基于R/S分析的阿壩藏族羌族自治州年降雨量定量預(yù)測

陳江峰，龔書浩，李迎超

(1.河南理工大學(xué) 資源環(huán)境學(xué)院，河南 焦作 454003；2.河南省核工業(yè)放射性核素檢測中心, 河南 鄭州 450044； 3.黃河交通學(xué)院，河南 武陟 454950)

降雨量是水循環(huán)過程中最重要、最活躍的因素之一，降雨量的分布會直接影響到徑流等水文環(huán)境，同時降雨量也是描述一個地區(qū)氣候變化的關(guān)鍵指標，一個地區(qū)降雨量的多少對當?shù)貧夂颦h(huán)境、水資源分布、生態(tài)系統(tǒng)等都會產(chǎn)生重要影響。由于降雨等自然現(xiàn)象具有突發(fā)性，在發(fā)生時間上存在不規(guī)則性，降雨量的大小又受多種復(fù)雜因素的影響，因此很難對降雨量進行精準預(yù)測。近年來，國內(nèi)外研究人員發(fā)現(xiàn)，看似無序、不規(guī)則的降雨現(xiàn)象實際并不是完全隨機的，而是蘊含著規(guī)律，比如自相似性，這是傳統(tǒng)理論難以解釋的，因此越來越多的學(xué)者開始利用分形幾何學(xué)等理論來探討降雨現(xiàn)象的發(fā)生規(guī)律。

Hurst提出的重標度極差法(R/S分析法)是分析時間序列的有力工具，是分形理論的重要方法之一[1]，其優(yōu)勢在于無論時間序列是正態(tài)分布還是非正態(tài)分布，分析結(jié)果的穩(wěn)定性均不受影響，因此迄今仍然是估計Hurst指數(shù)時最常用的方法[2]。R/S分析法以其能夠描述非線性時間序列復(fù)雜變化內(nèi)在規(guī)律的特點，在水文學(xué)和氣象學(xué)研究中有著廣泛應(yīng)用[3-4]。目前利用R/S分析法研究時間序列取得了很大進展，但這類方法的研究與應(yīng)用對象均是時間序列的趨勢性分析，屬于定性預(yù)測。本研究在R/S趨勢性分析研究的基礎(chǔ)上，考慮時間序列長度和相關(guān)性等因素，輔以計算機技術(shù)，實現(xiàn)了降雨量的定量預(yù)測。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 β-Z-H三參數(shù)綜合趨勢分析

1.1.1 Mann-Kendall檢驗

Mann-Kendall(M-K)檢驗法是一種非參數(shù)統(tǒng)計檢驗法，廣泛適用于非正態(tài)分布特征變量的趨勢分析。設(shè)x1,x2,…,xn為時間序列數(shù)據(jù)，n為時間序列數(shù)據(jù)的長度，對于所有t、τ≤n，且t≠τ，xt和xτ的分布是不同的，M-K法定義統(tǒng)計量S為

(1)

其中

式中：xt、xτ分別為序號t、τ對應(yīng)的時間序列數(shù)據(jù)。

S的方差Var(S)計算公式為

Var(S)=[n(n-1)(2n+5)-

(2)

式中：i為時間序列數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)；ei為時間序列數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)的個數(shù)。

(3)

在M-K檢驗中，另一個非常有用的指數(shù)為肯德爾斜率β，它表示時間序列趨勢大小，若β>0,則為上升趨勢,若β<0,則為下降趨勢，若β=0，則說明趨勢不明顯[6]。β值計算公式為

(4)

1.1.2 Hurst指數(shù)

R/S分析的基本思想是改變樣本序列的時間尺度，研究其在不同尺度范圍內(nèi)的統(tǒng)計規(guī)律，從而進行大小時間尺度間的相互轉(zhuǎn)換[7-8]。該方法能從分形時間序列中區(qū)分出隨機和非隨機序列。通過Hurst指數(shù)的判定，可以判斷出時間序列的分形結(jié)構(gòu)和狀態(tài)持續(xù)性，為時序的復(fù)雜性演變提供一種有效的非線性科學(xué)預(yù)測方法[9]。

對于一個隨機過程樣本序列，如果其物理量的時間序列為x1，x2，…，xn，滿足

(5)

式中：τ為時間序列的序數(shù)；R(τ)為時間序列對應(yīng)的累積偏差的域；S(τ)為R(τ)對應(yīng)的標準偏差；R(τ)/S(τ)為重標極差；H為Hurst指數(shù)，其值介于0到1之間[10],可以在雙對數(shù)坐標系中根據(jù)[lnτ,ln(R/S)]的值用最小二乘法擬合求得。

若H=0.5，則表明現(xiàn)在和未來之間沒有相關(guān)性；若0

1.2 初始序列長度

對一個具有狀態(tài)持續(xù)性的時間序列來說，具有長記憶效應(yīng)特征。從理論上講，今天所發(fā)生的一切將一直影響未來，即存在對初始條件的敏感性[12]，對時間序列做Vτ～lnτ分析，即

(6)

此時Vτ圖像對應(yīng)τ的循環(huán)變化長度是時間序列持續(xù)性的平均長度，是統(tǒng)計意義上的數(shù)值，而非時間序列的真正周期，也是預(yù)測初始序列長度選取的可行值[13]。當圖中有多個拐點時，遵循最大H值且擬合度較高的原則選擇突變點作為循環(huán)長度的平均值[13]。

1.3 R/S定量預(yù)測方法的基本原理

H值反映了時間序列的趨勢性，若0

(1)對時間序列進行R/S趨勢性分析，得到線性回歸方程ln(R/S)=a0lnτ+a1，將ln(τ+1)代入線性回歸方程，得到回歸方程下一點的最優(yōu)值ybest。

