基于熵視角的金融風(fēng)險(xiǎn)度量

張金波,趙 攀

1 引言

金融市場是一個(gè)異常復(fù)雜的系統(tǒng)，主體包括生產(chǎn)者、投資者、消費(fèi)者、金融中介機(jī)構(gòu)和為數(shù)不少的投機(jī)者等。諸多類型的參與者以及他們不同的投資心理注定了金融市場的復(fù)雜性。然而，迄今為止，多數(shù)學(xué)者對金融市場的研究都是在資本市場理論的線性分析范式下進(jìn)行的。 研究人員往往把復(fù)雜系統(tǒng)過于簡單化，假定市場是有效的，投資者是理性的，信息是透明的，價(jià)格的變化是隨機(jī)游走的等。這些不是很貼切的條件限制導(dǎo)致了經(jīng)典的線性化分析方法的缺陷逐漸被暴露出來。例如，它無法解釋資產(chǎn)收益的“厚尾”[1]、“波動聚集”[2]、“蝴蝶效應(yīng)”[3]、“黑色星期一”[4]等現(xiàn)象。事實(shí)上，系統(tǒng)內(nèi)、外部各種因素是通過復(fù)雜的非線性相互作用進(jìn)行影響的。

1865年，德國物理學(xué)家克勞修斯提出了熵的概念，用來解決物理學(xué)中的熱力學(xué)問題，得到了著名的熱力學(xué)第二定律：孤立系統(tǒng)的運(yùn)動是一不可逆過程，且總是朝著系統(tǒng)熵增加的方向進(jìn)行演變，故熱力學(xué)第二定律又被稱為熵增原理。熵定律很快被人們發(fā)現(xiàn)它具有普適性，不僅可以描述熱力學(xué)系統(tǒng)還可以運(yùn)用在管理學(xué)、決策學(xué)、安全學(xué)等[5-7]，只要系統(tǒng)中存在大量的微觀狀態(tài)都是可以適用的。金融市場中存在著大量的投資主體，無時(shí)無刻不在物質(zhì)、能量和信息交換，因此，熵定律在金融市場這個(gè)龐大而復(fù)雜的系統(tǒng)同樣也是適用的[8]。文獻(xiàn)[9]闡述了熵可以更好地揭示股票交易的紊亂性和不確定性；文獻(xiàn)[10]將信息熵與方差對不確定性的度量進(jìn)行了比較，表明信息熵和方差在度量樣本集中性時(shí)是不同的，方差是圍繞著均值波動的，而信息熵是沒有固定的參照點(diǎn)。文獻(xiàn)[11]認(rèn)為我們無法確定金融市場各因素的真實(shí)分布，用信息熵來度量不確定性會比方差更加合適。文獻(xiàn)[12]給出了股票熵的計(jì)算方法。文獻(xiàn)[13]給出了實(shí)物期權(quán)定價(jià)的熵理論模型，避免了傳統(tǒng)期權(quán)定價(jià)模型過多依賴參數(shù)和假設(shè)的不足，并合理地解釋了企業(yè)決策信息的重要性。

文章的主要工作是探討熵理論在股票市場中的適用性，建立基于熵理論的股票系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)度量方法，選取國際上具有代表性的美國標(biāo)普500、英國富時(shí)100和中國上證三大指數(shù)進(jìn)行了實(shí)例分析，結(jié)果表明熵可以較好地度量股票系統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)。熵作為研究復(fù)雜系統(tǒng)的有力工具，在金融市場中應(yīng)有很好的用武之地，本文只是嘗試，希望能起到拋磚引玉的作用。

2 模型的建立

我們把股票金融市場看作一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，系統(tǒng)狀態(tài)的不確定導(dǎo)致了投資者的實(shí)際收益往往與期望收益不一致，這種收益的不可預(yù)期便是投資者的風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)，它也代表著金融市場的風(fēng)險(xiǎn)。投資風(fēng)險(xiǎn)可以描述為收益率的不確定狀態(tài)和該狀態(tài)發(fā)生的概率。物理學(xué)中熵就是通過構(gòu)造狀態(tài)發(fā)生概率的函數(shù)來度量系統(tǒng)的不確定性，我們把熵運(yùn)用在金融系統(tǒng)中便可以度量金融系統(tǒng)的不確定程度，即金融系統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)。

假設(shè)投資者投資方案的狀態(tài)空間為Ω:={ω1,ω2,…ωn}，狀態(tài)ωi,i=1,…,n的概率為pi，則金融熵為

(1)

