獻(xiàn)

[1] M. Davis. Pricing weather derivatives by marginal value[J].Quantitative Finance，2001，1（3）.

[2] Cao M， Wei J. Pricing the weather[J]. RISK-LONDON-RISK MAGAZINE LIMITED-，2000， 13（5）：67-70.

[3] 劉國光.天氣預(yù)測與天氣衍生產(chǎn)品定價研究[J].預(yù)測，2006（06）：28-33.