空間曲梁景觀步行橋人致振動分析及減振設(shè)計

蔣長江，梁俊松

（中鐵二院工程集團有限責任公司,四川 成都 610031）

0 引言

城市景觀步行橋?qū)γ缹W要求高，結(jié)構(gòu)形式復雜，多為空間組合結(jié)構(gòu)。隨著橋梁技術(shù)的發(fā)展和高強輕質(zhì)材料的使用，景觀步行橋變得越來越輕柔、大跨和低阻尼化[1]，橋梁結(jié)構(gòu)振動基頻也越來越小，很難滿足我國《城市人行天橋與人行地道技術(shù)規(guī)范》（CJJ 69—95）的規(guī)定：為避免共振，減少行人不安全感，天橋上部結(jié)構(gòu)豎向自振頻率不應小于3 Hz。人行橋的人致振動主要影響的是橋梁的使用性，采用規(guī)范規(guī)定的振動頻率評判標準，將能避免由于人行荷載所引起的不利振動現(xiàn)象；而對于橋梁基頻不能滿足規(guī)范要求的情況，應對人行舒適性進行評估，必要時進行減振設(shè)計。因此，本文以某空間曲梁景觀步行橋為例，介紹人行橋的舒適性評估方法，并進行基于調(diào)頻質(zhì)量阻尼器（TMD）的減振預案設(shè)計。

1 景觀步行橋概況

某中央公園景觀步行橋為雙索面空間索斜拉人行橋（見圖1），跨徑布置為72 m+32 m+72 m。人行凈寬為5～9.76 m，由橋臺漸變至中間墩。中間墩位置處設(shè)置2個樓梯，寬度為3 m，樓梯下端固定，上端搭在橫梁上。橋塔為圓形鋼結(jié)構(gòu)，垂直傾角25°。橋塔穿過橋面板后用螺栓錨固在承臺上，塔梁分離，橋塔內(nèi)設(shè)加勁。每個橋塔連接11對拉索，塔上索間距1.14～2.34 m不等。

圖1 景觀步行橋效果圖

主梁平面為“S”曲線型，斷面為組合結(jié)構(gòu)，2根工字鋼梁通過剪力釘與混凝土橋面板相連。工字鋼梁高度為0.8 m，上翼緣寬度0.4～0.7 m，下翼緣寬度 0.6～0.9 m；橋面板寬度為 5.84～10.6 m，厚度為0.25～0.3 m；主梁外包厚4 mm的不銹鋼裝飾板。橋面設(shè)2%雙向橫坡，橋面最大縱坡5.24%。

2 人致激勵分析理論

2.1 人行荷載的力學模型

人行激勵振動的特性取決于人行荷載的特殊性。人行荷載應考慮單人行走和人群行走狀態(tài)下的力學模型。

人的行走由連續(xù)的步子形成，具有周期性。這種周期性激勵在豎向和側(cè)向都可以用傅里葉級數(shù)的形式表示，級數(shù)中高階頻率是基頻的整數(shù)倍，但基頻的大小在豎向和側(cè)向不同。人行豎向激勵的傅里葉級數(shù)的基頻大約是2 Hz，側(cè)向基頻是豎向的一半。單人在橋上行走時，基于步行力的周期性，豎向力Fv和側(cè)向力Fl都可以用傅里葉級數(shù)的形式表示[2-3]：式中：G為人的體重；t為時間；fp為步頻；αvi和 α1i分別為豎向力和側(cè)向力的第i階動載因子，φvi和φli分別為豎向力和側(cè)向力的第i階諧波相位角。

根據(jù)現(xiàn)有的研究結(jié)論，各階諧波的動載因子取值不同，其中豎向力1階諧波動載因子最大，高階諧波動載因子迅速減小，一般只需考慮前3階或前4階諧波。在參考英國規(guī)范[4]的基礎(chǔ)上，可按下式計算人行荷載：

