理想彈塑性懸臂梁雙重非線性問題的優(yōu)化算法

林祖宏，尤 超，譚啟明

與純彎曲懸臂梁的不同，理想彈塑性懸臂梁在橫向載荷作用下，懸臂梁橫截面上的剪力不再為零，所以要考慮剪切變形的影響[1]，這也是比純彎曲懸臂梁更為復(fù)雜之處。對于雙重非線性問題，常用的求解方法是有限元方法，即從初始位置開始，逐步遞增荷載的方式，并在每個荷載步段通過牛頓-拉斐爾法逼近平衡狀態(tài)[2-3]。而本文的做法是取結(jié)構(gòu)變形后的平衡狀態(tài)為研究對象，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系采用理想彈塑性模型，并考慮剪切變形的影響，最后確定理想彈塑性懸臂梁雙重非線性分析的優(yōu)化問題[4-9]，編制相應(yīng)優(yōu)化程序求解轉(zhuǎn)角和變形，并結(jié)合典型案例與有限元法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較[10-12]，驗(yàn)證本文提出的優(yōu)化算法的正確性和有效性。

1 建立理想彈塑性懸臂梁力學(xué)模型

懸臂梁的橫截面為矩形，梁長L，寬b，高2h，剛度EI，屈服強(qiáng)度Y，受集中力Px、Py作用，其受力圖如圖1所示。

圖1 理想彈塑性懸臂梁變形前后的平衡狀態(tài)圖

變形前，理想彈塑性懸臂梁固定端的受力為：

(1)

變形后，理想彈塑性固定端的受力為：

(2)

發(fā)生彈塑性變形后，變形如圖2所示，陰影部分為彈塑性變形區(qū)，其他部分為彈性變形區(qū)，圣維南定力依然成立，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系采用理想彈塑性結(jié)構(gòu)模型，其本構(gòu)方程為：

(3)

式中：ε為應(yīng)變，σ為應(yīng)力，E為彈性模量，λ是一個非負(fù)的參數(shù)。

圖2 理想彈塑性懸臂梁的彈塑性變形分布圖

2 各微段在局部坐標(biāo)系下受力分析

理想彈塑性懸臂梁發(fā)生彈塑性變形后，見圖1，端點(diǎn)坐標(biāo)分別是A′(0,0)、B′(XB′,YB′)，將懸臂梁分為n個微段，每個微段的長度是Δl=L/n，設(shè)整體坐標(biāo)系為OXY，則微段端點(diǎn)在整體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是Sk(Xk,Yk),k=0,1,2,…,n。

圖3 第k個微段變形后的平衡狀態(tài)圖

對變形后第k個微段進(jìn)行內(nèi)力分析，見圖3，左端點(diǎn)坐標(biāo)是Sk-1(Xk-1,Yk-1)，右端點(diǎn)坐標(biāo)是Sk(Xk,Yk)，以微段左端點(diǎn)坐標(biāo)的切線和法線為xk軸和yk軸，建立局部坐標(biāo)系xkoyk，每個微段的變形符合胡克定律，由材料力學(xué)[13]可知：

(4)

第k個微段的內(nèi)力為：

(5)

理想彈塑性懸臂梁在橫向載荷作用下，橫截面上的剪力Qk不再為零，此時要將剪切變形的影響考慮進(jìn)來，剪切變形可由下式求得。

(6)

式中：K為與橫截面形狀有關(guān)的剪力修正系數(shù)。

發(fā)生彈塑性變形后中心軸線處的曲率，由本構(gòu)方程，屈服強(qiáng)度Y，εY=Y/E和kY=εY/h得出：

MY=kYEI=YI/h

(7)

式中：kY為達(dá)到屈服條件時中心軸線處的曲率。

可得理想彈塑性材料懸臂梁第k個微段的曲率為：

(8)

則第k個微段的變形關(guān)系式為：

(9)

