輻射流立方定理的推導(dǎo)及試驗(yàn)研究

丁林楠， 柴軍瑞， 覃 源， 許增光

(西安理工大學(xué) 西北旱區(qū)生態(tài)水利工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 陜西 西安 710048)

1 研究背景

對(duì)于裂隙流的研究，是從長(zhǎng)直流光滑平行板的提出開(kāi)始。著名的立方定理，正是對(duì)光滑平行板中水流特性的定性描述。然而，立方定理的適用性存在許多限制條件。例如，隙寬和水力梯度是恒定值，流速梯度與流動(dòng)方向相垂直[1]。天然裂隙并不完全滿足以上條件，導(dǎo)致實(shí)際流速偏離了立方定理的預(yù)測(cè)值[2-3]。盧占國(guó)等[4]對(duì)實(shí)際平行裂隙下的立方定理進(jìn)行修正，并根據(jù)隙寬和流速劃分了線型滲流和非線性滲流。朱紅光等[5]根據(jù)粗糙度對(duì)水流產(chǎn)生的非線性影響，建立了巖石裂隙非線性幾何模型。

許多學(xué)者在研究隙寬空間變化的基礎(chǔ)上，得到了局部立方定理[6]。局部立方定理的應(yīng)用同樣存在假設(shè)前提，例如結(jié)構(gòu)面的中和面為平面并且每一個(gè)局部點(diǎn)都滿足立方定理[7]。然而，由于曲折度的存在使以上條件很難滿足。學(xué)者們從不同方面探討了局部立方定理的適用性。對(duì)于不對(duì)稱結(jié)構(gòu)面，有學(xué)者通過(guò)限制結(jié)構(gòu)面的幾何特征驗(yàn)證局部立方定理的有效性[8-9]。局部立方定理由Stokes方程推導(dǎo)而出，其忽視了慣性力的影響。因此，Alyaarubi等[10]認(rèn)為低慣性力是局部立方定理的適用條件，并根據(jù)理論分析和試驗(yàn)將限制條件定為Re<1。Wang Lichun等[7]在考慮曲折度、粗糙度和Re數(shù)的影響下，對(duì)局部立方定理進(jìn)行了修正。Mgaya等[11-12]基于深度平均的Navier-Stokes方程建立了新的模型，通過(guò)該模型得到的數(shù)值結(jié)果與試驗(yàn)值具有較高的吻合度[13]。Kishida等[14]發(fā)明了一種同時(shí)包含滲流試驗(yàn)和隙寬測(cè)量的試驗(yàn)系統(tǒng)，通過(guò)該系統(tǒng)研究了不對(duì)稱單裂隙結(jié)構(gòu)面的滲流規(guī)律。

不論是立方定理還是局部立方定理，以上的研究均集中在長(zhǎng)直流方面。研究表明，鋼筋混凝土襯砌在高水頭作用下，容易產(chǎn)生裂縫，導(dǎo)致圍巖直接承受高壓水的作用[15]。其滲流方式不同于長(zhǎng)直流，而是由內(nèi)向外的輻射流。這時(shí)的平行板二維模型將不再適用，取而代之的是三維輻射流。Cao Cheng等[16]在試驗(yàn)基礎(chǔ)上提出了輻射流立方定理的半理論半經(jīng)驗(yàn)公式。本文進(jìn)一步研究輻射流，通過(guò)理論分析推導(dǎo)輻射流立方定理。根據(jù)水力試驗(yàn)，研究立方定理對(duì)平行板和規(guī)則齒幅射流的適用性。

2 輻射流平行板

本文所討論的輻射流光滑平行板，由兩塊光滑、平直的圓形平行板組成，注水孔位于平行板的圓心。水流由中心注水孔向四周均勻擴(kuò)散。為了與下文的水力試驗(yàn)相匹配，將中心注水孔設(shè)置在下試件。幾何形狀示意圖如圖1所示。

圖1 輻射流光滑平行板幾何示意圖

2.1 輻射流平行板水流分布特性

對(duì)于巖體裂隙而言，流體的運(yùn)動(dòng)受N-S方程控制(3組非線性偏微分方程)，可以按公式(1)表達(dá)[1]：

(1)

