低載液率液體晃蕩沖擊壓力的試驗研究

薛米安， 陳奕超， 苑曉麗， 邢建建， 張冠卿， 朱瑞虎

(1. 河海大學(xué) 海岸災(zāi)害及防護教育部重點實驗室，南京 210098; 2.河海大學(xué) 港口海岸與近海工程學(xué)院，南京 210098; 3.河海大學(xué) 理學(xué)院，南京 210098)

液體晃蕩問題廣泛存在于配置有儲液艙的大型運載設(shè)備中，由于運載設(shè)備的運動從而導(dǎo)致艙內(nèi)液體發(fā)生劇烈的晃動?；问帉?dǎo)致的載荷主要有局部沖擊載荷和整體力矩，其中儲液艙結(jié)構(gòu)中巨大的局部沖擊載荷會對液艙結(jié)構(gòu)造成局部失效甚至破壞。關(guān)于晃蕩導(dǎo)致的局部沖擊載荷研究又包括沖擊載荷的統(tǒng)計特征、分布規(guī)律以及波浪破碎對沖擊載荷的影響等內(nèi)容。

Faltinsen等[1-2]采用多模態(tài)方法發(fā)展了矩形液艙中流體晃動問題的非線性解析解。Hill[3]也應(yīng)用該方法研究了共振時流體自由液面運動的瞬態(tài)特征。針對不同裝載深度下的二維矩形液艙，Yang等[4]分別采用CIP方法和SPH(Smoothed Particle Hydrodynamics)方法對共振橫蕩和橫搖激勵下的晃蕩現(xiàn)象進行了數(shù)值模擬，Hu等[5]則分別采用CIP(Constrained Interpolation Profile)方法和MPS(Moving Particle Semi-implicit)方法對橫搖晃蕩現(xiàn)象進行了對比研究。王元戰(zhàn)等[6]對破碎沖擊作用下防波堤的彈性振動-搖擺運動過程進行數(shù)值摸擬，研究了搖擺運動對防波堤位移、轉(zhuǎn)角、滑移力和傾覆力距的影響。Lee等[7]利用數(shù)值模型解釋了流體黏度，密度比以及可壓縮性對晃動載荷的影響。唐宇航等[8]從單自由度系統(tǒng)簡諧激勵振動理論入手，指出響應(yīng)解析解中常被忽略的伴隨自由振動項是導(dǎo)致高頻振動的一個因素。倪廣健等[9]采用波有限元法分析了流固耦合結(jié)構(gòu)中的波傳導(dǎo)問題。Zhao等[10]基于勢流理論結(jié)合人工阻尼研究了LNG液艙中的非線性晃蕩現(xiàn)象。Battaglia等[11]采用LS法改進三維晃蕩模型，避免了長時間模擬計算結(jié)果的非物理質(zhì)量損失。由于影響晃蕩的因素較多，導(dǎo)致液體砰擊艙壁的現(xiàn)象非常復(fù)雜，無論是線性理論或是非線性理論對沖擊載荷的預(yù)測都存在一定的誤差，因此基于這些理論的數(shù)值模擬也就無法充分考慮真實的物理現(xiàn)象尤其是破碎摻氣對沖擊載荷的影響，也難以準(zhǔn)確地揭示晃蕩沖擊載荷的統(tǒng)計特征及分布規(guī)律。相比較數(shù)值模擬，晃蕩模型實驗?zāi)芨鎸嵉胤从骋号搩?nèi)液體晃蕩的復(fù)雜物理現(xiàn)象。