其中動載因子 0.36、0.13、0.033、0.009 是參考幾種試驗結(jié)果的平均值。

人群在橋上行走時，人步行對橋面產(chǎn)生周期性的作用力，一般情況下只引起較小的振動響應。但當步行側(cè)向力的頻率接近人行橋側(cè)向振動固有頻率時，將引起橋面明顯的可感振動，人與橋之間開始發(fā)生強烈的相互作用過程。由于行人對側(cè)向振動較為敏感，當振動影響其步行舒適性和平衡時會下意識地隨之晃動并調(diào)整步伐，通常的方式是加大步伐的橫向晃動幅度和調(diào)整步伐與振動同步調(diào)。這種人對振動的自發(fā)反應和步伐調(diào)整策略是人的生理與心理機能的表現(xiàn)，一定程度上是人的共同特性。不同的行人將以同樣的方式調(diào)整步伐即形成同步調(diào)行走，產(chǎn)生更大的步行激勵，由于該激勵與振動同步，從而導致結(jié)構(gòu)發(fā)生嚴重的共振，這被稱為人群步行的集體同步現(xiàn)象[5]。

人群在橋上行走時，由于行人間步行不一致，不同人的步行力相互消減，按照荷載等效原則，人數(shù)為N的人群荷載可折減為Ne個步調(diào)一致的行人產(chǎn)生的荷載，二者的比值稱為同步調(diào)概率。Matsumoto等[6]研究隨機步行人群對人行橋的激振時，假設(shè)行人上橋事件服從泊松分布，且相位互不相關(guān)，根據(jù)隨機振動理論得出，實際的步行人群由于某些因素將引起一定程度的同步調(diào)，則Ne介于和N之間。

2.2 舒適性評價指標

人行激勵振動帶來的是橋梁的適用性問題，舒適性指標是未引起行人感覺不適的加速度允許值。參考國內(nèi)外相關(guān)規(guī)范的描述，如英國規(guī)范BS5400和歐洲規(guī)范EN1990，其豎向加速度的允許值可表示為由于行人對側(cè)向振動更敏感，側(cè)向加速度的允許值也相對更為嚴格，允許值表示為。其中，f為橋面豎向自振頻率，大多數(shù)情況下可以假定為基頻f0。

3 人致激勵分析方法

3.1 橋梁自振特性分析

運用Midas/Civil對該景觀步行橋建立全橋有限元模型（見圖2）。用梁單元模擬工字鋼主梁、混凝土橋面板及橋塔，桁架單元模擬拉索，混凝土板與鋼主梁采用虛擬梁連接，忽略剪力釘?shù)膭偠扔绊?。整個計算建立在全結(jié)構(gòu)彈性受力基礎(chǔ)上，即假設(shè)混凝土橋面板不退出工作。

圖2 全橋有限元模型

對建立的全橋有限元模型進行動力分析，提取全橋的前15階頻率和振型，如表1所示。

表1 全橋前15階頻率和振型

該橋的基頻為0.569 Hz，對應振型為主梁豎向1階彎曲，不滿足規(guī)范不應小于3 Hz的要求。國外最新修訂的人行橋規(guī)范BS5400（BD/01）和EN1990認為，人行橋豎向基頻小于3 Hz、側(cè)向基頻小于1.5 Hz時，應當進行人致振動分析和評估。從該橋的頻率分布中可以看到，該景觀步行橋的豎向基頻為0.569 Hz，側(cè)向基頻為1.347 Hz，均小于相應的規(guī)定值。另外，有多個振型的頻率落入與人行激勵頻率較接近的范圍（豎向為1.6～2.4 Hz，側(cè)向為0.8～1.2 Hz）。特別是第10階振型，該振型為主梁2階橫向整體擺動和主梁2階扭轉(zhuǎn)，振動頻率為2.032 Hz；大量的研究結(jié)果顯示，人群荷載的激勵頻率均值為2 Hz，二者非常接近，有可能激起結(jié)構(gòu)的大幅度振動。

