教學(xué)過程要以發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)為重點
——以橢圓標準方程的推導(dǎo)為例

廣東省韶關(guān)市乳源高級中學(xué)(512700) 莫紹貴

2017年，教育部制定的新一輪課程改革要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)是：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析.這些核心素養(yǎng)一定是通過具體數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容來發(fā)展的，要求任課教師深刻理解、領(lǐng)會教材及教學(xué)內(nèi)容，以教學(xué)內(nèi)容為載體，扎實落實和發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).

那么，一堂課如何發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)呢? 本文以選修教材中“橢圓標準方程的推導(dǎo)”為例，談?wù)勛约旱恼J識，以期拋磚引玉.

根據(jù)2003年教育部印發(fā)的《普通高中課程方案和課程標準(實驗稿)》編寫的高中課標選修教材中，無論是人教A版、蘇教版還是北師大版的課標教材，對于橢圓標準方程的推導(dǎo)，無一例外都是這樣的：

根據(jù)橢圓的定義：平面上到兩個定點F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)的距離的和等于常數(shù)2a(2a＞2c) 的點的軌跡，設(shè)M(x,y) 是橢圓上的任意一點，則由MF1+MF2=2a得：將左邊的一個根式移到右邊，得將這個等式兩邊平方，得(x+c)2+y2=4a2-整 理 得a2- cx=再將上式兩邊平方，得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因為a＞c，所以可令a2- c2=b2(b＞0)得b2x2+a2y2=a2b2，兩邊同除以a2b2，得(a＞b＞0).

由上述過程可知，橢圓上的點(x,y)都滿足上面這個方程，并且滿足上面這個方程的點(x,y)都在已知橢圓上.所以得到橢圓的標準方程為

誠然，這種推導(dǎo)方法是一種通法，有利于學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線的標準方程的推導(dǎo)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的推理運算能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生形成鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度，有利于引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，學(xué)會解決“根據(jù)條件求動點的軌跡方程”之類的解析幾何問題.

用今天新課程改革的眼光來看，教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)要有利于發(fā)展核心素養(yǎng)，教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)該考慮引發(fā)如下思維過程：思想沖突——懸疑——興趣——探究——發(fā)現(xiàn).

所以，用課本的方法推導(dǎo)完之后，我們可以再創(chuàng)設(shè)下面的系列情境，然后逐步呈現(xiàn)知識的發(fā)生和發(fā)展過程.

一、如果我們不移項直接平方，可以完成推導(dǎo)嗎?

這樣讓學(xué)生體會調(diào)整運算方向，選擇運算方法可能會使問題的解決變得快捷，同時開闊了學(xué)生的視野，活躍了學(xué)生的思維.

二、如果不兩邊平方，有沒有其他其他運算可以完成推導(dǎo)呢?

如果再調(diào)整運算方向，還可以這樣推導(dǎo)：將

觀察(1)、(2)的結(jié)構(gòu)特點，容易想到由(1)+(2) 得兩邊平方得x2+y2+c2+2cx=從而得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，進而令a2-c2=b2(b＞0)，則得b2x2+a2y2=a2b2，從而得到橢圓的標準方程為

可見，再次調(diào)整運算方向同樣可以完成推導(dǎo).

在數(shù)學(xué)運算這一核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展過程中，要讓學(xué)生能夠進一步發(fā)展數(shù)學(xué)運算能力，能有效借助運算方法解決實際問題，能夠通過運算促進數(shù)學(xué)思維發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問題的習(xí)慣，形成一絲不茍、嚴謹求實的科學(xué)精神.

三、如果不進行上面類似的運算，我們能否通過建立數(shù)學(xué)模型來推導(dǎo)?

在現(xiàn)行課標教材中，選修系列教材“橢圓的標準方程”這個教學(xué)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)必修五“數(shù)列”之后，如果我們建立“等差數(shù)列”模型，也可以這樣推導(dǎo)：

將(1)2+(2)2得到：

將(1)2-(2)2得到：所以得代入(3)即得從而得a2-c2x2+a2y2=a2a2-c2，作代換a2-c2=b2(b＞0)即可完成推導(dǎo).

可見，通過建立等差數(shù)列模型，可以快速推導(dǎo)，讓學(xué)生體會建立數(shù)學(xué)模型解決問題的甜頭，同時形成和發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模這一核心素養(yǎng).

四、還可以建立其他數(shù)學(xué)模型來推導(dǎo)嗎?

在必修四，學(xué)生學(xué)習(xí)了三角恒等變換，如果我們建立“三角恒等變換模型”，作下列變換：令

將兩式平方相減得

從而得又將(1)兩邊平方得到將(4) 代入(5) 得(x+c)2+y2=從而得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，同樣作代換a2-c2=b2(b＞0)即可完成推導(dǎo).

在這里立足于形成和發(fā)展學(xué)生的建模意識，積累用數(shù)學(xué)解決實際問題的經(jīng)驗，致力于培養(yǎng)學(xué)生在實際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，能夠針對問題建立數(shù)學(xué)模型，能夠運用數(shù)學(xué)知識求解模型，提升應(yīng)用能力，增強創(chuàng)新意識.

通過巧妙設(shè)置和解決上述幾個問題，“橢圓的標準方程”這堂課至少可以形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象這四個學(xué)科核心素養(yǎng).

在新課程背景下的教學(xué)是基于學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)，教學(xué)要立足于讓學(xué)生形成和發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)，教學(xué)過程要重點發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)，讓知識的發(fā)生發(fā)展過程變成和發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)的過程.尤其是現(xiàn)在新的高中數(shù)學(xué)教材還沒有面世，在使用舊教材落實新課標的背景下，教師不是教教材，而是用教材教.教學(xué)內(nèi)容不一定局限于教材內(nèi)容，教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該是與目標匹配的內(nèi)容，有必要進行重組或進行教學(xué)化處理，教師要充分挖掘教學(xué)內(nèi)容所蘊含的學(xué)科核心素養(yǎng)，設(shè)法讓深度學(xué)習(xí)發(fā)生.在新課程理念下的教學(xué)設(shè)計要求我們從課時設(shè)計到單元設(shè)計，甚至從學(xué)科的整體高度來進行設(shè)計，把知識結(jié)構(gòu)化，把深度學(xué)習(xí)設(shè)計出來，扎實形成和發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).