基于小波降噪和最小二乘的加速度計(jì)參數(shù)辨識(shí)*

董雅雯， 王建林， 魏青軒， 邱科鵬， 趙利強(qiáng)

(北京化工大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京 100029)

0 引 言

加速度計(jì)是用于測(cè)量載體運(yùn)動(dòng)加速度的傳感器,被廣泛應(yīng)用于航空航天、建筑、工業(yè)自動(dòng)化等領(lǐng)域。其動(dòng)態(tài)特性直接影響著裝置或系統(tǒng)的整體性能。加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辨識(shí)是加速度計(jì)動(dòng)態(tài)特性研究的主要內(nèi)容之一。然而,受測(cè)量噪聲的影響,直接利用測(cè)量的加速度計(jì)信號(hào)進(jìn)行加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辨識(shí)精度較低,誤差較大。有效濾除加速度計(jì)信號(hào)中的噪聲,對(duì)提高加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辨識(shí)精度有重要作用。

沖擊激勵(lì)法是獲取加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型的常用方法,主要包括絕對(duì)法和比較法,其中,絕對(duì)法需要測(cè)得沖擊激勵(lì)信號(hào)[1,2],對(duì)實(shí)驗(yàn)條件和環(huán)境要求較高。加速度計(jì)比較法沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)[3]是獲取加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型的常用實(shí)驗(yàn)方法,但由于沖擊激勵(lì)具有持續(xù)時(shí)間短、頻率范圍寬等特點(diǎn),使得沖擊加速度計(jì)信號(hào)降噪較為困難。

基于小波變換的信號(hào)降噪方法利用了小波變換[4]的良好的時(shí)頻多分辨性特點(diǎn)[5～7],主要有模極大值降噪法[8]、尺度相關(guān)性降噪法[9]和閾值降噪法[10]等方法。閾值降噪法克服了模極大值降噪法和相關(guān)性降噪法的缺點(diǎn),能夠避免偽極值點(diǎn)的產(chǎn)生,更好保留原始信號(hào)的特征峰值點(diǎn),且無(wú)需估計(jì)噪聲統(tǒng)計(jì)特征,被廣泛應(yīng)用于信號(hào)降噪[11,12]。

加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型的辨識(shí)方法主要分為參數(shù)時(shí)域辨識(shí)和參數(shù)頻域辨識(shí)兩大類。其中,參數(shù)時(shí)域辨識(shí)方法多以自回歸模型及其衍生模型為基礎(chǔ),通過(guò)遺傳算法[13]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[14]、機(jī)理建模[15]及最小二乘法等參數(shù)辨識(shí)法獲得加速度計(jì)的動(dòng)態(tài)模型參數(shù)。雖然直接利用加速度計(jì)的輸入輸出信號(hào)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)的方法直接易懂,但是其在實(shí)現(xiàn)過(guò)程中,容易受到模型階次和噪聲等方面的干擾,并且相較于參數(shù)頻域辨識(shí)方法,參數(shù)時(shí)域辨識(shí)的方法的計(jì)算量一般較大。參數(shù)頻域辨識(shí)方法,都首先求得其頻率響應(yīng),在利用最小二乘[16,17]法或與其聯(lián)合的方法,對(duì)加速度計(jì)信號(hào)的頻域的數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。但直接使用最小二乘法時(shí),很容易導(dǎo)致動(dòng)態(tài)模型的參數(shù)誤差較大,參數(shù)辨識(shí)精度產(chǎn)生嚴(yán)重偏差。

針對(duì)加速度計(jì)比較法沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)中,噪聲對(duì)加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辨識(shí)精度的影響,提出一種基于小波降噪和最小二乘的加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型頻域參數(shù)辨識(shí)方法。

1 基于序列相關(guān)和小波變換的閾值降噪方法

在加速度計(jì)比較法沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)中,參考加速度計(jì)與被校加速度計(jì)的輸出信號(hào)來(lái)自同一沖擊激勵(lì),兩個(gè)加速度計(jì)輸出信號(hào)具有較高的相關(guān)性。對(duì)加速度計(jì)輸出信號(hào)進(jìn)行相同的小波分解,原信號(hào)被分解成不同頻率段的小波系數(shù),對(duì)應(yīng)的小波系數(shù),同樣具有較高的相關(guān)性。由于噪聲和有效信號(hào)之間以及噪聲之間通常相關(guān)性非常小[18]。受噪聲影響,對(duì)應(yīng)小波系數(shù)的相關(guān)性將發(fā)生改變。當(dāng)小波系數(shù)中含有用信號(hào)較多、噪聲較少時(shí),對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)的互相關(guān)性較強(qiáng),互相關(guān)系數(shù)較大；反之,對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)的互相關(guān)性較弱,互相關(guān)系數(shù)較小。因此,可以根據(jù)對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)的相關(guān)性大小,來(lái)設(shè)置不同的閾值,提高加速度計(jì)信號(hào)的降噪效果。

