“算術(shù)平方根”概念的探究式教學(xué)設(shè)計

一、問題提出

“算術(shù)平方根”作為初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容之一，其之所以成為難點(diǎn)有諸多原因。其根本原因在于，學(xué)生學(xué)習(xí)“算術(shù)平方根”時很難在心理上建立起新舊概念間有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，不能夠順利地使得新概念成為其內(nèi)部知識網(wǎng)絡(luò)的一部分[1]。

人教版數(shù)學(xué)教科書從已知正方形的面積（均為完全平方數(shù)）出發(fā)，開門見山地給出“算術(shù)平方根”的定義。查閱有關(guān)“算術(shù)平方根”的教學(xué)設(shè)計[2]，有其各自特點(diǎn)，但卻沒有較好地關(guān)注到學(xué)生學(xué)習(xí)“算術(shù)平方根”新概念已經(jīng)具備的經(jīng)驗或知識。

二、教學(xué)策略分析

在學(xué)習(xí)新知識之前，學(xué)生頭腦中一定要具備與之有關(guān)的準(zhǔn)備知識或經(jīng)驗，它們是支撐新知識形成的依托。如果新知識與學(xué)生的準(zhǔn)備知識或經(jīng)驗可以建立緊密的聯(lián)系，學(xué)生就可以利用自己的準(zhǔn)備知識或經(jīng)驗“同化”新知識，新知識被吸收進(jìn)來并把其整合到自己原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，從而實現(xiàn)對新知識的理解。

那么，學(xué)生學(xué)習(xí)新概念“算術(shù)平方根”之前，已經(jīng)具備了哪些與此有關(guān)的舊知呢？

（1）學(xué)生會求一個數(shù)的平方，或已知正方形邊長，會求其面積;

（2）學(xué)生具有逆運(yùn)算的概念，能夠利用逆運(yùn)算概念求形如1，4，9，……這樣的完全平方數(shù)的算術(shù)平方根（盡管學(xué)生不知曉“算術(shù)平方根”這個名稱）;

（3）學(xué)生具備初步的數(shù)形結(jié)合觀念，能夠從“形”的視角畫出或制作出面積為2的正方形，能夠從“數(shù)”的視角算出面積為2的正方形邊長的近似值。

以上既是學(xué)生建立新概念“算術(shù)平方根”的重要舊知，也是教學(xué)新知的關(guān)鍵起點(diǎn)。

三、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計

知識與技能：理解算術(shù)平方根的概念，會求一個正數(shù)的算術(shù)平方根。

過程與方法：通過經(jīng)歷“算術(shù)平方根”概念的形成過程，感悟數(shù)形結(jié)合、歸納、類比、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法在“算術(shù)平方根”概念學(xué)習(xí)中的重要作用。

情感態(tài)度與價值觀：通過“算術(shù)平方根”概念的形成過程，激發(fā)學(xué)習(xí)新知的好奇心，體驗獲得新知的成就感，感悟數(shù)學(xué)的自然性與和諧性。

重點(diǎn)：“算術(shù)平方根”的概念形成過程。

難點(diǎn)：“算術(shù)平方根”的概念的理解。

四、教學(xué)過程設(shè)計

（一）復(fù)習(xí)引入，類比探究

問題1：學(xué)校要舉行美術(shù)作品比賽，小明要用邊長為1分米的畫布作畫，那這塊畫布的面積是多少平方分米？邊長變?yōu)?dm、3dm、4dm、6dm、3/4dm時，面積又分別是多少呢？并填寫下表1。

問題2：小明要做一個面積為1的正方形畫布，它的邊長是多少呢？要做一個面積為4、9、16或36的畫布呢？

【設(shè)計意圖】通過這兩個問題使學(xué)生認(rèn)識到平方運(yùn)算和開平方運(yùn)算互為逆運(yùn)算，為算術(shù)平方根概念的探究拉開序幕。

（二）巧設(shè)問題，引發(fā)認(rèn)知沖突

問題3：已知正方形的面積，求邊長X。

思考：問題2與問題3都是已知正方形的面積，求它們的邊長的問題，為什么問題2同學(xué)們會求解，問題3又不會了呢？

活動1：既然我們不會求面積S=2的正方形邊長X=？，那么我們能不能先解決一個簡單的問題：在2×2（單位為分米）的方格紙中折出面積為2平方分米的正方形呢？

每個單元格的面積是，每半個方格的面積是。4個這樣的半個方格組合到一起就可以拼成一個面積為的正方形。得出如圖1中的正方形。

【設(shè)計意圖】學(xué)生已有的舊知不能解決問題3，故先解決在方格紙中簡單問題。讓學(xué)生從形的角度認(rèn)識到面積為2的正方形客觀存在，從而其邊長也客觀存在，從而為后續(xù)近似計算奠定基礎(chǔ)。

