基于輸出約束的電液伺服系統(tǒng)非線性方法研究

(1. 電子科技大學航空航天學院， 四川成都 611731; 2. 電子科技大學機械與電氣工程學院， 四川成都 611731)

引言

電液伺服系統(tǒng)是液壓伺服系統(tǒng)的分支，因電氣控制靈活而得到廣泛的應用。電液伺服系統(tǒng)通過使用電液伺服閥，將小功率的電信號轉(zhuǎn)換為大功率的液壓動力，具有控制精度高、響應速度快、輸出功率大、信號處理靈活、易于實現(xiàn)各種參量的反饋等優(yōu)點，從而實現(xiàn)了一些重型機械設(shè)備的伺服控制。

電液伺服系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)中嚴格的反饋模型，非線性系統(tǒng)的控制問題中一個非常重要的問題即輸出約束的有界性，即在保證閉環(huán)系統(tǒng)中的閉環(huán)信號有界的同時保證輸出約束不被侵犯。這主要是因為實際情況下的系統(tǒng)設(shè)計的保守型很大，在針對電液伺服系統(tǒng)的實際操作中，破環(huán)約束可能會導致性能的降低，甚至會損壞硬件，危及系統(tǒng)，所以約束控制就成為實際控制理論的重點研究領(lǐng)域之一，也是用于提高系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要因素之一?？刂祁I(lǐng)域中已有的研究已經(jīng)進行了大量的關(guān)于約束問題的探討，還提出了一種基于不變集的概念以解決約束問題，然而，當且僅當初始狀態(tài)被約束在一個不變集的情況下，約束條件才能夠被滿足[1-2]。模型預測控制也得到了很好的研究，主要是需要在一個合理的時間段內(nèi)在線求解最優(yōu)控制算法，用于解決狀態(tài)和控制變量的強制約束[3]。19世紀俄國數(shù)學家LYAPUNOV提出Lyapunov穩(wěn)定理論之后，這種方法就成為了非線性控制的一個重要的方法[4-5]，并在以后的研究過程中取得了一系列的研究成果，后來又有學者提出障礙李亞普諾夫函數(shù)。障礙函數(shù)是一類連續(xù)函數(shù)，其值隨著自變量在有界范圍內(nèi)變化而趨于無限。多種控制方法先后應用于非線性系統(tǒng)的控制中，如自適應控制[6-9]、滑?？刂芠10]、反步遞推控制[11-12]、魯棒H∞控制[13]等。研究[14-15]也有效證明了在處理對稱和不對稱甚至是帶有不確定參數(shù)的一類非線性系統(tǒng)的輸出約束問題上，障礙李雅普諾夫函數(shù)確實是一種非?？捎^的度量函數(shù)。嚴格反饋非線性系統(tǒng)在設(shè)計控制器的時候通常和反步控制相結(jié)合，反步控制為控制器的設(shè)計提供了一種方法。

本研究針對于電液伺服系統(tǒng)的輸出約束問題，提出了將反步控制和障礙李雅普諾夫函數(shù)相結(jié)合的控制方法來設(shè)計控制律。障礙李雅普諾夫函數(shù)在解決非線性系統(tǒng)中的狀態(tài)和輸出約束上有較為突出的貢獻，當狀態(tài)或者輸出約束達到一定的約束限制的時候，整個函數(shù)就會趨于無窮大，這就確保了在系統(tǒng)運動過程中約束限制被破壞的可能[16]。本研究通過構(gòu)造關(guān)于狀態(tài)變量和期望值誤差的方法，得到了確保系統(tǒng)能夠漸進穩(wěn)定跟蹤期望的3個控制律，并保證系統(tǒng)在李雅普諾夫議意義下是穩(wěn)定的。最后將所推導的控制方法應用在由電液伺服系統(tǒng)驅(qū)動的二自由度機械臂平臺上，得到了理想的實驗數(shù)據(jù)。

1 電液伺服系統(tǒng)的數(shù)學模型

根據(jù)電液伺服系統(tǒng)的流量方程、動力學方程、流量-壓力方程構(gòu)建三階數(shù)學模型，圖1是電液伺服系統(tǒng)的示意圖。

液壓閥的負載流量Qa滿足如下：

(1)