改進(jìn)小波閾值降噪方法其方法步驟如下：

其具體步驟如下：

1)對(duì)參考加速度計(jì)輸出信號(hào)x1(t)、被校加速度計(jì)輸出信號(hào)x2(t)根據(jù)式(1)分別進(jìn)行n層離散小波變換,得到第j層的細(xì)節(jié)系數(shù)d1,j,d2,j(j=1,2,…,n)及近似系數(shù)a1,n,a2,n

2)根據(jù)式(2)計(jì)算兩輸出數(shù)據(jù)序列第i層對(duì)應(yīng)的細(xì)節(jié)系數(shù)d1,j,d2,j(j=1,2,…,n)的互相關(guān)系數(shù)rj

3)根據(jù)固定閾值原則即式(3)計(jì)算出每層細(xì)節(jié)系數(shù)d1,j,d2,j的初始閾值T1,j,T2,j,根據(jù)式(4)得到新閾值Tn1,j,Tn2,j

(4)

4)根據(jù)式(5)到降噪后的小波系數(shù)。

5)將步驟(4)中閾值降噪后的參考加速度計(jì)和被校加速度計(jì)的輸出序列的小波系數(shù)按照式(6)進(jìn)行小波反變換,得到降噪后的加速度計(jì)輸出信號(hào)

2 基于小波降噪和最小二乘的加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)頻域辨識(shí)

為了實(shí)現(xiàn)被校加速度計(jì)的動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辨識(shí),首先利用降噪后的加速度計(jì)信號(hào)獲得被校加速度計(jì)的頻率響應(yīng)函數(shù),再根據(jù)其頻率響應(yīng)函數(shù)數(shù)據(jù),利用最小二乘法,實(shí)現(xiàn)其動(dòng)態(tài)模型的參數(shù)辨識(shí)。

2.1 加速度計(jì)頻率響應(yīng)函數(shù)估計(jì)

加速度計(jì)比較法沖擊激勵(lì)校準(zhǔn),實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。兩個(gè)加速度計(jì)輸出的電荷信號(hào)經(jīng)電荷放大器轉(zhuǎn)換為電壓信號(hào),并被同步采集。根據(jù)已知參考加速度計(jì)二階線性模型、參考加速度計(jì)及被校加速度計(jì)的輸出信號(hào),得出被校加速度計(jì)的頻率響應(yīng)函數(shù)估計(jì)。

已知參考加速度計(jì)二階線性模型,其傳遞函數(shù)為Gr(s),頻率響應(yīng)估計(jì)函數(shù)為Gr(jω),被校加速度計(jì)的二階線性模型參數(shù)未知,設(shè)其傳遞函數(shù)為Gc(s)及頻率響應(yīng)估計(jì)函數(shù)為Gc(jω),在加速度計(jì)比較法沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)中,沖擊激勵(lì)信號(hào)u(t)未知,其頻域分布為U(jω)。在同一沖擊激勵(lì)作用下,參考加速度計(jì)輸出信號(hào)為ar(t),被校加速度計(jì)輸出信號(hào)為ac(t),將ar(t),ac(t)變換至頻域,得到其頻域分布Ar(jω),Ac(jω)。滿足下式

由式(7)及式(8)得到被校加速度計(jì)的頻率響應(yīng)函數(shù)估計(jì)Gc(jω)為

2.2 加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辨識(shí)

設(shè)參考加速度計(jì)的動(dòng)態(tài)二階線性模型為

式中ρr,ωnr和δr均已知,同時(shí),設(shè)被校加速度計(jì)的動(dòng)態(tài)二階線性模型為

式中ρr、ωnr和δc均未知。將式(10)、式(11)代入式(9)可得

(12)

分別令

fT(jω)=(1,2jω,-ω2)

(15)

則式(12)可化為

(17)

最小,式中,Re和Im分別為實(shí)部和虛部。代入最小二乘算子,分別為

HT=(Re(fT(ω1)),Re(fT(ω2)),…,Re(fT(ωL)),

Im(fT(ω1)),Im(fT(ω2)),…,Im(fT(ωL)))

(19)

式中L為頻率響應(yīng)函數(shù)長(zhǎng)度。由式(16)、式(18)及式(19)得到μ的最小二乘估計(jì)為

(20)

在對(duì)被校加速度計(jì)的動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)的過(guò)程中,由于諧振頻率附近能夠明顯包含加速度計(jì)二階線性模型的信號(hào)特征,因此,選取諧振頻率附近的頻率段的頻率響應(yīng)函數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。

3 實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)

