串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器水平動力學分析

喻 強， 徐登峰， 朱 煜,， 管高峰， 李 強

(1. 電子科技大學 機械與電氣工程學院，成都 611731；2. 清華大學 機械工程系，北京 100084；3. 武昌理工學院 信息工程學院，武漢 430223)

倒立的擺動裝置(倒擺)不僅結構簡單、成本低廉，而且還是一種負剛度系統(tǒng)。1965年，Blitzer[1]和Phelps等[2]分別利用牛頓力學法和拉格朗日方程法建立了比較完整的倒擺運動方程。1993年和1994年，Pinoli等[3]和Saulson等[4]分別開始提出可將倒擺用于水平隔振裝置中。之后的諸多學者[5-8]相繼將倒擺聯(lián)合空氣彈簧、鈹青銅片、金屬彈簧、高強度撓性關節(jié)、復合擺等一起使用，用于各種精密超精密加工測量、光學實驗裝置、生物基因操作裝備和高端物理/化學實驗等領域中隔離水平方向有害振動。

空氣彈簧具有低剛度和大承載能力的特點。1847年，John[9]首先提出了空氣彈簧結構，并成功地應用在車輛懸掛系統(tǒng)中，其后便在地鐵、工業(yè)和軍事等領域得到了越來越廣泛的應用。1961年，Harris等[10]給出了空氣彈簧傳遞率線性模型。1998年， Erin等[11]基于理想氣體狀態(tài)方程和實驗測試數據，給出了改進的空氣彈簧線性分析模型。2011年，Pu等[12]通過測試空氣彈簧剛度與理論推導結果之間的差異，建立了阻尼可調的空氣彈簧剛度與阻尼模型。

空氣彈簧具有較低的垂直剛度和較大的水平剛度，倒擺具有較低的水平剛度和較大的垂直剛度，二者串聯(lián)使用不僅解決了倒擺單獨使用時極不穩(wěn)定的問題，還使串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器垂直和水平方向同時實現(xiàn)了低剛度。國外的Nikon[13]和ASML[14]等公司，國內的哈爾濱工業(yè)大學[15]、上海大學[16]和江西連勝[17]等高校和公司相繼設計出各種串聯(lián)倒擺的空氣彈簧精密隔振機構，并申請了相關專利保護。蒲華燕[18]考慮了倒擺擺桿柔性的影響，得到了隔振機構的水平剛度，但其未考慮空氣彈簧的影響。董卡卡等[19]建立了等效動力學模型，通過實驗和參數辨識的方法獲得了水平剛度和固有頻率等參數。朱煜等[20]對串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器中倒擺的穩(wěn)定性進行了全面的分析，并確定了影響倒擺穩(wěn)定性的主要結構參數。

此前，作者已在本雜志發(fā)表文獻《串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器中倒擺的穩(wěn)定性分析》，本文在該文獻研究的基礎上，繼續(xù)以串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器為研究對象，綜合考慮了空氣彈簧內部壓縮空氣壓強大小和空氣彈簧水平剛度大小對隔振器固有頻率的影響，通過動力學分析建立倒擺轉動的運動微分方程，得到了水平方向固有頻率表達式。另外，通過相關實驗對該表達式進行了初步驗證。最后，通過數值仿真分析為隔振器的進一步參數優(yōu)化設計提供理論指導。

1 理論分析

串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器示意圖如圖1所示。其中，倒擺主要由負載、擺桿、上活塞和下活塞等組成，空氣彈簧主要由壓環(huán)、橡膠模片、腔室和壓縮空氣等組成。外界振動作用下，倒擺會發(fā)生偏轉，然后在彈性恢復力的作用下逐漸回復到原來的初始位置。該恢復力主要與空氣彈簧本身水平剛度大小和負載重力大小有關，而空氣彈簧水平剛度又與空氣彈簧內部壓縮空氣的壓強大小有關。

圖1 串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器示意圖Fig.1 Air spring vibration isolator in series with inverted pendulum

因此，本章節(jié)將先計算空氣彈簧內部壓縮空氣的壓強大小。然后，再計算空氣彈簧的水平剛度大小。最后，通過串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器水平方向動力學分析，得到了水平方向固有頻率表達式。

1.1 空氣彈簧內部壓縮空氣壓強的計算

橡膠膜片與負載受力示意圖如圖2所示，橡膠膜片的厚度忽略不計, 上活塞直徑為2R。為方便計算，近似理想化認為橡膠膜片在壓環(huán)和上活塞之間環(huán)形鼓起部分的斷面是簡單的圓弧，其直徑為2r?？諝鈴椈蓛炔繅嚎s空氣壓強為P1，外部標準大氣壓強為P0。鼓起橡膠膜片部分受到空氣彈簧內部壓縮空氣垂直向上的拉力F1、橡膠膜片外圈受到壓環(huán)垂直向下的拉力F0，橡膠膜片內圈受到上活塞垂直向下的拉力F0。中間上活塞受到負載垂直向下重力mg(包括上活塞、下活塞和擺桿等重力)、鼓起橡膠膜片部分垂直向上的拉力F′0和空氣彈簧內部壓縮空氣垂直向上的拉力F2。

圖2 橡膠膜片與負載受力示意圖Fig.2 The force of the elastomer diaphragm and the load

鼓起橡膠膜片部分受到空氣彈簧內部壓縮空氣垂直向上的拉力F1的大小為

F1=4π(Rr+r2)(P1-P0)

(1)

則F0和F0′的大小為

(2)

