平面P波入射半無限介質(zhì)內(nèi)運動空間特征研究

何衛(wèi)平, 周宜紅

(1.三峽大學(xué) 湖北省水電工程施工與管理重點實驗室，湖北 宜昌 443002;2.三峽大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

受到地質(zhì)地形條件影響，地震波在場址引起的地震動具有空間差異性[1]。研究顯示，地震動的空間差異不僅影響結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)規(guī)律，也可能帶來結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的顯著增加[2-5]。橋梁、核電站和大壩等大跨度結(jié)構(gòu)的地震安全性評價體系中，獲得能合理描述地震動空間差異的輸入模型是亟待解決的問題。

已有研究顯示，引起地震動空間差異的原因主要有行波效應(yīng)、衰減效應(yīng)、相干效應(yīng)和局部場地效應(yīng)等因素。目前工程應(yīng)用領(lǐng)域通常采用相干函數(shù)模型描述地震動的空間差異[6]，已有相干函數(shù)模型主要可區(qū)分為通過實測臺陣記錄總結(jié)得到的經(jīng)驗?zāi)Ｐ蚚7-8]，和結(jié)合實測臺陣記錄與理論分析的半經(jīng)驗?zāi)Ｐ蚚9-10]。相干函數(shù)為描述地震動空間相關(guān)性提供了合理的途徑，已提出的諸多相干函數(shù)模型可為工程結(jié)構(gòu)的非一致地震響應(yīng)分析提供應(yīng)用基礎(chǔ)。然而，大壩、核電站的地震響應(yīng)分析通常不僅關(guān)注地面運動，還關(guān)注地基內(nèi)一定深度的地震動[11-12]。另外，相干函數(shù)屬唯象模型，側(cè)重地震動空間差異的經(jīng)驗性描述，沒有從物理過程考察地震動場的特征[13]，在解釋地震動空間差異的形成機理方面略顯不足?，F(xiàn)階段，研究地震動空間差異的形成機理，是解決空間差異地震動輸入模型的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

空間差異地震動是入射地震波在場址條件下形成的運動，從形成機理出發(fā)研究地震動場，必須從入射波形成場址運動場出發(fā)。在地震波引起的空間運動研究方面，目前在波動輸入模型方面有所涉及。如劉晶波等[14-15]在發(fā)展黏彈性邊界波動輸入模型時對側(cè)邊界運動的處理，考慮了入射波與反射波的疊加影響。但波動輸入模型側(cè)重于輸入相關(guān)運動，在解釋地震動空間差異方面關(guān)注較少。另外，在工程應(yīng)用領(lǐng)域，以描述地震動空間差異為目標(biāo)的模型有金星等[16]提出的地震動隨機場模型和張翠然等[17]提出的隨機有限斷層法模型。這兩類模型均以隨機方法為基礎(chǔ)，通過模擬地震波從震源到場址的傳播過程構(gòu)建地震動場。

本文嘗試從波動理論及疊加原理出發(fā)研究場址小范圍內(nèi)的確定性地震動空間差異，討論范圍除地面質(zhì)點運動外，也包含地基內(nèi)質(zhì)點的運動。文中首先以半無限介質(zhì)內(nèi)入射P波與SV波疊加形成的質(zhì)點運動為例，對地震波疊加模式與質(zhì)點運動空間差異進(jìn)行說明。然后以P波垂直入射為例，對疊加區(qū)和分離區(qū)、分界線等概念進(jìn)行界定，并對由地震波疊加模式不同引起的運動空間差異進(jìn)行說明。最后針對平面P波傾斜入射情況研究空間域劃分，并通過算例研究疊加區(qū)內(nèi)質(zhì)點運動的空間特征。

1 地震波疊加模式與質(zhì)點運動空間差異

地震波在介質(zhì)內(nèi)的傳播引起質(zhì)點運動，如平面P波引起的質(zhì)點運動與傳播方向平行，平面S波引起的質(zhì)點運動與傳播方向垂直。當(dāng)多條地震波在相同空間區(qū)域傳播時，質(zhì)點運動由地震波運動疊加形成。由于空間域內(nèi)的地震波可能存在波型、持時、傳播方向、初至?xí)r間等的差異，不同空間位置質(zhì)點的運動疊加方式存在差異。

以圖1波在無限均勻介質(zhì)中的傳播為例，假設(shè)無限介質(zhì)內(nèi)存在平面P波和SV波，兩條地震波持時均為2 s，位移峰值1 cm，入射角分別為40°和35°，波形如圖所示，兩條地震波到達(dá)A點的時間相同。依據(jù)疊加原理，可由P波與SV波的波函數(shù)獲得空間內(nèi)任意質(zhì)點的運動時程。以地震波傳播到達(dá)A點為零時刻，在圖中顯示了A、B、C三個空間點的水平向運動時程。