它的大小表示了投資者投資收益的不確定程度，從而代表了金融系統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)大小。物理中熵理論告訴我們，一個(gè)孤立的系統(tǒng)它的熵值會逐漸變大，直到該系統(tǒng)最終消亡殆盡。根據(jù)上述熵增理論，我們可以認(rèn)為熵值函數(shù)的最大值便是系統(tǒng)崩潰時(shí)的熵值。由數(shù)學(xué)知識可知熵值函數(shù)(1)式存在唯一最大值，而且，當(dāng)各狀態(tài)的概率相同時(shí)熵函數(shù)值最大為ln(n)。那么，系統(tǒng)熵值除以系統(tǒng)崩潰熵值便代表了系統(tǒng)距離崩潰狀態(tài)的大小，定義為系統(tǒng)崩潰系數(shù)ρ，易知0≤ρ≤1，ρ越趨向于0說明系統(tǒng)越穩(wěn)定，ρ越趨向于1說明系統(tǒng)的不確定性越大，越不穩(wěn)定。

(2)

3 模型的應(yīng)用

表1 上證指數(shù)系統(tǒng)的熵值和崩潰系數(shù)

圖1 上證指數(shù)系統(tǒng)的熵值變化

圖2 上證指數(shù)系統(tǒng)的崩潰系數(shù)的變化

從表1我們可以看出，上證指數(shù)在經(jīng)歷過的22年間中，其熵值有19年在4以上，只有2003,2012,2013三年在4以下，即使這三年的熵值小于4，但2003年最小的熵值也達(dá)到了3.9675，系統(tǒng)崩潰系數(shù)大都在0.7之上，小于0.7的只有4年。從圖1和圖2可以發(fā)現(xiàn)，熵值及崩潰系數(shù)在1992年到1993年增加較大，然后，從1993年到2003年基本是逐漸減小的過程，至2003年達(dá)到最低，此后，從2003年到2006年是逐漸增加的過程，2006年到2008年又是迅速增加，到2008年達(dá)到頂峰，隨后，從2008年到2010年迅速下降，2010年到2013年又逐漸減小。

上述變化切實(shí)地反映了中國股票市場的發(fā)展歷程，在1992年至1997年之間，中國股票市場實(shí)際上是沒有漲跌停板限制，加上股票市場剛剛誕生，幾乎沒有基金等投資機(jī)構(gòu)，絕大多數(shù)是個(gè)人投資者或投機(jī)者，市場監(jiān)管制度還沒建立和完善，股指的波動十分劇烈，如，在1992年11月到1993年2月短短3月時(shí)間，股指從386點(diǎn)一路猛漲到1558點(diǎn)，漲幅超過了300%。與此對應(yīng)的這個(gè)期間的股指系統(tǒng)崩潰系數(shù)都比較大基本上都在0.75以上，1993年更是達(dá)到了0.7959。1998年至2006年間，市場發(fā)展逐步成熟，整體比較平穩(wěn)，股指沒有出現(xiàn)急劇的漲跌現(xiàn)象，股指系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)較小，這個(gè)時(shí)期的股指系統(tǒng)崩潰系數(shù)基本在0.71附近。2007、2008和2009年股指從998點(diǎn)上漲到6124點(diǎn)，隨后又跌至1664點(diǎn)，短短的三年時(shí)間股指完成了一個(gè)巨大的過山車運(yùn)動，上漲期間的平均月漲幅超過25%，下跌期間的平均月跌幅也超出了20%，可見股指的波動之大，這三年的系統(tǒng)崩潰系數(shù)都在0.76以上，而且2008年的系統(tǒng)崩潰系數(shù)達(dá)到了22年中的最高值0.8074。2010年至2013年，經(jīng)過前期的大跌，市場活躍度明顯降低，股指運(yùn)行整體平穩(wěn)，系統(tǒng)崩潰系數(shù)都在0.72以下。

總的來講，上證股指系統(tǒng)崩潰系數(shù)較好地刻畫了股票市場的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，從這22年的股指系統(tǒng)崩潰系數(shù)，我們可以得出在崩潰系數(shù)小于0.7時(shí)，股票市場比較低迷，系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)較低，基本是處于“熊市”的底部，投資者這時(shí)進(jìn)入市場風(fēng)險(xiǎn)較低；在崩潰系數(shù)處于0.7—0.73時(shí)，股票市場相對比較活躍，但風(fēng)險(xiǎn)不大，基本上屬于正常波動；當(dāng)系統(tǒng)崩潰系數(shù)超過0.73時(shí)，股票市場波動十分劇烈，風(fēng)險(xiǎn)較大。在22年里，上證股指系統(tǒng)崩潰系數(shù)只有2008年超過了0.8為0.8074。