因此模型實驗方法被廣泛用于探討液體晃蕩對艙壁的沖擊載荷問題。衛(wèi)志軍等[12]采用大尺度模型實驗研究了矩形液艙內(nèi)液體晃蕩產(chǎn)生的沖擊壓力分布特征，分析了在不同載液率、振幅和頻率下的沖擊載荷及其統(tǒng)計特性、時空分布規(guī)律等，發(fā)現(xiàn)低載液率時自由液面附近沖擊載荷較大，而高載液率時頂部沖擊載荷較大，30%載液率下自由液面處沖擊載荷最大的規(guī)律。Pistani等[13]開展了LNG液艙的正弦橫蕩實驗，以39 kHz的采樣頻率和10 min的采樣時間分別在19個數(shù)據(jù)采集點獲取了大量數(shù)據(jù)，并且結(jié)合高速圖像采集技術(shù)分析了沖擊載荷與液體砰擊艙壁形式之間的聯(lián)系。楊志勛等[14]通過模型試驗研究了規(guī)則激勵下二維液艙晃蕩試驗的尺度效應(yīng)問題，發(fā)現(xiàn)氣液密度比是導(dǎo)致模型和原型結(jié)果之間存在較大差異的重要原因，并且發(fā)現(xiàn)液體對艙壁的沖擊可以分為靜水面附近區(qū)域、靜水面以上區(qū)域和靜水面以下區(qū)域三個區(qū)間。陳曉東等[15]開展了面向儲艙結(jié)構(gòu)設(shè)計的晃蕩實驗研究，發(fā)現(xiàn)了由于液氣兩相相互作用引起的晃蕩沖擊載荷幅值變大且沖擊上升時間變短的特性，并且提出了長期不規(guī)則激勵下，由載荷峰值、上升及持續(xù)時間、偏斜度組成的三角脈沖載荷模型。Kim等[16]則通過實驗比較了壓電式傳感器、壓阻式傳感器和ICP壓力傳感器在不同實驗條件下對實驗結(jié)果的影響。Lyu等[17]通過與PIV、壓力傳感器采集的數(shù)據(jù)與數(shù)值模擬結(jié)果的對比，研究了三種不同自由表面追蹤方法對數(shù)值模擬預(yù)測效果的影響，并討論了自由表面附近的氣泡現(xiàn)象。Tosun等[18]設(shè)計了一種基于圖像處理和勢流理論相結(jié)合的方法來追蹤自由表面并計算了在一階固有頻率附件的晃蕩壓力。Malenica等[19]發(fā)現(xiàn)晃蕩實驗的比尺效應(yīng)不僅影響到?jīng)_擊載荷的最大值，也會關(guān)系到?jīng)_擊時間，而且沖擊事件的時間特征和結(jié)構(gòu)響應(yīng)的聯(lián)系是非線性的并取決于沖擊特性和結(jié)構(gòu)的固有頻率。Xue等[20-21]采用數(shù)值及試驗先后研究了三維晃蕩模型中環(huán)型擋板及四種垂直擋板的減晃機理。Milkelis等[22]通過二維棱形液艙模型試驗研究了晃蕩壓力和力矩作用。Hattori等[23]通過對不同類型破碎波的試驗研究，發(fā)現(xiàn)當(dāng)波面與壁面之間存在氣隙時會出現(xiàn)壓強峰值現(xiàn)象。Izawa等[24]發(fā)現(xiàn)在微型圓柱形液艙內(nèi)可通過減小界面張力引起固有頻率的增加從而達到減晃的目的。

上述研究表明，沖擊載荷的統(tǒng)計特征及分布規(guī)律等仍需要開展研究，尤其是低載液率劇烈晃蕩中，波浪破碎后大量氣泡摻入引起的沖擊壓力隨機性隨外激勵頻率的變化規(guī)律還鮮有報道。為此，在該研究中，我們將基于電動運動模擬平臺試驗開展低載液率淺水晃蕩沖擊壓力在較寬頻率范圍內(nèi)的掃頻試驗，重點分析晃蕩沖擊壓力及試驗數(shù)據(jù)可重復(fù)性隨外激勵頻率及運動幅度的變化規(guī)律，為優(yōu)化設(shè)計各種類型液艙或儲液罐等儲液結(jié)構(gòu)提供科學(xué)依據(jù)。

1 試驗設(shè)置

1.1 運動模擬平臺及液艙模型

試驗研究的加載設(shè)備為電動運動模擬平臺，如圖1所示，并將液艙結(jié)構(gòu)固定在運動平臺上。運動模擬平臺的臺面尺寸為1.5 m×1.5 m，承重能力為1 t。通過在控制軟件中設(shè)定正弦運動的運動頻率與振幅來控制運動平臺按照指定的規(guī)律運動。圖2中分別給出了試驗過程中的最大、最小及主要頻率下的運動臺面測量結(jié)果與理論位移的比較關(guān)系。結(jié)果表明通過位移傳感器測得的臺面實際運動位移與通過控制軟件輸入的理論位移能夠較好的吻合在一起，意味著該電動運動模擬平臺的平動運動具有較高的運動精度。