式中:u為速度矢量，m/s；μ為流體的動(dòng)力黏滯系數(shù)，kg/(m·s)；P為水壓力，Pa；f為單位質(zhì)量力，N；ρ為流體的密度，kg/m3。N-S方程描述了流場(chǎng)中流體所受到的慣性力、壓力、黏性力和質(zhì)量力之間的演變關(guān)系。N-S方程本身不閉合，在求解變量(u,P)時(shí)，需要配合流體的質(zhì)量守恒方程共同進(jìn)行求解，對(duì)于不可壓縮流體，質(zhì)量方程為[7]：

▽·u=0

(2)

運(yùn)用Prandtl邊界層分析法[17]，分析慣性力和黏性力具有相同數(shù)量級(jí)的黏性區(qū)范圍，沿流動(dòng)方向?qū)λ鬟M(jìn)行受力分析，如圖2所示。

圖2 流動(dòng)方向上流體的慣性力和黏性力示意圖

慣性力大?。?/p>

(3)

黏性力大?。?/p>

(4)

數(shù)量級(jí)關(guān)系：

(5)

本文用δ表示z方向上的特征長(zhǎng)度；用輻射范圍半徑R與中心注水孔半徑r0的差值△r=R-r0表示r方向的特征長(zhǎng)度，并稱之為凈輻射范圍；水流沿徑向的平均速度U為r方向的特征速度。將以上特征值代入公式(5)，可得：

(6)

對(duì)于飽和裂隙流而言，輻射流濕周χ=2πr×2，過(guò)水?dāng)嗝婷娣eA=2πr·b，水力半徑R=A∕χ=b/ 2。Re數(shù)的特征長(zhǎng)度為水力半徑的4倍，故輻射流的特征長(zhǎng)度為隙寬的2倍[18]。

(7)

式中：ν為流體的運(yùn)動(dòng)黏滯系數(shù)，m2/s；b為裂隙隙寬，m。

根據(jù)流量守恒原理，輻射流平行板的水流在向外輻射的過(guò)程中，流速由內(nèi)向外逐漸減小。由公式(6)知，慣性力的削弱與流速的二次方成正比，而黏性力的削弱與流速的一次方成正比。隨著水流向外流動(dòng)，慣性力的作用將逐漸被黏性力取代。當(dāng)入射水流具有較大Re，即慣性力較大時(shí)，水流呈現(xiàn)出兩種狀態(tài)，慣性力起主導(dǎo)作用的勢(shì)流區(qū)和慣性力、黏性力旗鼓相當(dāng)?shù)酿ば詤^(qū)，本文將這一段距離稱為“強(qiáng)慣性帶”。輻射過(guò)程中水流的流速變化如圖3所示。

圖3 輻射過(guò)程中流速分布變化示意圖

隨著慣性力的削弱，當(dāng)慣性力相對(duì)黏性力可以忽略時(shí)，稱水流處于“弱慣性帶”。

(8)

公式(8)與公式(6)在黏性力的表述方面有所不同，公式(8)中黏性區(qū)厚度δ由隙寬b取代，此時(shí)的裂隙流完全處于黏性區(qū)。 本文用ε表示中心注水孔半徑r0與輻射范圍R的比值，并稱之為輻射比。為了同時(shí)考慮凈輻射范圍和輻射比的影響，用中心注水孔處的初始Re0判斷水流能否進(jìn)入弱慣性帶。

(9)

2.2 輻射流立方定理

在輻射流平行板中，當(dāng)內(nèi)外水頭差恒定時(shí)，水流在平行板中形成恒定流。對(duì)于不可壓縮的恒定滲流，當(dāng)其滲透系數(shù)不存在各向異性時(shí)，水頭函數(shù)滿足Laplace方程，其柱坐標(biāo)下的形式[19]為：

(10)

根據(jù)Darcy定理，輻射流平行板上的流量與水頭梯度成正比,即：

(11)

式中：k為裂隙的水力傳導(dǎo)系數(shù)。

由公式(10)、(11)得到流量隨總水頭的變化關(guān)系：

(12)

通過(guò)N-S方程求解水力傳導(dǎo)系數(shù)k。其在柱坐標(biāo)下的形式[20]為：

(13)

根據(jù)2.1節(jié)關(guān)于輻射流平行板水流分布特性的研究，當(dāng)水流的初始Re0滿足公式(9)時(shí)，慣性力可以近似忽略。假設(shè)滿足此條件，對(duì)N-S方程簡(jiǎn)化：

(14)