利用MATLAB軟件仿真加速度計(jì)沖擊激勵(lì)與響應(yīng)信號(hào),其中,沖擊激勵(lì)信號(hào)通過(guò)四階巴特沃斯濾波器產(chǎn)生,截止頻率為10 kHz,采樣頻率為1 MHz,數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為5×104,設(shè)置仿真參考加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)為δ1=0.006 3,ωn1=2.775×105rad/s和ρ1=3.457×1010,仿真被校參考加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)為δ2=0.004 3,ωn2=1.644×105rad/s和ρ2=1.633×1010,分別對(duì)兩個(gè)加速度計(jì)的輸出信號(hào)加入信噪比為5,10,15,20 dB的高斯白噪聲,得到含噪聲的加速度計(jì)信號(hào),其中仿真加速度計(jì)含噪輸出信號(hào)如圖1所示。

圖1 仿真加速度計(jì)輸入信號(hào)與含噪聲加速度計(jì)輸出信號(hào)波形

應(yīng)用本方法對(duì)仿真參考加速度計(jì)和被校加速度計(jì)的輸出信號(hào)進(jìn)行降噪,權(quán)值系數(shù)α=0.5,并與傳統(tǒng)的基于小波變換的閾值降噪方法進(jìn)行對(duì)比,選取去噪效果較好的小波基函數(shù)‘db3’,對(duì)信號(hào)進(jìn)行6層數(shù)分解。

由估計(jì)出的頻率響應(yīng)曲線與模型的頻率響應(yīng)曲線對(duì)比結(jié)果如圖2所示。

圖2 被校加速度計(jì)幅頻響應(yīng)

由圖2可知,改進(jìn)的小波閾值降噪方法可以有效降低諧振頻率附近的噪聲,使頻率響應(yīng)曲線更平滑,可為下一步的參數(shù)辨識(shí)提供更可靠的數(shù)據(jù)。

表1 仿真模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

由表1可知,方法1產(chǎn)生的誤差最大,參數(shù)辨識(shí)得到的模型嚴(yán)重失真,甚至產(chǎn)生了一個(gè)數(shù)量級(jí)的誤差；方法2較方法1,參數(shù)辨識(shí)得到的模型的精度有了一定的提升,估計(jì)值與真值處于同一數(shù)量級(jí),誤差有了一定的減小；方法3較方法2有了一定的改善,尤其是ωn更加精確,但是δ及ρ距離真值仍有一定的誤差。

3.2 加速度計(jì)比較法沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)

將本文方法應(yīng)用于加速度計(jì)比較法沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)。該系統(tǒng)由沖擊激勵(lì)裝置、參考加速度計(jì)(型號(hào)：271A01)、被校加速度計(jì)(型號(hào)：222A02)、電荷放大器及PCIe數(shù)據(jù)采集卡等組成。參考加速度計(jì)和被校加速度計(jì)通過(guò)背靠背方式固定,并內(nèi)置于沖擊激勵(lì)裝置的豎直圓管內(nèi),其上裝有鋼珠,利用鋼珠下落,電荷放大器轉(zhuǎn)換為電壓信號(hào),并以1 MHz的采樣頻率同步采集。

利用上述實(shí)驗(yàn)裝置獲取參考和被校加速度計(jì)輸出信號(hào),實(shí)驗(yàn)共重復(fù)10次。

為了驗(yàn)證本文方法的有效性,對(duì)仿真被校加速度計(jì)的動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。設(shè)置對(duì)比方法：1)利用傳統(tǒng)小波閾值降噪后得到的加速度計(jì)信號(hào)求得的頻率響應(yīng)函數(shù)諧振頻率附近的頻率段數(shù)據(jù)結(jié)合最小二乘法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)；2)利用改進(jìn)小波閾值降噪后得到的加速度計(jì)信號(hào)求得的頻率響應(yīng)函數(shù)諧振頻率附近的頻段數(shù)據(jù)結(jié)合最小二乘法即本文方法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。應(yīng)用本文方法對(duì)仿真參考加速度計(jì)和被校加速度計(jì)的輸出信號(hào)進(jìn)行降噪,權(quán)值系數(shù),并與傳統(tǒng)的基于小波變換的閾值降噪方法進(jìn)行對(duì)比。其中,選取的小波基為‘db3’,分解層數(shù)為6。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。其中校準(zhǔn)結(jié)果為絕對(duì)法正弦激勵(lì)振動(dòng)校準(zhǔn)結(jié)果,來(lái)自中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院。

表2 模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

由表2可知,相較于方法1,本文方法參數(shù)辨識(shí)得到的模型更接近中國(guó)計(jì)量科學(xué)院絕對(duì)法正弦激勵(lì)振動(dòng)校準(zhǔn)結(jié)果,且參數(shù)辨識(shí)的結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差接近或小于法1,本文方法結(jié)果較穩(wěn)定。

4 結(jié) 論

實(shí)驗(yàn)表明,本文方法可以降低加速度計(jì)信號(hào)中的噪聲對(duì)信號(hào)精度的影響,提高參數(shù)辨識(shí)精度,且結(jié)果較穩(wěn)定。