3.2 不同工況下人致振動分析

3.2.1 人群隨機步行狀態(tài)下的振動響應

采用Midas/Civil軟件進行動力時程響應分析。根據(jù)英國規(guī)范中的推薦方法，用1階諧載模擬人行荷載，豎向動載因子取為0.36，側(cè)向動載因子取為0.033；結(jié)構(gòu)阻尼比取1.0%；激勵頻率分別取值為可能引起主梁豎向和側(cè)向某階振動共振的頻率，計算結(jié)果如表2所示。

表2 激勵荷載作用下人行橋的振動響應

該景觀步行橋的振動基頻為0.569 Hz，則豎向加速度限值為aylim=0.377 m/s2，側(cè)向加速度限值為allim=0.106 m/s2。從隨機步行的計算結(jié)果中可以看到，該景觀步行橋振動的豎向和側(cè)向加速度峰值都小于限值。因此，在設(shè)計的人群荷載作用下，若行人的步行完全隨機，沒有受外界影響發(fā)生同步效應，該人行橋的人致振動滿足舒適性要求。

3.2.2 考慮人群同步效應的振動響應

人群同步激勵是指在某種外界因素影響下一定比例的人具有一致的運動并對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生步調(diào)一致的激勵。由于行人對側(cè)向振動較為敏感，行人調(diào)整步伐的趨向取決于其橫向晃動頻率與橋梁側(cè)向振動頻率的關(guān)系，行人調(diào)整步伐前其橫向晃動頻率越接近橋梁側(cè)向振動頻率，達到同步調(diào)的概率越大。在振幅較小時，橫向晃動頻率與側(cè)向振動頻率較接近的人先調(diào)整步伐到同步調(diào)，而隨著振幅增大，2種頻率相差較大的人也被“吸引”到振動頻率上來。根據(jù)學者的研究，同步調(diào)概率與振幅的關(guān)系[5]為：

式中：Ps（A）為同步調(diào)概率；A為側(cè)向振幅；C1為常數(shù)，根據(jù)試驗數(shù)據(jù)擬合得C1=0.022；vf為考慮振動頻率偏離人體橫向晃動頻率對同步調(diào)概率影響的折減系數(shù)，定義為vf=exp［-c2（f-1）2］，其中的f為側(cè)向振動頻率，c2為常數(shù)。對于頻率為1 Hz的側(cè)向振動，vf=1；對于側(cè)向振動頻率大于1.3 Hz的人行橋，一般認為不會發(fā)生人群同步調(diào)步行，vf取值較小。

本橋的側(cè)向振動基頻為1.347 Hz，大于1.3 Hz，按研究結(jié)果一般認為不會發(fā)生人群同步調(diào)步行，但考慮到實際工程結(jié)構(gòu)和有限元分析中的諸多不確定性，假設(shè)人群中有10%的人同步調(diào)行走，保守取vf為1，分別對側(cè)向激勵頻率為0.882 Hz、1.347 Hz、1.544 Hz進行迭代計算，求出可能發(fā)生的同步調(diào)行人百分比，如表3所示。

表3 不同側(cè)向激勵頻率下同步調(diào)行人百分比

由同步調(diào)概率與振幅關(guān)系的公式進行迭代計算，可以發(fā)現(xiàn)在以上3種側(cè)向激勵荷載作用下，同步調(diào)概率很快衰減到1%以下，小于完全隨機狀態(tài)下的同步調(diào)人數(shù)百分比。這說明該橋不會發(fā)生人群同步調(diào)步行，與前面的理論分析是吻合的。在此情況下，計算出來的橫向加速度峰值不會超過完全隨機狀態(tài)下相應的加速度峰值；而主梁的豎向振動響應不考慮人群同步效應，故其加速度峰值也不會超過完全隨機狀態(tài)下相應的加速度峰值。