分析地震波傳播特點和質(zhì)點運動時程，圖示A、B、C三個位置的地震波疊加模式存在如下差異。在A點，P波與SV波在相同時刻到達(dá)、相同時刻離開，A點運動的整個時段均由兩條地震波疊加形成。在B點，P波先于SV波到達(dá)且更早離開，運動的前段由P波形成、中段由P波和SV波疊加形成，后段由SV波形成。在C點，P波首先到達(dá)并通過，此后SV波到達(dá)并通過，質(zhì)點運動前段由P波形成，后段由SV波形成。地震波疊加模式的差異帶來質(zhì)點運動的差異，下面以質(zhì)點運動的水平分量為例，分別從持時、峰值和時程形狀三方面分析。

圖1 地震波疊加模式與質(zhì)點運動空間特征示意圖

Fig.1 Superposition mode of waves and spatial variation of particle motion

在持時方面，A點運動整個時段均由P波和SV波疊加形成，持時為2.00 s；B點存在P波和SV波單獨形成時段和疊加形成時段，持時為2.65 s；C點運動不存在兩條地震波的疊加形成時段，持時為4.00 s。

在運動峰值方面，A點運動由兩條地震波直接疊加形成，峰值為1.46 cm；B點運動存在兩條地震波疊加貢獻(xiàn)時段，負(fù)峰值與正峰值存在疊加影響，峰值為0.75 cm；C點運動中兩條地震波的貢獻(xiàn)時段在時域分離，峰值為0.82 cm。

在質(zhì)點運動時程形狀方面，從圖1可知由于地震波疊加模式差異質(zhì)點的運動形狀存在明顯的不同。

綜上，介質(zhì)內(nèi)部地震波的傳播效應(yīng)和疊加模式差異會引起質(zhì)點運動的空間差異，研究組合地震波對質(zhì)點運動空間差異的影響，對地震動空間差異的形成機理研究具有重要意義。

2 P波垂直入射空間域劃分

為對問題有較清晰的認(rèn)識，首先選取較為簡單的平面P波垂直入射工況，研究在入射波和反射波影響下質(zhì)點運動疊加模式差異和空間域劃分情況。

2.1 平面P波垂直入射

圖2顯示半無限均勻介質(zhì)內(nèi)平面P波垂直入射情況，圖中空心箭頭代表地震波傳播方向，實箭頭代表質(zhì)點振動正方向。依據(jù)自由面處應(yīng)力和位移邊界條件，可得反射P波的幅值系數(shù)APR=-1。P波垂直入射時，半無限空間內(nèi)存在入射P波(簡寫為PI)和反射P波(簡寫為PR)兩條地震波，空間內(nèi)質(zhì)點運動是兩條地震波運動的疊加。

2.2 空間域劃分

以圖2中質(zhì)點A(x,z)為研究對象，質(zhì)點運動由入射P波和反射P波運動疊加形成。由于入射波和反射波均具有固定持時，且地震波在介質(zhì)中傳播需要時間，兩條地震波的疊加模式隨A點位置而變化。

圖2 平面P波垂直入射示意

A點位于自由面時，由于入射波到達(dá)自由面時立即產(chǎn)生反射波，兩條地震波在質(zhì)點運動的整個時段均有貢獻(xiàn)，即質(zhì)點運動是由兩條地震波全時域疊加形成。

A點與自由面距離為z時，入射波首先到達(dá)，此后經(jīng)過距離z傳播到自由面并形成反射波，反射波經(jīng)過距離z傳播到質(zhì)點。此時可依據(jù)質(zhì)點位置將疊加模式分為兩種情況：當(dāng)質(zhì)點距離自由面較近時，入射波與反射波在質(zhì)點的運動時程中存在疊加貢獻(xiàn)時段，將此類質(zhì)點所在空間定義為疊加區(qū)；當(dāng)質(zhì)點距離自由面較遠(yuǎn)時，入射波與反射波對質(zhì)點運動時程的貢獻(xiàn)時段是分離的，將此類質(zhì)點所在空間定義為分離區(qū)。自由面屬于疊加區(qū)。

由于P波垂直入射，因此疊加區(qū)與分離區(qū)的分界線應(yīng)為與x軸平行的直線。在圖3中顯示了疊加區(qū)與分離區(qū)的示意圖，圖中質(zhì)點運動為依據(jù)第3節(jié)算例獲得的區(qū)域內(nèi)特征點豎直向運動時程。