圖1 液體晃蕩運動模擬平臺及液艙結(jié)構(gòu)Fig.1 Experimental photo of liquid sloshing simulator and liquid tank

圖2 不同運動頻率下運動臺臺面的實際位移與理論位移的對比(x=-A sin ωt，A=7 mm)Fig.2 Comparison between platform motion displacement measured by sensor and theoretical displacement under different excitation frequency (x=-A sin ωt，A=7 mm)

矩形容器內(nèi)的液體晃蕩一般可以被處理為二維流動，而球形或圓柱體中的晃蕩則被處理為三維流動。試驗中采用由有機玻璃制作而成的矩形液艙，其長寬高分別為600 mm，300 mm及650 mm，平臺運動沿液艙長度方向模擬迎浪縱蕩的船體運動工況。試驗中為忽略流體與液艙結(jié)構(gòu)的流固耦合現(xiàn)象，確保模型液艙為剛性液艙，矩形液艙模型由10 mm厚的有機玻璃板制作。一般情況下，根據(jù)液面高度與液艙長度的比值可分為淺水晃蕩、有限水深晃蕩以及深水晃蕩。本研究主要關(guān)心的問題是二維淺水晃蕩的沖擊壓力對外激勵頻率的響應(yīng)規(guī)律，因此液體深度選定為90 mm，此時h/L=0.15<0.2，恰好屬于低載液率淺水晃蕩的范疇[25]。

1.2 測試儀器布置

試驗中在矩形液艙長度方向左側(cè)艙壁中心線上安裝三支微型數(shù)字壓力傳感器，離液艙底部的距離分別為30 mm，70 mm，110 mm，三支壓力傳感器從液艙底部至自由液面依次被命名為P1，P2，P3，如圖3所示。試驗過程中通過布置攝像機對液體晃蕩自由液面形狀進行記錄。每次試驗前，均對運動平臺，控制系統(tǒng)，壓力傳感器、位移傳感器等進行檢查以確保試驗結(jié)果的真實可靠。

圖3 液艙尺寸及壓力傳感器位置Fig.3 Tank size and layout of the pressure sensors

1.3 試驗工況

試驗中，液艙的運動位移函數(shù)為

x=-Asinωt

(1)

式中：A為運動幅度；ω為外激勵頻率。

二維矩形液艙的固有頻率計算公式為

(2)

式中：kn=(2n+1)π/L,n=0, 1, 2 …；ωn為n階固有頻率；g為重力加速度；h為水深；L為液艙長度。由式(2)可計算出水深為90 mm時矩形液艙的一階及二階固有頻率分別為，ω0=4.749 7 rad/s和ω1=11.699 6 rad/s。試驗中選取的三個振幅分別為3 mm，5 mm和7 mm，運動頻率范圍為0.3ω0～3ω0并在一階頻率及二階頻率附近開展掃頻加密試驗。每組試驗時間為240 s，每種工況均以相同條件開展兩組試驗，用以對比及分析試驗數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性及可重復(fù)性。每一組試驗工況的外激勵頻率值見表1。

