關(guān)于“軸對(duì)稱圖形”中的兩個(gè)重要基本圖形

幾何離不開(kāi)幾何圖形，幾何中每個(gè)定義、定理、公理都對(duì)應(yīng)著一個(gè)基本圖形，除了掌握這些最基本的圖形外，還要掌握一些常用的基本圖形.在幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們?nèi)裟茏⒅乜偨Y(jié)歸納基本圖形，必將受益匪淺.下面以蘇科版八（上）第二章“軸對(duì)稱圖形”中總結(jié)出的兩個(gè)重要的基本圖形為例加以說(shuō)明.

一、基本圖形——垂直平分線

性質(zhì)：如圖1，已知AD是線段BC的垂直平分線，則AB=AC.（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）

判定：如圖1，已知AB=AC，BD=CD，則AD是線段BC的垂直平分線.（到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上）

應(yīng)用：

例1 如圖2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF為AB的垂直平分線，EF交BC于F，交AB于E.求證：BF=■FC.

【分析】添輔助線往往是找出基本圖形的首要條件，它能將不完整的基本圖形補(bǔ)充完整.這里輔助線的著眼點(diǎn)就是“垂直平分線”，所以連接AF得到等腰三角形，再利用等腰三角形性質(zhì)定理證明.

證明：連接AF.

∵EF為AB的垂直平分線，

∴AF=BF，

∴∠B=∠FAB.

∵AB=AC，∴∠B=∠C.

∵∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，

∴∠FAB=30°，

∴∠FAC=∠BAC-∠FAB=90°，

∴AF=■FC，

∴BF=■FC.

例2 如圖3，在△ABC中，M、N分別是BC與EF的中點(diǎn)，CF⊥AB，BE⊥AC.求證：MN⊥EF.

【分析】這里輔助線的著眼點(diǎn)依然是“垂直平分線”.要證明的MN與EF的垂直關(guān)系以及條件中N是 EF的中點(diǎn)，就是提示我們MN是EF的垂直平分線，所以連接MF與ME得到等腰三角形，再利用等腰三角形“三線合一”證明，從而輕松解決問(wèn)題.

證明：連接MF、ME.

∵CF⊥AB，

∴△CFB是直角三角形.

又∵M(jìn)是BC邊上的中點(diǎn)，

∴MF=■BC.

同理ME=■BC.

∴MF=ME.

又∵N是 EF的中點(diǎn)，∴MN⊥ EF.

二、基本圖形——角平分線

性質(zhì)：如圖4，點(diǎn)P是∠BOA的角平分線OE上的一點(diǎn)，PD⊥OB，PC⊥OA，垂足分別為D、C. 則DP=CP.（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等.）

判定：如圖4，點(diǎn)P是∠BOA內(nèi)的一點(diǎn)，PD⊥OB，PC⊥OA，垂足分別為D、C，且 DP=CP， 則點(diǎn)P在∠BOA的平分線上.（角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.）

應(yīng)用：

例3 如圖5，OC平分∠AOB，P是OC上一點(diǎn)，D是OA上一點(diǎn)，E是OB上一點(diǎn)，且PD=PE，求證：∠PDO+∠PEO=180°.

【分析】要證∠PDO+∠PEO=180°，而∠PDO、∠PEO在圖形的不同位置，且無(wú)平行線使它們聯(lián)系起來(lái)，若設(shè)法把其中的一個(gè)角轉(zhuǎn)化為另一個(gè)角的鄰補(bǔ)角，問(wèn)題便可以解決.由于OC是角平分線，故可過(guò)P點(diǎn)作兩邊的垂線，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形，再證明這兩個(gè)三角形全等即可.

證明：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為M、N.

∵OC是角平分線，

∴PM=PN.

在Rt△PMD和Rt△PNE中，

PD=PE，PM=PN，

∴Rt△PMD≌Rt△PNE，

∴∠MDP=∠NEP.

又∵∠MDP+∠PDO=180°，

∴∠PDO+∠PEO=180°.

例4 如圖6，已知：∠A=90°，AD∥BC，P是AB的中點(diǎn)，PD平分∠ADC.求證：CP平分∠DCB.

【分析】點(diǎn)P在∠ADC的平分線上，欲證點(diǎn)P在∠DCB的角平分線上，可轉(zhuǎn)化為證點(diǎn)P到這個(gè)角兩邊的距離相等，這是本題證明的關(guān)鍵.過(guò)點(diǎn)P向DC引垂線，以便充分運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理.

證明：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥DC，垂足為E.

則∠1=∠2=90°.

又∵∠A=90°，∴∠1=∠2=∠A=90°.

又∵PD平分∠ADC，∴PA=PE.

∵P是AB的中點(diǎn)，∴PA=PB，∴PE=PB.

∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，

∴∠B=90°.

∴點(diǎn)P在∠DCB的平分線上，

∴CP平分∠DCB.

通過(guò)對(duì)這兩個(gè)基本圖形的研究，我們不難發(fā)現(xiàn)幾何問(wèn)題中所涉及的復(fù)雜圖形往往都是一些基本圖形的疊加和演變.牢牢掌握基本圖形，能幫助我們迅速添加輔助線“補(bǔ)圖”，找到證題思路.如果我們能掌握這些基本圖形的性質(zhì)和特征，在以后的幾何解題過(guò)程中，便會(huì)從容不迫地應(yīng)對(duì)各種復(fù)雜的圖形.