活動2：既然我們已經(jīng)制作出了這個面積為正方形，那么同學(xué)們能不能用尺子量一量它的邊長X等于多少呢？

學(xué)生經(jīng)過測量，并匯報測量結(jié)果：有許多不同的答案。

思考：為什么大家的測量結(jié)果各不相同呢？

（三）近似計算、建構(gòu)概念

活動3：既然測量的結(jié)果不準(zhǔn)確，存在誤差。有沒有其他方法更精確地算出邊長x的值呢？請大家拿出計算器，估算這個邊長X=？

剛才通過測量已經(jīng)發(fā)現(xiàn)邊長X約等于1.4，我們就從1.4開始算起。

第一個環(huán)節(jié)：利用“無限逼近”的數(shù)學(xué)思想來估算這個X的值。

（1）因為，所以;確定了這個X的個位數(shù)是1，十分位是4，也就是說這個數(shù)是，1與2之間的數(shù)有很多。能否把X更加精確一些。

（2）因為，所以的取值范圍，確定了這個X的百分位是1，也就是說這個數(shù)是。

（3）因為，所以;確定了這個X的千分位是4，也就是說這個數(shù)是。

因為，所以;確定這個X的萬分位是2，也就是說這個數(shù)是。

小結(jié)：可以用這種估算的方法一直算下去，發(fā)現(xiàn)是一個無限不循環(huán)小數(shù)，即使一輩子只做這一件事，也不能精確地算出這個數(shù)。

【設(shè)計意圖】通過引導(dǎo)學(xué)生利用計算器近似計算面積為2的正方形的邊長的活動，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)其邊長是一個無限不循環(huán)小數(shù)，從而使得新概念“算術(shù)平方根”的形成水到渠成。

第二個環(huán)節(jié)：自己創(chuàng)造符合已知條件的符號表示X。

活動4：面積為2的正方形的邊長是客觀存在的，但是它又是一個無限不循環(huán)小數(shù)，所以自然需要創(chuàng)造一個新的符號，把這個數(shù)x表示出來。請大家思考這個數(shù)x是由哪些已知數(shù)唯一確定的？如何據(jù)此創(chuàng)造符合條件的數(shù)學(xué)符號表示x呢？

預(yù)設(shè)：顯然X2=2，表明x是由冪2和次數(shù)2唯一確定，所以創(chuàng)造表示x的數(shù)學(xué)符號應(yīng)當(dāng)隱含這兩個已知數(shù)據(jù)。

學(xué)生分組活動，構(gòu)造符合條件的符號表示X，并匯報……

【設(shè)計意圖】通過讓學(xué)生構(gòu)造符合條件的數(shù)學(xué)符號表示面積為2的正方形的邊長，使其經(jīng)歷“算術(shù)平方根”符號語言的“再創(chuàng)造”過程，從而達(dá)到激發(fā)其好奇心，培養(yǎng)其想象力和創(chuàng)造力的目的。

第三個環(huán)節(jié)：引入算術(shù)平方根定義

如果一個正數(shù)X的平方等于a，即X2=a，那么這個正數(shù)X叫做a的算術(shù)平方根，a的算術(shù)平方根記為 ，讀作“根號a”，a叫做被開方數(shù)。

規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0。

（四）講解例題，布置作業(yè)

例1：求下列各數(shù)的算術(shù)平方根.

作業(yè)：請計算和的近似值。

結(jié)語

本節(jié)課以問題串的形式展開，通過若干組問題，使學(xué)生進(jìn)入“不憤不啟，不悱不發(fā)”的狀態(tài)，深刻認(rèn)識到引入新概念的必要性，使得新概念的生成過程自然流暢。

參考文獻(xiàn)

[1]李洪兵.基于核心素養(yǎng)的概念教學(xué)策略——以“算術(shù)平方根”的教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（24）：69-71.

[2]楊彬.回到定義去——談?wù)劇八阈g(shù)平方根”的例題教學(xué)[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2015（04）：28-29.

作者簡介

杜璞（1994—），女，漢族，籍貫：江蘇，新疆師范大學(xué)2017級數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論學(xué)術(shù)碩士研究生，研究方向：課程與教學(xué)論。