因此，即使考慮人群同步效應，該橋在豎向和側(cè)向的加速度峰值也均滿足舒適性要求。

3.2.3 考慮人群荷載強迫激勵下的振動響應

人行荷載豎向的平均激勵頻率約為2 Hz，側(cè)向的平均激勵頻率約為1 Hz?？紤]到在該頻率的荷載作用下，橋梁可能發(fā)生較大的振動，故對其進行驗算。計算時，取橋梁結(jié)構(gòu)阻尼比為1.0%，橫向頻率1 Hz，豎向頻率2 Hz，考慮完全隨機狀態(tài)下，橫豎向同時加載進行計算。經(jīng)過計算分析，得到側(cè)向加速度峰值為0.007 3 m/s2，豎向加速度峰值為0.131 6 m/s2。

與前面計算的結(jié)果比較，此種工況下的橫向和豎向加速度峰值均比前面大。這是由于在2.032 Hz時，橋梁主梁的振型為2階橫向整體擺動和主梁2階扭轉(zhuǎn)，當橫向激勵頻率為1 Hz和豎向頻率為2 Hz時，橋梁結(jié)構(gòu)也會發(fā)生共振，而且橫豎向的振動會相互耦合，加劇結(jié)構(gòu)的動力響應。

在該工況下，橋梁主梁的側(cè)向和豎向加速度峰值均沒有超過加速度限制，滿足舒適性要求。

3.2.4 考慮非全橋滿布人行荷載下的振動響應

在頻率為1.347 Hz時，橋梁的振型為主梁1階橫向反對稱彎曲和主梁1階扭轉(zhuǎn)?？紤]到橫向荷載在兩邊跨反向加載時，可能會比同向加載引起更大的動力響應，故在阻尼比為1.0%時，計算橋梁的人致振動響應,得到側(cè)向加速度峰值為0.0014m/s2，滿足加速度限制要求。

在頻率為1.742 Hz時，橋梁的振型為主梁豎向2階反對稱彎曲?？紤]到橋梁只有一邊跨加載，可能比滿跨加載會引起更大的動力響應，故在阻尼比為1.0%時，計算橋梁的人致振動響應，得到豎向加速度峰值為0.021 6 m/s2，滿足加速度限制要求。

4 減振預案設(shè)計

根據(jù)上述評估結(jié)果，該中央公園景觀步行橋理論上不會發(fā)生超越行人舒適性的人致振動，但考慮到實際結(jié)構(gòu)的不確定性以及該橋的重要性，補充設(shè)計TMD減振預案，以保證能及時有效地解決運營過程中可能出現(xiàn)的人致振動。

4.1 理論基礎(chǔ)

調(diào)頻質(zhì)量阻尼器（Tuned Mass Damper，TMD）系統(tǒng)是結(jié)構(gòu)被動減振控制體系的一類，它由主結(jié)構(gòu)和附加在主結(jié)構(gòu)上的TMD組成。其中TMD包括固體質(zhì)量、彈簧減振器和阻尼器等，它具有質(zhì)量、剛度和阻尼，通過改變質(zhì)量或剛度來調(diào)整TMD的自振頻率，使其盡量接近主結(jié)構(gòu)的基本頻率或激振頻率。當主結(jié)構(gòu)受激勵而振動時，TMD就會產(chǎn)生1個與結(jié)構(gòu)振動方向相反的慣性力作用在結(jié)構(gòu)上，使主結(jié)構(gòu)的振動反應衰減并受到控制。子結(jié)構(gòu)在振動控制過程中相當于1個阻尼器。

對于圖3所示作用力p（t）作用下的單自由度結(jié)構(gòu)體系，其運動方程為：

圖3 TMD結(jié)構(gòu)示意圖

式中：m、c、k分別為主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度；md、cd、kd分別為 TMD 的質(zhì)量、阻尼和剛度；x（t）、x˙（t）、x¨（t）分別為主結(jié)構(gòu)的位移、速度和加速度反應；xd（t）、x˙d（t）、x¨d（t）分別為TMD的位移、速度和加速度反應；p（t）為外部激勵荷載。