圖3 質(zhì)點運動疊加模式與空間區(qū)域

2.3 疊加區(qū)與分離區(qū)的分界線

以PIs和PIe分別代表入射P波到達(dá)和離開質(zhì)點的時間，以PRs和PRe分別代表反射P波到達(dá)和離開質(zhì)點的時間，T代表地震波持時。

以入射波到達(dá)自由面為時間零點，依據(jù)地震波速得到P波垂直入射時，入射波到達(dá)和離開空間點(x,z)的時間PIs和PIe分別表達(dá)為式(1)和式(2)，反射波到達(dá)和離開空間點(x,z)的時間PRs和PRe分別表達(dá)為式(3)和式(4)。式中z代表空間點的豎直坐標(biāo)，vp代表P波傳播速度，波速表達(dá)式見式(8)。

PIs=-z/vp

(1)

PIe=-z/vp+T

(2)

PRs=z/vp

(3)

PRe=z/vp+T

(4)

當(dāng)入射波離開時刻與反射波到達(dá)時刻相同，即PIe=PRs時質(zhì)點運動時程中兩條波的貢獻(xiàn)時段在時域相接，該質(zhì)點也位于分界線上。依據(jù)式(2)和(3)得到式(5)，該式代表P波垂直入射時疊加區(qū)與分離區(qū)的分界線。

zd=vpT/2

(5)

3 疊加區(qū)域運動空間差異

3.1 介質(zhì)參數(shù)及入射地震波

選取彈性模量為10 GPa、泊松比0.2、密度2 400 kg/m3的半無限彈性介質(zhì)為例進(jìn)行研究。為表達(dá)清晰，選取入射地震波為Ricker子波，子波運動時程在圖4顯示，圖中位移正值代表與z軸正方向一致。

圖4 Ricker子波位移時程

3.2 疊加區(qū)質(zhì)點運動空間差異

P波垂直入射時，入射波與反射波引起的運動與傳播方向平行，即質(zhì)點運動表現(xiàn)為豎直向運動，因此本部分僅考察質(zhì)點運動的豎向分量。依據(jù)入射波與反射波各自的波函數(shù)疊加，得到空間內(nèi)任意點的運動時程。

依據(jù)介質(zhì)參數(shù)和地震波持時，由式(5)得到分界線的深度為2.15 km。選取自由面和深度0.6 km的疊加區(qū)特征點研究。圖5顯示了兩個特征點的運動時程，圖中時間零點代表地震波到達(dá)該位置的時刻，斜體字及雙箭頭代表對質(zhì)點運動時程產(chǎn)生貢獻(xiàn)的地震波及其貢獻(xiàn)時段。

在自由面上，入射波到達(dá)即產(chǎn)生反射波，入射波與反射波疊加形成質(zhì)點運動。自由面質(zhì)點運動持時與入射波持時相同，且質(zhì)點運動峰值是入射波峰值的2倍。

在深度為0.6 km處，由于入射P波到達(dá)0.56 s之后反射P波到達(dá)，因此入射P波貢獻(xiàn)時段為0～2 s；反射P波貢獻(xiàn)時段為0.56～2.56 s。在0～0.56 s質(zhì)點運動僅受入射P波影響，在0.56～2 s質(zhì)點運動同時受到入射P波與反射P波影響，在2～2.56 s質(zhì)點運動僅受反射P波影響。由于地震波傳播效應(yīng)，0.6 km深度的質(zhì)點運動持時增加了0.56 s；由于入射波和反射波的疊加影響，質(zhì)點運動峰值由1.00 cm減小到0.78 cm。

(a) 自由面

(b) 深度0.6 km

兩個質(zhì)點運動對比可看出：由于所處位置不同，受到地震波傳播所帶來的疊加方式影響，不同質(zhì)點運動時程在持時、峰值和時程形狀等方面均表現(xiàn)出較大空間差異。

圖6顯示了P波垂直入射時疊加區(qū)內(nèi)質(zhì)點運動位移峰值沿豎向分布。由于Ricker子波負(fù)峰值為單峰，對負(fù)峰值進(jìn)行分析。位移負(fù)峰值主要顯示出以下規(guī)律：① 疊加區(qū)峰值出現(xiàn)較大變幅，從地表到約0.5 km深度，位移峰值從2 cm逐漸減小到0.55 cm；② 位移峰值在一定深度以下變化到與入射波位移峰值相等。位移正峰值在接近自由面呈現(xiàn)出與負(fù)峰值相同的規(guī)律，但由于選用的波形存在兩個正峰值，其疊加規(guī)律更為復(fù)雜，幅值變化的范圍也有明顯增大。

