齊若杉, 崔久波, 張海豐, 肖 逍, 趙 森, 龐福榮, 龔聞斌
(佳木斯大學理學院,黑龍江 佳木斯 154007)
量子力學是研究微觀粒子的運動規(guī)律的重要物理學科,其主要研究對象是原子、分子、凝聚態(tài)物質(zhì)、原子核和其他基本粒子的結構和物理化學性質(zhì)[1~3]。根據(jù)量子理論,當被研究系統(tǒng)的能量取確定值時,系統(tǒng)處于定態(tài);當系統(tǒng)的哈密頓算符顯含時間時,研究系統(tǒng)的量子躍遷問題可以通過近似方法和精確求解的方法進行[4~6]。定態(tài)微擾理論就是有效的近似方法之一,在很多量子物理化學的研究中被廣泛的應用[7~10]。本文就是基于定態(tài)微擾理論和精確解的方法求解定態(tài)量子系統(tǒng)躍遷幾率。
考慮一個哈密頓算符為H0的物理系統(tǒng),假定H0的本征值是非簡并的分立譜,其本征方程可以表示為
H0|φn〉=En|φn〉
(1)
設H0與時間無關,但從t=0時刻開始,系統(tǒng)被加上了一個與時間有關的微擾項
H0(t)=H0+λW(t)
(2)
式中λ為參數(shù),且λ?1,W(t)是一個在t<0時為0的與H0同一數(shù)量級的算符。設系統(tǒng)的初態(tài)為H0對應于本征值Ei的本征態(tài),則一階近似下系統(tǒng)處在H0的另一個本征態(tài)|φf〉中的概率Pif(t)可以表示為
(3)
式中ωif=(Ei-Ef)/?為玻爾角頻率,Wif(t)為W(t)的矩陣元,可以表示為
Wif(t)=〈φf|W(t)|φi〉
(4)
在常微擾的情況下,躍遷只能在能量相同的態(tài)之間發(fā)生,從|φi〉到|φf〉之間的躍遷概率Pif隨時間線性增加,且有
(5)
式中ρ(Ef)是末態(tài)的態(tài)密度。
假定一個量子系統(tǒng)有兩個定態(tài)|1〉和|2〉,其能量本征值之差為E2-E1=?ω21。在t=0時系統(tǒng)處于狀態(tài)|1〉,從此時開始加上一個與時間無關的微擾H′,其對應的矩陣元分別為
〈1|H′|1〉=0
(6a)
〈2|H′|1〉=?ω0
(6b)
〈2|H′|2〉=-?ω
(6c)
下邊利用一階含時微擾論,計算在t時刻系統(tǒng)處于|1〉態(tài)和|2〉態(tài)的概率。
應用一階含時微擾論,可以計算P|1〉→|2〉,由于系統(tǒng)只有2個本征態(tài),有
P|1〉→|1〉=1-P|1〉→|2〉
(7)
(8)
首先,寫出哈密頓算符H=H0+H′在本征態(tài)
|1〉和|2〉構成的基下的表達式
(9)
(10a)
(10b)
對于狀態(tài)|ψ(t)〉可以得到
|ψ(t)〉=a1e-iλ1t/?|v1〉+a2e-iλ2t|v2〉
(11)
e-iE1t/?[cos(ω0t)|1〉-isin(ω0t)|2〉]
(12)
設|ψ(t)〉為
|ψ(t)〉=C1(t)e-iE1t/?|1〉+C2(t)e-iE2t/?|2〉
(13)
將(13)式代入一般形式的薛定諤方程
(H0+H′)[C1(t)e-iE1t/?|1〉+C2(t)e-iE2t/?|2〉]
(14)
用|1〉左乘(14)式得到
C1(t)e-iE1t/?(〈1|H0|1〉+〈1|H′|1〉)+
C2(t)e-iE2t/?(〈1|H0|2〉+〈1|H′|2〉)=
E1C1(t)e-iE1t/?+C2(t)?ω0e-iE2t/?
(15)
由此可導出
(16)
式中ω21=(E2-E1)/?。同樣用|2〉左乘(14)式,可以得到
(17)
于是(16)和(17)構成一個系數(shù)C1(t)和C2(t)方程組
(18)
由第一個方程解出C2(t)并對時間微分可以得到
將(19)式代入第二個方程可以得到
(20)
利用初始條件C1(t=0)=0,由(20)式可以得到給出C1(t)=cos(ω0t),并由此可以算出系數(shù)C2(t)=-isin(ω0t)eiω21t,于是最后得到
|ψ(t)〉=
e-iE1t/?[cos(ω0t)|1〉-isin(ω0t)|2〉]
(21)
可見兩種方法得到的結果是一樣的。
通過上邊的討論可以看出,系統(tǒng)處于狀態(tài)|2〉中的概率為
P|1〉→|2〉=|〈2|ψ(t)〉|2=sin2(ω0t)
(22)