當p（t）為簡諧荷載，以主結(jié)構(gòu)最小加速度為優(yōu)化準則，TMD的頻率比和阻尼比優(yōu)化值如下：

式中：μ為TMD質(zhì)量與主結(jié)構(gòu)質(zhì)量比；ξs為主結(jié)構(gòu)阻尼比；γopt為TMD優(yōu)化頻率比，即TMD頻率/主結(jié)構(gòu)頻率；ξopt為TMD優(yōu)化阻尼比。

4.2 TMD參數(shù)設(shè)計

綜合考慮各階加速度的峰值和振型參與質(zhì)量，決定對該橋的第7階（1.544 Hz，主梁1階橫向整體擺動，主梁1階扭轉(zhuǎn)）進行橫向控制，作TMD參數(shù)設(shè)計，其余各階振動不予控制。

全橋總質(zhì)量為3 216 t，第7階橫向振動模態(tài)質(zhì)量為 3 216×29.61%=952.26 t，振動頻率為1.544 Hz。取主結(jié)構(gòu)的阻尼比為1.0%，根據(jù)加速度最小優(yōu)化準則，可算得不同質(zhì)量比條件下TMD的頻率比和阻尼比。

將主結(jié)構(gòu)與TMD簡化成2自由度體系，建立2自由度系統(tǒng)的動力微分方程，分析該體系在諧振荷載作用下的時程反應。若為簡諧激勵，則運動方程為：

對于上述常系數(shù)非線性的微分方程組，借助MATLAB中Simulink來建模整個系統(tǒng)以獲得其數(shù)值解。

由于主結(jié)構(gòu)模態(tài)質(zhì)量較大，為避免對主結(jié)構(gòu)產(chǎn)生過大附加荷載，不宜選用較大的質(zhì)量比。當選用的質(zhì)量比 μ=0.2%時，TMD的質(zhì)量mt=μms=1 904.5 kg，取主結(jié)構(gòu)阻尼比ξs=1.0%，其余的相關(guān)計算參數(shù)為：ms=952 260 kg，cs=1.85×105kg/s，γopt=1.0，kt=1.79×105kg/s2，ct=1 059.8 kg/s。

采用激勵荷載p（t）=700 sin（2π×1.554t），主梁加速度時程如圖4所示，并與沒有安裝TMD時的主梁加速度時程（見圖5）對比。

圖4 安裝TMD的主梁加速度時程

當安裝有TMD系統(tǒng)后，穩(wěn)態(tài)情況下主梁的加速度峰值從0.036 4 m/s2下降到0.0148 3 m/s2，下降幅度為59.26%，減振效果良好。在工程實際實施時，可以分別在兩邊跨跨中預設(shè)計TMD裝置的連接構(gòu)造。TMD的質(zhì)量可取1.9 t，橫向安裝。TMD的具體實施情況需要根據(jù)成橋后所測得的橋梁相關(guān)動力參數(shù)而定。

圖5 無TMD的主梁加速度時程

5 結(jié)語

本文綜合國內(nèi)外有關(guān)人行橋的人致振動研究和設(shè)計規(guī)范規(guī)定，基于簡化的力學模型，以某空間曲梁景觀步行橋為例，考慮不同工況下人群荷載的人致振動響應，并根據(jù)舒適性評價指標進行人行橋舒適性評估。結(jié)果表明，該中央公園景觀步行橋理論上不會發(fā)生超越行人舒適性的人致振動，但考慮到實際結(jié)構(gòu)的不確定性以及該橋的重要性，對該橋進行基于調(diào)頻質(zhì)量阻尼器（TMD）的減振預案設(shè)計。安裝TMD后，該橋主梁的加速度峰值大幅下降，減振效果良好，能有效解決運營過程中可能出現(xiàn)的人致振動問題。