液壓缸流量-壓力連續(xù)方程表示為：

(2)

機械動力學方程表示為：

(3)

圖1 電液伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

令系統(tǒng)的狀態(tài)變量為：

(4)

控制變量為u，輸出變量為y=x1，則電液伺服系統(tǒng)的非線性狀態(tài)空間模型如下：

(5)

其中,x=[x1,x2,x3]T為狀態(tài)向量。

假設(shè)所有的狀態(tài)和參數(shù)都是可測的，并對上式進行簡化，有：

(6)

(7)

所以狀態(tài)方程就可以化簡成為：

(8)

至此，電液伺服系統(tǒng)的數(shù)學模型構(gòu)建完成。

2 電液伺服系統(tǒng)的控制器的設(shè)計

本研究中令zi表示狀態(tài)/輸出跟蹤誤差，x1d為期望輸出，αi為每一步要設(shè)計的虛擬控制器(i=1, 2, 3)。

第1步:令z1=x1-x1d，z2=x2-α1這里的z1,z2,α1分別為第一步的狀態(tài)誤差、第二步的狀態(tài)誤差、第一步要設(shè)計的穩(wěn)定的虛擬控制函數(shù)。

選擇正定且對稱的障礙李雅普諾夫函數(shù)：

(9)

又可以推得:

(10)

則V1對時間的導數(shù):

(11)

(12)

第2步：z3=x3-α2，z2對時間進行求導有：

(13)

選擇第2步的能量函數(shù)，即障礙李雅普諾夫函數(shù)再加上一個二次有：

(14)

V2對時間的導數(shù)為:

(15)

于是選擇控制器α2為：

(16)

(17)

第3步：z3對時間進行求導：

(18)

選擇最后一步的能量函數(shù)，即在第二步的基礎(chǔ)上添加一個關(guān)于誤差的二次函數(shù)：

(19)

對時間進行求導，可以得出如下結(jié)論:

(20)

選擇控制器u為：

(21)

(22)

3 模擬與仿真

仿真過程中為各個參數(shù)選定相應的值，令期望輸出為正選函數(shù)。參數(shù)設(shè)置為k1為1000，k2為100，k3為100，期望輸入為0.05 sin(0.5 πt)，Cd為0.62，ps為4 MPa，Vt為1.73×10-5m3，Ksv為7.9×10-4m/V，Ctl為2.5×10-11m2/(s·Pa)，m1為 1.771 kg，m2為 0.739 kg，mf為1 kg，m1f為 3.511 kg，m2f為1.739 kg，w為0.024 m，Ap為2.01 cm2，βe=2.2×109Pa。參數(shù)選定以后，就可以進行仿真了，仿真圖如圖2所示。

圖2 實際輸出x1和狀態(tài)誤差的變化曲線

由圖3可見誤差已經(jīng)被控制在6e-4以內(nèi)，故能夠在保持很小的誤差范圍內(nèi)跟蹤期望的輸出。

圖3 輸入u的仿真圖

輸入u的仿真圖也就是本研究中構(gòu)造的最終的控制器，由圖可見輸入平穩(wěn)且穩(wěn)定，圖4和圖5是反步控制器中給出的2個虛擬控制量，其變化趨勢與實際輸出位移和控制量的變化趨勢大致相同。

4 結(jié)論

本研究針對于電液伺服系統(tǒng)的輸出約束問題提出了將反步控制和障礙李雅普諾夫函數(shù)相結(jié)合的控制方法來設(shè)計控制律。通過構(gòu)造關(guān)于狀態(tài)變量和期望值誤差的方法， 得到了確保系統(tǒng)能夠漸進穩(wěn)定跟蹤期望的三個控制律，并保證系統(tǒng)在李雅普諾夫議意義下是穩(wěn)定的。最后，將所推導的控制方法應用在由電液伺服系統(tǒng)驅(qū)動的二自由度機械臂平臺上，得到了理想的實驗數(shù)據(jù)。

圖4 虛擬控制量α1的變化曲線

圖5 虛擬控制量α2的變化曲線