表1 試驗參數(shù) Tab.1 Experimental parameters

2 試驗數(shù)據(jù)的可重復(fù)性隨外激勵頻率的變化規(guī)律

兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)性一般用決定系數(shù)R2來描述。在試驗中為了研究試驗數(shù)據(jù)的可重復(fù)性，每一種工況下的試驗均重復(fù)一次，以獲得相同試驗條件下的兩組試驗數(shù)據(jù)。在較寬頻率范圍內(nèi)尤其晃蕩較為劇烈的一階固有頻率附近，圖4給出了壓力測點P1和P2位置處，相同試驗條件下的兩組沖擊壓力的決定系數(shù)R2隨外激勵頻率的變化關(guān)系。在圖4中，還給出了3 mm，5 mm及7 mm三組不同振幅條件下的兩組沖擊壓力相關(guān)系數(shù)，在不同頻率條件下的對比關(guān)系，圖中橫坐標(biāo)為無量綱值m=ω/ω0。由圖4可知以3 mm較小振幅晃蕩的試驗中，在整個頻域范圍內(nèi)P1和P2處的兩組數(shù)據(jù)均具有較高的相關(guān)系數(shù)，表明試驗數(shù)據(jù)具有較好的可重復(fù)性，同時也表明液體晃蕩試驗系統(tǒng)能夠用于準(zhǔn)確的評估晃蕩過程的沖擊壓力分布特征。隨著振幅的增大，尤其是當(dāng)振幅達到7 mm時，在0.9ω0～1.1ω0的頻率范圍內(nèi)，兩組沖擊壓力的決定系數(shù)變小，且隨著壓力測點越接近自由液面，決定系數(shù)越小。通過觀察攝像機記錄的液體晃蕩自由液面變化圖像發(fā)現(xiàn)在0.9ω0～1.1ω0的頻率范圍內(nèi)，振幅為7 mm時自由液面沖擊液艙內(nèi)壁時發(fā)生劇烈的破碎現(xiàn)象；當(dāng)振幅為5 mm時晃蕩波破碎的頻率區(qū)間為1.02ω0～1.08ω0；當(dāng)振幅為3 mm時晃蕩波沒有明顯的破碎現(xiàn)象發(fā)生。

對比圖4中不同振幅和頻率條件下的決定系數(shù)發(fā)現(xiàn)相對較小的決定系數(shù)均出現(xiàn)在晃蕩波發(fā)生破碎的一階固有頻率附近，且決定系數(shù)的值隨著振幅的增加而減小。事實上，隨著振幅的增加晃蕩現(xiàn)象越來越劇烈，自由液面也隨之發(fā)生破碎。波浪的破碎導(dǎo)致沖擊壓力隨機性的發(fā)生，從而對試驗數(shù)據(jù)的可重復(fù)性即決定系數(shù)R2產(chǎn)生影響。研究結(jié)果表明波浪破碎是導(dǎo)致決定系數(shù)在一階固有頻率附近變小的主要原因。圖5給出了晃蕩波波面撞擊液艙內(nèi)壁時發(fā)生的破碎、沿壁爬升、液體飛濺等現(xiàn)象。從壓力傳感器位置的角度來看也發(fā)現(xiàn)接近自由液面的P2處的兩組沖擊壓力數(shù)據(jù)的決定系數(shù)要稍小于P1處的兩組沖擊壓力數(shù)據(jù)的決定系數(shù)，這也恰好表明波浪的破碎是導(dǎo)致同樣試驗條件下兩組壓力數(shù)據(jù)決定系數(shù)變小的主要原因。

圖4 相同試驗條件下兩組壓力時程曲線的決定系數(shù)隨外激勵頻率及運動幅度的變化規(guī)律Fig.4 The determination coefficient of two sets of pressure data varying with the external excitation frequency and amplitude under the same conditions

圖5 晃蕩波沖擊液艙內(nèi)壁時發(fā)生的破碎現(xiàn)象(A=5 mm)Fig.5 Snapshots of sloshing wave breaking in tank (A=5 mm)

3 結(jié)果與討論

3.1 沖擊壓力對頻率及振幅的響應(yīng)規(guī)律

圖6給出了不同振幅下，三個不同位置處的壓力傳感器所測得的最大沖擊壓力對頻率的響應(yīng)曲線。三支壓力傳感器距液艙底部的距離分別為30 mm，70 mm和110 mm，因此P1和P2位于靜水液面以下，P3位于靜水液面以上。三組液艙的運動幅度依次變化為3 mm，5 mm和7 mm。特別說明的是開展晃蕩試驗的外激勵頻率變化范圍既包含了一階模態(tài)頻率也包含了二階模態(tài)頻率。圖6中橫坐標(biāo)為將激勵頻率除以一階固有頻率進行無量綱化得到的m=ω/ω0，縱坐標(biāo)是兩組重復(fù)試驗所采集的最大壓力數(shù)據(jù)的平均值。由于P3位于靜止水位之上，故在非共振晃蕩時，P3壓力傳感器采集數(shù)據(jù)為零，即晃蕩波爬高的最大位置低于P3的安裝位置。

