最速降線問(wèn)題的充分性

邢家省， 楊義川， 王擁軍

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 北京 100191；2.數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100191)

引 言

最速降線問(wèn)題[1-6]是科學(xué)發(fā)現(xiàn)史上著名的問(wèn)題，引起了人們持續(xù)不斷的研究興趣，開(kāi)創(chuàng)了多個(gè)研究課題。該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)泛函的最小值問(wèn)題，這個(gè)泛函在最小值處的必要條件已經(jīng)得到，泛函的臨界點(diǎn)的存在性已經(jīng)解決了。泛函的臨界點(diǎn)是否為最小值點(diǎn)是需要證明的[1-6]，文獻(xiàn)[2-4]在引入極值場(chǎng)和Hilbert不變積分的方法，對(duì)一般泛函的臨界點(diǎn)是泛函最小值的充分條件進(jìn)行了研究，給出了最速降線問(wèn)題的充分性證明，但這種證明方法不直接不自然。本文在綜合利用文獻(xiàn)[7-20]中思想方法的基礎(chǔ)上，對(duì)泛函的臨界點(diǎn)是泛函的最小值給出了直接簡(jiǎn)單的證明方法，對(duì)泛函的臨界點(diǎn)的唯一性給出了證明，對(duì)最速降線必是在豎直平面內(nèi)也給出了證明。

1 質(zhì)點(diǎn)沿光滑軌道下滑所需的時(shí)間公式

著名的最速降線問(wèn)題[1-6]表述如下：在一鉛直平面上，給定不在同一鉛直直線上兩點(diǎn)A,B。在重力作用下，一質(zhì)點(diǎn)沿著過(guò)A,B兩點(diǎn)的光滑軌道L下滑。下滑的軌道L不同，質(zhì)點(diǎn)由A點(diǎn)下滑到B點(diǎn)所需的滑動(dòng)時(shí)間T也就不同。問(wèn)當(dāng)L是什么曲線時(shí)，所需的滑動(dòng)時(shí)間T最短。

建立xOy坐標(biāo)標(biāo)系，Ox軸正向水平向右，Oy軸正向豎直向上。

設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(x2,y2)，x1

設(shè)曲線L經(jīng)過(guò)A點(diǎn)和B點(diǎn)，曲線L的方程為y=y(x)，或者曲線L的方程為x=x(y) 。

設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)沿某曲線L由點(diǎn)A無(wú)摩擦地滑動(dòng)到點(diǎn)B，考察所需的滑動(dòng)時(shí)間T。

假設(shè)在時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)已滑動(dòng)了路程s，到達(dá)的位置為(x(t),y(t))，

由動(dòng)能勢(shì)能守恒原理，可得

(1)

當(dāng)曲線L的方程為y=y(x)時(shí)，

得

質(zhì)點(diǎn)沿曲線L由點(diǎn)A無(wú)摩擦地滑動(dòng)到點(diǎn)B，所需的時(shí)間[1-4]是

(2)

當(dāng)曲線L的方程為x=x(y)時(shí)，

得

質(zhì)點(diǎn)沿曲線L由點(diǎn)A無(wú)摩擦地滑動(dòng)到點(diǎn)B，所需的時(shí)間[1-4]是

(3)

設(shè)曲線L的最低點(diǎn)在Ox軸上，質(zhì)點(diǎn)在曲線L上高度為h的點(diǎn)處?kù)o止開(kāi)始下滑到最低點(diǎn)處所需時(shí)間[1-4]為

(4)

式(4)導(dǎo)致出現(xiàn)積分方程的問(wèn)題[4]和等時(shí)曲線的求解問(wèn)題[20]。

2 最速降線問(wèn)題的泛函表示

考慮泛函

(5)