(a) 正峰值

(b) 負(fù)峰值

4 P波傾斜入射質(zhì)點運動空間特征

4.1 傾斜入射反射系數(shù)

P波(記為PI)傾斜入射到自由面時，會產(chǎn)生反射P波和SV波(分別記為PR、SR)，如圖7所示。圖中符號含義與前文相同，θ為P波入射角，θ′為SV波反射角。反射P波、反射SV波幅值系數(shù)分別用Ap表示。依據(jù)自由面應(yīng)力和位移邊界條件，可得出反射P波和SV波的幅值系數(shù)為式(6)和式(7)。波速vp、vs分別代表P波和SV波波速，E、μ和ρ分別代表半無限介質(zhì)的彈性模量、泊松比和密度。

圖7 平面P波傾斜入射示意

(6)

(7)

(8)

(9)

4.2 空間特征區(qū)域

半無限介質(zhì)中存在三條地震波，質(zhì)點運動由三條地震波運動疊加形成。依據(jù)與第4節(jié)相同的分析方法，可得到在任意空間點(x,z)，入射P波的到達(dá)和離開時間PIs和PIe分別表示為式(10)和式(11)，反射P波的到達(dá)和離開時間PRs和PRe分別表示為式(12)和式(13)、反射SV波的到達(dá)和離開時間SRs和SRe分別表示為式(14)和式(15)。

PIs=(xsinθ-zcosθ)/vp

(10)

PIe=(xsinθ-zcosθ)/vp+T

(11)

PRs=(xsinθ+zcosθ)/vp

(12)

PRe=(xsinθ+zcosθ)/vp+T

(13)

SRs=(xsinθ′+zcosθ′)/vs

(14)

SRe=(xsinθ′+zcosθ′)/vs+T

(15)

由于涉及地震波之間的分離和空間區(qū)域的分界，將地震波之間的分離坐標(biāo)稱為分離線，將空間區(qū)域的劃分坐標(biāo)稱為分界線。依據(jù)以上公式，可得出PI與PR的分離線坐標(biāo)為式(16)、PI與SR的分離線為式(17)、PR與SR的分離線坐標(biāo)為式(18)。

z1=vpT/2cosθ

(16)

z2=vpvsT/(vpcosθ′+vscosθ)

(17)

z3=vpvsT/(vpcosθ′-vscosθ)

(18)

在三條地震波存在情況下，分離區(qū)應(yīng)滿足三條地震波對質(zhì)點運動時程無重疊貢獻(xiàn)時段，因此分界線應(yīng)為三條分離線中的最大值。考慮到實際場址地震波通常為小角度入射，此時分界線為z3。通過z3表達(dá)式可知，當(dāng)P波傾斜入射時分界線仍與x軸平行。

zd=z3=vpvsT/(vpcosθ′-vscosθ)

(19)

4.3 半無限空間質(zhì)點運動表達(dá)式

圖7所示半無限介質(zhì)內(nèi)，入射P波的波函數(shù)可用式(20)表示，反射P波和反射SV波的波函數(shù)可分別用式(21)和式(22)表示。

(20)

(21)

(22)

疊加入射P波、反射P波和反射SV波的波函數(shù)，可得到半無限介質(zhì)內(nèi)任意空間點運動的水平分量和豎直分量分別為式(23)和式(24)。

h(t,x,z)=g(t,x,z)sinθ+

gp(t,x,z)sinθ-gs(t,x,z)cosθ′

(23)

v(t,x,z)=-g(t,x,z)cosθ+

gp(t,x,z)cosθ+gs(t,x,z)sinθ′

(24)

假設(shè)空間坐標(biāo)由(x,z)變化為(x+Δx,z)，依據(jù)式(20)～式(24)和斯奈爾定律式(25)可得到式(26)和式(27)。

vp/vs=sinθ/sinθ′

(25)

(26)

(27)

公式(26)和(27)的物理意義為：在半無限介質(zhì)內(nèi)P波傾斜入射情況下，位置(x+Δx,z)處質(zhì)點的運動，與(x,z)位置質(zhì)點在Δxsinθ/vp時間后的運動相同。也可描述為質(zhì)點運動的時程形狀不隨水平坐標(biāo)變化。因此研究半無限介質(zhì)P波傾斜入射情況質(zhì)點運動空間特征時，可重點關(guān)注質(zhì)點運動沿豎向的變化。相關(guān)公式中當(dāng)θ=0時代表垂直入射情況，因此公式(26)和(27)對P波垂直入射和傾斜入射均適用。