(2)將假設(shè)數(shù)據(jù)x(τ+1)作為下一點的新數(shù)據(jù)代入相關(guān)計算機程序中進行運算，得到新的預(yù)測點值ln(R/S)τ+1，判斷|ln(R/S)τ+1-ybest|<Δt是否成立(Δt可以根據(jù)需求賦值，以誤差最小、預(yù)測精度最高為準則)。如成立，則此時的x(τ+1)即為定量預(yù)測點，程序停止運行，輸出x(τ+1)，否則進行下一步。

(3)若上步不滿足，則程序再次改變迭代數(shù)據(jù)，通過連續(xù)運算輸出滿足要求的原始數(shù)據(jù)，即為誤差范圍內(nèi)距離ybest最近的原始數(shù)據(jù)，即為下一點的定量預(yù)測值x(τ+1)。

2 R/S定量預(yù)測實例

2.1 數(shù)據(jù)來源

阿壩藏族羌族自治州地處青藏高原東南緣、橫斷山脈北端與川西北高山峽谷的接合部，氣溫分布自東南向西北隨海拔升高而降低：海拔2 500 m以下的河谷地帶降水集中、蒸發(fā)快，為干旱、半干旱地帶；海拔2 500～4 100 m的坡谷地帶為寒溫帶，年平均氣溫1～5 ℃；海拔4 100 m以上為寒帶，終年積雪，長冬無夏。本研究采用阿壩州小金水文觀測站實測年降雨量數(shù)據(jù)(1961—2000年)進行分析和預(yù)測(圖1)。

圖1 阿壩州年降雨量變化曲線

2.2 年降雨量β-Z-H三參數(shù)綜合趨勢分析

對年降雨量數(shù)據(jù)進行R/S趨勢性分析，得到H=0.663 1、R2=0.945 2，表明該時間序列具有正持續(xù)性，時間序列在未來的增減性與原來是相同的，但持續(xù)性較弱，如圖2所示。

將年降雨量數(shù)據(jù)帶入M-K檢驗公式(1)～(4)中得到Z=0.338，β=1.532。β是評價時間序列歷史發(fā)展趨勢的指標，Z可以反映其顯著程度，H能反映時間序列未來發(fā)展的持續(xù)性。β、Z、H都是對時間序列進行分析的指標，進一步將三者綜合，則不同的數(shù)值對應(yīng)關(guān)系

圖2 年降雨量R/S趨勢預(yù)測

具有不同的指示意義。在α=0.05置信水平上，β-Z-H三參數(shù)綜合分析對降雨演化特征的指示作用如表1所示。

表1 β、Z、H綜合分析的指示作用

根據(jù)之前得出的Z=0.338，β=1.532，H=0.663 1，結(jié)合β、Z、H綜合分析指示作用表分析知，研究區(qū)年降雨量時間序列符合序號7的特征，即降雨量過去是增加的，未來將持續(xù)增加，但是趨勢不明顯，這與R/S趨勢分析得到的結(jié)果是相同的。

2.3 初始序列長度

如果初始序列長度過大，數(shù)據(jù)的波動性將會增強，回歸方程的線性關(guān)系就會減弱，因此選取合適的初始序列長度對預(yù)測結(jié)果的準確性尤為重要。對上述時間序列做Vτ～lnτ分析(圖3)，時間序列循環(huán)變化長度為12，因此選取12為時間序列預(yù)測的初始長度。

圖3 降雨量時間序列長記憶性分析

2.4 R/S定量預(yù)測

記1982—1993年降雨量數(shù)據(jù)為序列A，以后新的序列依次命名為序列B、C等。對該時間序列進行R/S分析，得到回歸方程如圖4所示，H=0.548 17，R2=0.977，那么R/S趨勢預(yù)測點之間存在良好的線性關(guān)系，可以嘗試對該時間序列進行定量預(yù)測，得到的預(yù)測值x(13) 為628 mm。

圖4 序列A的 R/S定量預(yù)測

將x(13)放入序列A中得到序列B，對序列B進行同樣運算，得到預(yù)測值x(14)=637 mm(圖5)。同理，得到序列C(圖6)，預(yù)測值x(15)=636 mm。

圖5 序列B的R/S定量預(yù)測

圖6 序列C的R/S定量預(yù)測

2.5 預(yù)測精度檢驗

對得到的預(yù)測值與真實降雨量進行精度檢驗，結(jié)果見表2。

表2 初始序列長度為12的定量預(yù)測值與真實值對比

將預(yù)測值與真實值對比可以看出，初次預(yù)測和第二次預(yù)測結(jié)果較為理想，特別是第一次預(yù)測精度為97.6%，但是第三次較前兩次誤差增大，說明隨著預(yù)測時間序列長度的增加，時間序列的波動性增強，內(nèi)在規(guī)律性減弱?？傮w而言，模型預(yù)測的平均相對殘差為7.1%，平均預(yù)測精度為92.9%，預(yù)測效果顯著。

3 結(jié) 論

(1)輔以計算機技術(shù)，實現(xiàn)了R/S分析方法的定量預(yù)測，將非線性時間序列問題進行了線性求解，將該模型應(yīng)用于降雨量預(yù)測，平均精度高達92.9%。

(2)R/S定量預(yù)測與初始序列長度有關(guān)，連續(xù)多次預(yù)測會使模型精度有所降低，因此對時間序列長度的選擇進行分析，顯得尤為重要。

(3)隨著人類活動的日益增強，降雨量大小預(yù)測變得更為復(fù)雜，運用R/S分析對降雨量進行定量預(yù)測，可為非線性時間序列問題的解決提供一種快速而有效的方法。