通過(guò)數(shù)量級(jí)分析法對(duì)比分析公式(14)中的黏性力項(xiàng)。隙寬b的量級(jí)比輻射范圍r的量級(jí)小，而z與b的量級(jí)相同。令φ?1，表示b的量級(jí)；用1表示r和Ur的量級(jí)。公式(14)中黏性力的兩項(xiàng)，量級(jí)分別為-Ur/r2∽1/1, ?2Ur/?z2∽1/φ2。為了使?2Ur/?z2的量級(jí)為1，運(yùn)動(dòng)黏滯系數(shù)ν的量級(jí)必為φ2。略去高階無(wú)窮小量后，對(duì)流速Ur沿隙寬積分，單寬流量q與水力傳導(dǎo)系數(shù)k分別為：

(15)

(16)

將k值代入公式(12)得輻射流立方定理：

(17)

3 水力試驗(yàn)

3.1 試驗(yàn)系統(tǒng)

本次試驗(yàn)采用TJXW-600型微機(jī)控制巖石節(jié)理直剪滲流耦合試驗(yàn)機(jī)。該試驗(yàn)機(jī)由電液伺服加載系統(tǒng)、多通道閉環(huán)測(cè)控系統(tǒng)、滲流調(diào)控系統(tǒng)等組成，其基本結(jié)構(gòu)示意圖和實(shí)物圖如圖4所示。

試驗(yàn)系統(tǒng)可提供法向與切向荷載來(lái)模擬實(shí)際巖體裂隙的受力情況。法向荷載與切向荷載由靜音式伺服油源提供，其最大荷載值均為600 kN。試驗(yàn)系統(tǒng)在法向方向上的可控邊界條件為常法向應(yīng)力(CNL)，可用來(lái)模擬法向應(yīng)力不變的無(wú)支護(hù)邊坡穩(wěn)定問(wèn)題。

力傳感器采用輪輻式負(fù)荷壓力傳感器，不同應(yīng)力下應(yīng)變片的阻值有所不同，通過(guò)測(cè)量不同阻值下電壓的變化，并通過(guò)后續(xù)的儀表放大器進(jìn)行放大來(lái)精確測(cè)量荷載值，所得荷載示值精確度為±1%。位移傳感器采用拉線式，將機(jī)械位移量轉(zhuǎn)換成可計(jì)量的電信號(hào)來(lái)精確測(cè)量位移，切向位移精度為0.04 mm，法向位移精度為0.003 mm。滲流增壓系統(tǒng)采用氣壓加壓方式，將氮?dú)狻⑺浼凹羟泻杏行нB接。其最大水壓力達(dá)3 MPa，儲(chǔ)水量為10 L。在出水口的集水計(jì)量裝置處設(shè)置流量測(cè)量裝置，可精確測(cè)量不同水壓下的流量，流量示值精確度為±0.1%。Multli-05全數(shù)字多通道閉環(huán)測(cè)控儀采用先進(jìn)的自適應(yīng)PID算法，使系統(tǒng)參數(shù)的控制量得到線精度的閉環(huán)控制，從而實(shí)現(xiàn)等速加載卸載、恒定法向力、恒定法向位移等功能。密封剪切盒由上、下兩部分組成，下試件固定并鉆有中心注水孔，上試件與加載器直接接觸，可發(fā)生移動(dòng)。滲水從下試件中心注水孔注入，向四周流動(dòng)。

3.2 試件及試驗(yàn)方案

立方定理建立在理想的光滑平行板結(jié)構(gòu)，而天然裂隙的輪廓線并非平直、光滑。為了驗(yàn)證立方定理的適用性，制作了光滑平行板和規(guī)則齒兩種試件。試件用石膏材料和水按質(zhì)量比為4∶1攪拌均勻后，注入特定模具中，等試件凝固硬化后脫模。中心注水孔半徑為4 mm，輻射范圍R=100 mm。試件如圖5所示。

由于TJXW-600試驗(yàn)機(jī)不具有測(cè)量初始隙寬的功能，在試件之間放置0.3 mm厚度的金屬墊片充當(dāng)初始隙寬，利用線性變位計(jì)(LVDT)獲取隙寬值的變化。

圖4 TJXW-600型微機(jī)控制巖石節(jié)理直剪滲流耦合試驗(yàn)機(jī)