3整體坐標(biāo)系下遞推關(guān)系式的建立

在整體坐標(biāo)系下，Sk點(diǎn)的變形與轉(zhuǎn)角由Sk-1點(diǎn)和第k個微段的變形與轉(zhuǎn)角共同決定，若第k個微段的轉(zhuǎn)角與變形分別為Δθk、Δxk、Δyk，則Sk點(diǎn)的變形由下面遞推關(guān)系式得到：

(10)

3 計(jì)算優(yōu)化問題與目標(biāo)函數(shù)

(11)

構(gòu)建以自由端B′點(diǎn)未知坐標(biāo)為設(shè)計(jì)變量的目標(biāo)函數(shù)：

(12)

4 算例分析

理想彈塑性懸臂梁結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：橫截面為矩形，高h(yuǎn)=0.01m，寬b=0.05m，梁長L=1m，彈性模量E=100.0MPa，泊松比μ=0.3，屈服強(qiáng)度Y=1.0MPa，剪切模量G=1.0MPa，慣性矩IZ=[0.05×0.023]/12=3.33×10-8。采用本文優(yōu)化算法和有限元方法分別對典型算例進(jìn)行計(jì)算，并對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬分析。

算例1豎向荷載Py作用在懸臂梁自由端，用本文優(yōu)化算法和有限元軟件分別計(jì)算Py的八種荷載情況，并將兩種方法的計(jì)算結(jié)果列于表1中。

表1 Py作用下理想彈塑性懸臂梁變形結(jié)果

圖4為在不同豎向荷載作用時，本文優(yōu)化算法得到的變形后理想彈塑性懸臂梁的平衡狀態(tài)圖。

圖4 在不同Py作用下，本文算法得到的理想彈塑性懸臂梁變形圖

圖5為豎向荷載為Py=4.8N時，分別采用本文優(yōu)化算法和有限元方法得到的轉(zhuǎn)角和撓度變形曲線圖。

圖5 Py=4.8N時，本文算法和有限元方法得到的理想彈塑性懸臂梁變形圖

算例2荷載Px、Py分別作用在懸臂梁自由端，用本文優(yōu)化算法和有限元軟件分別計(jì)算Py=Px的八種荷載情況，并將兩種方法計(jì)算出的變形和轉(zhuǎn)角列于表2中。

圖6為在不同Px、Py作用時，本文優(yōu)化算法得到的變形后理想彈塑性懸臂梁的平衡狀態(tài)圖。

圖7為Px=Py=4.8N時，分別采用本文優(yōu)化算法和有限元方法得到的轉(zhuǎn)角和撓度變形曲線圖。

從圖5和圖7的轉(zhuǎn)角和撓度曲線圖可以看到，采用本文優(yōu)化算法和有限元方法的計(jì)算結(jié)果具有很好的一致性，進(jìn)而說明本文提出的優(yōu)化算法在求解理想彈塑性懸臂梁雙重非線性問題具有有效性和正確性。

圖6 在不同Px、Py作用下，本文算法得到的理想彈塑性懸臂梁變形圖

5 結(jié)束語

本文研究了理想彈塑性懸臂梁雙重非線性的問題，對結(jié)構(gòu)變形前后的平衡狀態(tài)，進(jìn)行受力分析，建立理想彈塑性懸臂梁力學(xué)模型，構(gòu)建端點(diǎn)未知的目標(biāo)好函數(shù)，確定結(jié)構(gòu)變形的優(yōu)化問題。通過計(jì)算典型實(shí)例，從轉(zhuǎn)角和變形對比圖可以看到，采用本文優(yōu)化算法和有限元方法的計(jì)算結(jié)果具有很好的一致性，進(jìn)而驗(yàn)證了本文優(yōu)化算法在求解理想彈塑性懸臂梁雙重非線性問題上的有效性和正確性，具有一定的推廣前景。

表2 Px=Py作用的理想彈塑性懸臂梁變形結(jié)果

圖7 Px=Py=4.8N時，本文算法和有限元方法得到的理想彈塑性懸臂梁變形圖