為了進(jìn)一步研究該模型在股票市場的適用性，下面選取國際上有代表性的美國標(biāo)普500和英國富時(shí)100兩大著名股票指數(shù)進(jìn)行實(shí)例分析(時(shí)間為1993年—2013年，數(shù)據(jù)來源RESSET金融研究數(shù)據(jù)庫)，雖然這兩大股指沒有實(shí)行漲跌停板制度，但通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)日收益率超出[-10%,10%]情況并沒有發(fā)生，故我們可按照計(jì)算上證股指熵值和崩潰系數(shù)的步驟來計(jì)算這兩大股指的熵值和崩潰系數(shù)。

表2 標(biāo)普500指數(shù)系統(tǒng)的熵值和崩潰系數(shù)

圖3 標(biāo)普500指數(shù)系統(tǒng)的熵值變化

圖4 標(biāo)普500指數(shù)的系統(tǒng)崩潰系數(shù)的變化

表3 英國富時(shí)100指數(shù)系統(tǒng)的熵值和崩潰系數(shù)

圖5 英國富時(shí)100指數(shù)系統(tǒng)的熵值變化

圖6 英國富時(shí)100指數(shù)的系統(tǒng)崩潰系數(shù)的變化

表4 上證、標(biāo)普、富時(shí)三大股指的熵值和崩潰系數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征

指數(shù)名稱上證標(biāo)普500英國富時(shí)100熵值均值4.23903.89763.9422熵值標(biāo)準(zhǔn)差0.21940.32780.2915系統(tǒng)崩潰系數(shù)均值0.73490.67570.6834系統(tǒng)崩潰系數(shù)方差0.03800.05680.0505

圖7 上證、標(biāo)普、富時(shí)三大股指的熵值比較

圖8 上證、標(biāo)普、富時(shí)三大股指的系統(tǒng)崩潰系數(shù)比較

從表4可以看出，在1993—2013這21年中，上證指數(shù)的熵值平均值為4.239，標(biāo)普和英國富時(shí)指數(shù)的熵值平均值為3.8976和3.9422，上證指數(shù)的系統(tǒng)崩潰系數(shù)平均值為0.7349，標(biāo)普和英國富時(shí)指數(shù)的分別為0.6757和0.6834。說明了整體上來講，中國上證股指與標(biāo)普和英國富時(shí)股指相比系統(tǒng)的不穩(wěn)定性較大。從圖8我們也可以看出：1)上證的系統(tǒng)崩潰系數(shù)與標(biāo)普和英國富時(shí)的崩潰系數(shù)存在著較大差異，顯著運(yùn)行在標(biāo)普和英國富時(shí)之上，說明上證股指與標(biāo)普和富時(shí)相比較不穩(wěn)定；2)標(biāo)普和英國富時(shí)的系統(tǒng)崩潰系數(shù)的變化趨勢極為相似，說明了標(biāo)普和富時(shí)兩個(gè)股指系統(tǒng)有著相似的運(yùn)行規(guī)律；3)三大股指的系統(tǒng)崩潰系數(shù)均在2008年金融危機(jī)時(shí)達(dá)到了最大值，但只有中國上證股指的系統(tǒng)崩潰系數(shù)超過了0.8。

4 結(jié)束語

金融市場通常受到市場內(nèi)、外諸多因素影響，它是一個(gè)異常復(fù)雜的巨大系統(tǒng)。文中借助物理學(xué)中的熵理論，從復(fù)雜系統(tǒng)的角度對其運(yùn)行規(guī)律進(jìn)行了研究，得出了中國股市的系統(tǒng)穩(wěn)定性要比西方成熟市場的差，西方著名的美國標(biāo)普500和英國富時(shí)100兩大股指的系統(tǒng)穩(wěn)定性及其變化規(guī)律極為相似，提出了度量股指系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的系統(tǒng)崩潰系數(shù)定量度量方法。該方法也可用于度量和預(yù)測單支股票或其他系統(tǒng)的不確定性。熵理論在金融市場中的應(yīng)用還需更深入地研究，希望本文能起到拋磚引玉的作用。