從圖6中可以看出，最大壓力值先是隨著外激勵頻率的增大而緩慢增大，在一階固有頻率偏右處(即1.06ω0處)達到最大值后迅速減小，直到1.8倍的一階固有頻率處最大壓力值達到最小，隨后當(dāng)外激勵頻率接近二階固有頻率時，最大壓力又隨著外激勵頻率的增大而增大，并且在二階固有頻率稍偏左處(即0.98ω1處)達到第二個極大值，然而其極值幅度明顯小于第一極值幅度。這里ω0和ω1分別是基于線性波浪理論計算得到的第一階及第二階固有頻率，忽略了波浪破碎、摻氣等強非線性現(xiàn)象的影響。而依據(jù)試驗得出的壓力極值的響應(yīng)頻率則包含了波浪破碎等非線性特征的作用，因此當(dāng)波浪破碎時，試驗中壓力極值的響應(yīng)頻率與線性波浪理論計算的結(jié)果稍有差異。從圖6中可以發(fā)現(xiàn)液體深度與液艙長度比為h/L=0.15時的淺水晃蕩在一階共振模態(tài)激勵下沿液艙內(nèi)壁的最大沖擊壓力分布是自液艙底部至自由液面位置處依次減小。

此外，圖6中還給出了振幅對淺水晃蕩沖擊壓力分布的影響。在所研究的頻率范圍內(nèi)最大晃蕩壓力均隨著振幅的增大而增大，尤其在一階模態(tài)頻率附近更為明顯。在共振模態(tài)之外的頻率范圍內(nèi)，振幅的改變對最大晃蕩壓力幅值的影響并不明顯，表明只有共振模態(tài)附近頻率激勵產(chǎn)生的晃蕩壓力對振幅的改變才較為敏感。

圖6 不同振幅下晃蕩最大沖擊壓力的頻率響應(yīng)曲線Fig.6 The relationship among sloshing impact pressure and excitation frequency and amplitude

3.2 共振模態(tài)激勵下的沖擊壓力特征分析

晃蕩波作用在艙壁上產(chǎn)生的沖擊壓力主要分為兩種：一是沖擊型脈沖壓力，該類型壓力是由水躍或行進波與液艙壁之間的強烈碰撞產(chǎn)生的一種瞬時高脈沖壓力，主要特點是壓力幅值大，持續(xù)時間極短，一般為1～10 ms；二是非沖擊型普通動水壓力，這是一種由艙內(nèi)駐波產(chǎn)生的緩變壓力。為了進一步研究不同晃蕩條件下壓力的主要統(tǒng)計特征，圖7給出了不同外激勵頻率作用下振幅為7 mm時P1處的瞬態(tài)(0～30 s)與穩(wěn)態(tài)(150～180 s)的壓力時程曲線。

圖7 不同頻率激勵下壓力時程曲線的瞬態(tài)(左列)及穩(wěn)態(tài)(右列)Fig.7 Time history of pressure under different excitation frequency

圖7(a)～圖7(c)依次對應(yīng)的外激勵頻率分別為0.6ω0，0.8ω0和ω0。本研究統(tǒng)計了瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)壓力值由0上升到峰值所用時間、由峰值下降到0所用時間、峰值大小以及峰寬的統(tǒng)計平均值(瞬態(tài)取最大的4個壓力峰值)，見表2。由表2可以較明顯的觀察出無論在瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)下，當(dāng)外激勵頻率由偏離固有頻率至靠近固有頻率過程中，隨著外激勵頻率的增大沖擊壓力峰寬迅速減小，壓力上升時間迅速減小，峰值迅速增大，而瞬態(tài)下的峰寬與壓力上升時間又明顯小于穩(wěn)態(tài)時刻，而沖擊壓力最大值卻是大于穩(wěn)態(tài)時刻。此外，將圖7(c)中取時間長5 s的曲線進行局部放大得到圖7(d)，從中可以發(fā)現(xiàn)壓力時程曲線出現(xiàn)了明顯的雙峰現(xiàn)象，其中第一個峰值是晃蕩產(chǎn)生的波浪對艙壁的沖擊性水動壓導(dǎo)致的，隨后沖擊波浪破碎，部分液體飛濺而脫離波浪，剩余水團回落的慣性力產(chǎn)生了非沖擊性壓力，因此第二個峰值一般要小于第一次沖擊而產(chǎn)生的峰值。如圖8所示，給出了一個周期內(nèi)共振破碎晃蕩波沖擊液艙及回彈的演化過程。