設(shè)函數(shù)集合

M={x(y)∈C1[y2,y1],x(y2)=x2,x(y1)=x1}

顯然T(x)就是定義在M上的一個(gè)泛函。

于是，最速降線問(wèn)題就是要在集合M上求出一個(gè)函數(shù)x=x(y)，

使得泛函T(u)在處x=x(y)取得最小值，

在文獻(xiàn)[1-4]中，研究由(2)式表示的泛函的最小值問(wèn)題，引入變分方法，尋找到泛函的臨界點(diǎn)。

3 泛函在某函數(shù)處達(dá)到最小值的必要條件

記M0={x(y)∈C1[y2,y1],x(y2)=0,x(y1)=0}，若泛函T(u)在x=x(y)處取得最小值，則對(duì)任意v∈M0，都有T(x+εv)在ε=0處達(dá)到最小值，于是

記

則

故有

(6)

進(jìn)而得到

(7)

式(6)就是泛函T(u)在x處取得最小值的必要條件，也就是泛函的臨界點(diǎn)滿足的方程。顯然(6)式與(7)式是等價(jià)的。

下面證明泛函的臨界點(diǎn)的存在性。

對(duì)

有

代入式(7)，得到

(8)

現(xiàn)對(duì)此常微分方程進(jìn)行求解。

(8)式可化為如下的形式

(9)

對(duì)(9)式兩邊積分，則有

令

令u=csinθ，

y=y1-c2sin2θ=

令t=2θ，則有

則得到泛函的臨界曲線的參數(shù)方程為

其中常數(shù)k,c1可由邊界條件來(lái)確定。

顯然最速降線為擺線的一部分[1-6]。泛函臨界點(diǎn)的存在性得證。這只是泛函取得最小值的必要條件。

以上給出了微分方程(8)的直接自然的求解過(guò)程，在文獻(xiàn)[1-4]中給出的是選取參數(shù)方程的代入方法，這種參數(shù)方程的選取方法不太自然。

4 泛函的臨界點(diǎn)為最小值點(diǎn)的充分性的直接證明

對(duì)x+εv∈M，有

由于

由此可知，T(u)在M上的最小值在x∈M處達(dá)到。

這里，我們用直接的簡(jiǎn)單方法，給出了充分性的證明。

關(guān)于泛函的臨界點(diǎn)是否為泛函的最小值點(diǎn)的問(wèn)題，在文獻(xiàn)[2，3，4]中進(jìn)行了一般性的研究，得到了一些充分性的結(jié)果。

5 泛函的臨界點(diǎn)方程解的唯一性證明

設(shè)x1，x2∈M是問(wèn)題(6)的兩個(gè)解，

于是

注意到

其中

從而有

特別取v=x2(y)-x1(y)，則有

于是x2(y)-x1(y)=0，x2(y)=x1(y)

即得問(wèn)題(6)的解是唯一的。

泛函的臨界點(diǎn)是唯一的，最速降線問(wèn)題的解是唯一的。

在文獻(xiàn)[4，7，20]中，對(duì)積分方程(4)進(jìn)行了求解，對(duì)等時(shí)曲線是擺線給出了求解證明。

6 最速降線一定是在豎直平面內(nèi)

建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，水平面為xOy，Oz軸正向豎直向上。

設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1,z1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(x2,y2,z2)，z2

設(shè)曲線L經(jīng)過(guò)A點(diǎn)和B點(diǎn)，曲線L的方程為x=x(z),y=y(z),z=z。

設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿某曲線L由點(diǎn)A無(wú)摩擦地滑動(dòng)到點(diǎn)B，考察所需的滑動(dòng)時(shí)間T。

質(zhì)點(diǎn)沿曲線L由點(diǎn)A無(wú)摩擦地滑動(dòng)到點(diǎn)B，所需的時(shí)間[1-4]是

(10)

最速降線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為考慮泛函(10)式的最小值問(wèn)題，由極值的必要條件，極值曲線滿足

其中C1，C2為常數(shù)。

C2x′(z)=C1y′(z)

對(duì)此積分，則得

C2x(z)=C1y(z)+C3

其中C3為常數(shù)。

這就得出，極值曲線必在豎直平面內(nèi)，極值曲線是平面曲線。

由此證明了，最速降線必是平面曲線[10]，最速降線一定在豎直平面內(nèi)。