圖5 試驗(yàn)試件實(shí)物圖

光滑平行板用來(lái)驗(yàn)證光滑、平行狀態(tài)下立方定理與實(shí)際過(guò)流能力的吻合程度；規(guī)則齒用來(lái)研究立方定理對(duì)于粗糙裂隙面的適用性。對(duì)光滑平行板和規(guī)則齒分別在0.1、0.2和0.4 MPa水壓下進(jìn)行水力試驗(yàn)，試驗(yàn)方案如表1所示。

表1 水力試驗(yàn)方案

3.3 試驗(yàn)結(jié)果及分析

不同方案流量隨隙寬的演變?nèi)鐖D6所示。水力壓強(qiáng)為0.1 MPa時(shí)，平行板和規(guī)則齒的流量基本相同。隨著水力壓強(qiáng)的增大，規(guī)則齒的流量將小于平行板的流量。在初始隙寬0.3 mm處，相比于平行板，規(guī)則齒的流量在水力壓強(qiáng)為0.2、0.4 MPa時(shí)分別減小7.9%、14.6%。6種試驗(yàn)方案在單位水頭下流量Q/ΔH隨隙寬的演變，如圖7所示。在0.1 MPa水力壓強(qiáng)下，平行板的流量與立方定理吻合良好，規(guī)則齒的流量略小于平行板。隨著水力壓強(qiáng)的增大，實(shí)際流量將小于預(yù)測(cè)流量。水力壓強(qiáng)為0.2、0.4 MPa時(shí)，平行板的流量平均比立方定理分別小28.9%、32.9%。

以上結(jié)果表明，粗糙度和水力壓強(qiáng)的增大，都會(huì)使水流偏離線性Darcy流，表現(xiàn)出非線性流特性。用Forchheimer公式[19]表述(公式(18))，非線性流的出現(xiàn)使相同水力梯度(J)下的流速(v)減小，從而導(dǎo)致流量相對(duì)預(yù)測(cè)值下降。

J=av+bvm

(18)

式中：a、b為常數(shù)，與水力傳導(dǎo)系數(shù)相關(guān)；m與流態(tài)相關(guān)，m=1屬于層流滲流，m=1～2為過(guò)渡區(qū)滲流，m= 2屬于粗糙區(qū)滲流。

圖6 各試驗(yàn)方案下流量隨隙寬的演變

圖7 單位水頭下流量隨隙寬的演變

根據(jù)上文對(duì)立方定理的推導(dǎo)，其初始Re0需滿足公式(9)。在水力試驗(yàn)中，隙寬從0.3 mm逐漸減小，初始隙寬0.3 mm對(duì)應(yīng)Re0的邊界限制條件。將立方定理和初始隙寬代入公式(9)，得到水頭的限制條件 4.732 m。而在水力試驗(yàn)結(jié)果中，水力壓強(qiáng)為0.1 MPa(約10 m水頭)時(shí)，平行板流量依然滿足立方定理，表明通過(guò)公式(9)判斷平行板是否滿足立方定理偏于安全。

4 結(jié) 論

本文通過(guò)理論分析推導(dǎo)了輻射流光滑平行板下的立方定理，并進(jìn)行水力試驗(yàn)研究和總結(jié)其適用性。

(1)根據(jù)對(duì)輻射流立方定理的理論推導(dǎo)，將其適用性總結(jié)為：裂隙結(jié)構(gòu)面滿足光滑平行板結(jié)構(gòu)；裂隙流屬于線性Darcy流；水流在輻射過(guò)程中，可以進(jìn)入忽略慣性力的弱慣性帶。

(2)立方定理可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)光滑平行板的流量。但是，高水頭差會(huì)造成非線性水流的產(chǎn)生，導(dǎo)致流量偏離立方定理。通過(guò)公式(9)初始Re0的限制條件，可以判斷水流是否滿足線性流，從而滿足立方定理。由水力試驗(yàn)結(jié)果知，該公式偏于安全。

(3)粗糙度的存在會(huì)破壞水流的連續(xù)性，從而削弱裂隙面的過(guò)流能力。

對(duì)于存在粗糙度的裂隙面，可以用立方定理近似估計(jì)流量。當(dāng)精確度要求較高時(shí)，則需要對(duì)不同粗糙度下的立方定理進(jìn)行修正。本文并未進(jìn)一步展開(kāi)研究，將在后續(xù)研究中進(jìn)行討論。