4.4 疊加區(qū)運動空間差異

采用與第3節(jié)相同的介質(zhì)參數(shù)，假設(shè)P波以30°傾斜入射，依據(jù)式(19)可得到分界線深度為6.25 km。分別選取自由面和深度2 km質(zhì)點作為特征點。

圖8顯示了兩個特征點的水平向運動時程，圖中時間零點代表地震波傳播到達(dá)該位置的時刻。當(dāng)P波以30°入射時，自由面質(zhì)點運動中入射波和反射波貢獻(xiàn)時段都為0～2.00 s；深度2 km處質(zhì)點運動時程中，入射P波貢獻(xiàn)時段為0～2.00 s，反射P波貢獻(xiàn)時段為1.61～3.61 s，反射SV波貢獻(xiàn)時段為2.25～4.25 s。

(a) 自由面

(b) 2 km深度

從質(zhì)點運動的疊加模式看，質(zhì)點運動時程可分為單波貢獻(xiàn)時段和多波貢獻(xiàn)時段。對于自由面質(zhì)點，整個運動時程均為多波貢獻(xiàn)。深度2 km處質(zhì)點運動時程信息列于表1，在3條地震波影響下，質(zhì)點運動時程中包含3個單波貢獻(xiàn)時段和2個雙波貢獻(xiàn)時段。

表1 深度2 km質(zhì)點入射波與反射波貢獻(xiàn)時段

Tab.1 Contribution time of incident and reflect waves on motion of particle at 2 kilometers depth

起止時刻/s貢獻(xiàn)地震波類型0～1.61PI單波貢獻(xiàn)1.61～2.00PI、PR雙波貢獻(xiàn)2.00～2.25PR單波貢獻(xiàn)2.25～2.61PR、SR雙波貢獻(xiàn)3.61～4.25SR單波貢獻(xiàn)

兩個位置質(zhì)點運動時程對比可看出，受到地震波疊加方式的影響，質(zhì)點運動不僅出現(xiàn)了持時、峰值的差異，也表現(xiàn)出明顯的時程形狀差異?？梢姷卣鸩▊鞑バ?yīng)所帶來的地震動空間差異顯著且不可忽略。相對于P波垂直入射情況，傾斜入射情況介質(zhì)內(nèi)的地震波數(shù)量增加，質(zhì)點運動時程中的地震波貢獻(xiàn)時段劃分更加復(fù)雜。

圖9和圖10列出了峰值位移沿豎向的分布。可看出傾斜入射表現(xiàn)規(guī)律與垂直入射類似，但由于地震波傾斜入射時半無限介質(zhì)內(nèi)地震波數(shù)量更多且疊加模式更復(fù)雜，與垂直入射規(guī)律略有不同。以負(fù)峰值為例：由于反射P波與反射S波的分離位置更深，傾斜入射情況幅值變化區(qū)域較垂直入射更大；由于反射P波與反射S波幅值與入射波幅值不同，位移峰值沿豎向的變化規(guī)律與垂直入射情況存在差異。

5 結(jié) 論

本文以波動理論為基礎(chǔ)，針對平面P波入射時半無限介質(zhì)內(nèi)質(zhì)點運動的空間特征開展研究，得出以下結(jié)論：

(1) 平面P波垂直入射和傾斜入射兩種情況時，質(zhì)點運動的空間差異主要沿豎向變化，同高程質(zhì)點運動僅存在時間滯后，在持時、峰值和時程形狀等方面均保持一致。

(2) 平面P波入射時，依據(jù)地震波形成質(zhì)點運動的疊加模式差異，半無限空間沿深度可劃分為疊加區(qū)和分離區(qū)。疊加區(qū)主要特征為質(zhì)點運動時程中存在不同地震波的疊加貢獻(xiàn)時段，分離區(qū)主要特征為質(zhì)點運動時程中不同地震波的貢獻(xiàn)時段在時域是分離的。依據(jù)波的傳播條件得到平面P波入射時疊加區(qū)和分離區(qū)的分界線表達(dá)式。

(3) 在疊加區(qū)域的不同位置，受到地震波間疊加效應(yīng)的影響，質(zhì)點運動在持時、峰值和時程形狀方面均可能存在差異。在運動峰值方面，受到入射波和反射波疊加效應(yīng)影響，接近地面區(qū)域均會出現(xiàn)運動峰值隨深度減小逐漸增大的現(xiàn)象。

由于本文選取地震波為簡單的Ricker子波，只能對地震波傳播和疊加模式所產(chǎn)生的質(zhì)點運動空間差異進(jìn)行簡單的規(guī)律性研究。實際地震引起進(jìn)入場址的地震波更加復(fù)雜，該情況下質(zhì)點運動的空間特征仍需深入研究。