表2 不同外激勵頻率時的瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)沖擊壓力特征對比 Tab.2 Contrast of transient and steady impact pressure characteristics at different frequencies

圖8 液體晃蕩過程中的沖擊與液體回彈(A=7 mm,ω=ω0)Fig.8 Snapshots of sloshing at amplitude A=7 mm, and frequency ω=ω0

3.3 壓力時程曲線的頻域分析

為研究液體晃蕩過程中不同模態(tài)之間的非線性相互作用及晃蕩波的時間演化特征，基于快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform ，F(xiàn)FT)，獲得了一階模態(tài)和二階模態(tài)附近的壓力時程曲線的頻域結(jié)果，如圖9所示，其中振幅為7 mm，外激勵頻率依次為0.6ω0，0.8ω0，ω0，0.89ω1，ω1，1.05ω1。需要說明的是上述用于FFT分析的壓力曲線時間段為瞬態(tài)前30 s以及穩(wěn)態(tài)150～180 s，用于對比一定外激勵頻率下瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)壓力曲線中的主要頻率組成成分。

圖9 不同外激勵頻率下瞬態(tài)及穩(wěn)態(tài)壓力時程曲線的FFTFig.9 FFT of time history of the transient and steady state pressure under different external excitation frequency

從圖9中看出，瞬態(tài)壓力的頻率成分較為復(fù)雜除了外激勵頻率及其倍頻外，還存在系統(tǒng)的各階固有頻率，而穩(wěn)態(tài)中主要是外激勵頻率及由于晃蕩波非線性相互作用所產(chǎn)生的倍頻。在一階模態(tài)及二階模態(tài)頻率激勵下，瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)中的頻率成分基本保持不變。在偏離固有頻率的試驗工況中，瞬態(tài)中的頻率組分既有外激勵頻率也有固有頻率以及它們的倍頻，當(dāng)晃蕩壓力處于穩(wěn)態(tài)階段，則只有外激勵頻率及其倍頻，其中倍頻處的能量主要來自于共振模態(tài)下劇烈晃蕩波浪的非線性相互作用。在非共振模態(tài)激勵下，晃蕩壓力達到穩(wěn)態(tài)后，不同頻率波浪之間的非線性相互作用就減弱了，晃蕩波的能量主要來源于外力所做的功。

4 結(jié) 論

為了探究低載液率的淺水晃蕩沖擊壓力特征，基于電動運動加載設(shè)備，開展了二維矩形液艙在不同頻率激勵下的水平晃蕩試驗，并分析了試驗數(shù)據(jù)的可重復(fù)性、沖擊壓力的頻率響應(yīng)、共振模態(tài)下的沖擊壓力特征以及基于壓力時程曲線的FFT結(jié)果。得出以下結(jié)論：

(1) 波浪破碎對試驗數(shù)據(jù)的可重復(fù)性具有決定性影響，研究發(fā)現(xiàn)相同試驗條件下壓力測量結(jié)果的隨機性主要是由波面破碎、摻氣等原因引起的。

(2) 波浪破碎時的強非線性相互作用，會導(dǎo)致實測壓力的第一極值出現(xiàn)在稍大于一階理論固有頻率的1.06ω0處，第二極值出現(xiàn)在稍小于二階理論固有頻率的0.98ω1處，并且第一壓力極值的幅度大于第二壓力極值的幅度。

(3) 振幅僅對共振條件下的壓力幅值有明顯的影響，在共振模態(tài)之外的頻率區(qū)間，振幅對晃蕩劇烈程度的影響并不顯著。

(4) 時程曲線特征的統(tǒng)計結(jié)果表明，由偏離固有頻率至靠近固有頻率過程中，沖擊壓力峰寬迅速減小，壓力上升時間減小，峰值迅速增大。

(5) 壓力時程曲線的快速傅里葉分析顯示，瞬態(tài)晃蕩過程中的壓力曲線中的頻率成分主要有外激勵頻率、固有頻率及它們的倍頻，當(dāng)晃蕩達到穩(wěn)定后，壓力曲線中的主要頻率成分變?yōu)橥饧铑l率及由晃蕩波的非線性相互作用產(chǎn)生的倍頻。