中間上活塞受到空氣彈簧內部壓縮空氣垂直向上的拉力F2的大小為

F2=πR2(P1-P0)

(3)

由上活塞的受力分析可知

(4)

將式(2)和式(3)代入式(4)中，可得空氣彈簧內部壓縮空氣壓強P1的大小為

(5)

1.2 空氣彈簧水平剛度的計算

空氣彈簧的水平方向運動如圖3所示，當水平方向產生x的位移時，上活塞和橡膠膜片從圖中虛線所示的初始位置運動到實線所示的實際位置。此時，左側橡膠膜片與上活塞的接觸面積變小，右側橡膠膜片與上活塞的接觸面積變大，在空氣彈簧內部壓縮空氣的作用下，上活塞(包括擺桿和負載等)會受到恢復力F作用而回復到原來的初始平衡位置。

如圖3所示，設橡膠膜片與上活塞左側最短接觸長度為l，橡膠膜片與上活塞右側最長接觸長度為L，橡膠膜片中簾布的存在使上活塞四周鼓起圓弧部分的長度無法被拉伸或壓縮而改變，則有

(6)

進一步整理計算可得

(7)

圖3 空氣彈簧的水平方向運動Fig.3 Horizontal motion of air spring

上活塞與兩側橡膠模片接觸的面積差是產生恢復力F的主要原因。微幅振動時，水平位移x很小，近似認為空氣彈簧內部容積和壓強不變，上述面積差向一側的投影面即為一個長軸為2R，短軸為(L-l)的橢圓。根據該橢圓的面積和空氣彈簧內部壓縮空氣壓強的大小，可直接計算出水平恢復力F的大小

(8)

則空氣彈簧水平剛度k(忽略了橡膠膜片本身的水平剛度)的大小為

(9)

1.3 水平方向動力學分析

串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器阻尼很小，近似認為是無阻尼振動系統(tǒng)。將圖1所示的示意圖簡化為圖4所示的等效模型，負載等效為一個實心小球，擺桿等效為一根無質量細長剛性桿，空氣彈簧等效為一個水平彈簧。其中，m為負載總大小，k為空氣彈簧的水平剛度，h為倒擺擺桿的有效擺長，H為負載質心的高度。

當倒擺偏轉一個角位移θ時，空氣彈簧的恢復力為khsinθ，方向水平向左，重力mg的方向垂直向下，則擺桿轉動的運動微分方程為

(10)

微幅振動時，θ很小，近似有sinθ≈θ和cosθ≈1，進一步簡化式(10)可得

圖4 串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器等效模型Fig.4 Equivalent model of air spring vibration isolator in series with inverted pendulum

(11)

當(kh2-mgH)>0 時，系統(tǒng)是穩(wěn)態(tài)振動，其固有頻率fn的表達式為

(12)

最后，將式(5)空氣彈簧內部壓縮空氣壓強P1代入式(9)空氣彈簧水平剛度k中，再將k的計算結果代入式(12)中，可進一步得到串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器水平方向固有頻率fn的表達式為

(13)

2 實驗驗證

由6個自主研制的串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器組成的被動隔振系統(tǒng)作為實驗對象，如圖5(a)所示。由中國地震局工程力學研究所研制的991B型拾振器采集地面和負載表面實時振動數據，如圖5(b)所示。由北京東方振動和噪聲技術研究所研制的INV3060T動態(tài)數據分析系統(tǒng)對測試的數據進行實時分析得到隔振系統(tǒng)傳遞率曲線，如圖5(c)所示。

圖5 實驗設備Fig.5 Experimental equipment

實驗所用的隔振器各參數名稱和參數值如表1所示，將表中各參數值代入固有頻率計算式(13)中，可得固有頻率fn為fn=1.040 8 Hz

(14)

表1 串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器各參數值

利用拾振器和動態(tài)數據分析系統(tǒng)測試得到的隔振傳遞率曲線如圖6所示，實測固有頻率f為1.25 Hz。本文所提出的水平方向固有頻率fn計算結果與實測結果f的誤差εn為16.7%，初步驗證了通過水平方向動力學分析所得串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器水平方向固有頻率計算公式誤差較小。

圖6 實測傳遞率曲線Fig.6 Measured transmissibility curve

3 仿真分析與參數優(yōu)化

從固有頻率fn表達式(13)中可以看出，其大小主要與上活塞半徑R、橡膠膜片鼓起圓弧半徑r、倒擺擺桿有效擺長h、負載質心高度H和負載總質量m有關。針對圖5和表1所示的隔振器算例，逐一仿真分析上述五個參數的變化對固有頻率的影響，并在此基礎上初步給出一些可行的參數優(yōu)化設計。仿真分析結果如圖7所示，其中：

(1) 隨著上活塞半徑R的增加，固有頻率fn不斷降低，但當R增加到150 mm以后時，fn降低的幅度很小。因此，存在一個較優(yōu)的上活塞半徑的值，適當增加上活塞半徑R至該值可以降低固有頻率，獲得更好的隔振性能。

(2) 隨著橡膠膜片鼓起圓弧半徑r的增加，固有頻率fn有所降低，但降低的幅度很小，僅在10%以內。因此，嘗試通過優(yōu)化橡膠膜片鼓起圓弧半徑r來降低固有頻率，獲得更好的隔振性能，其效果有限。

圖7 五個參數的變化對固有頻率的影響Fig.7 The influence of the five parameters on the fn

(3) 隨著倒擺擺桿有效擺長h的減小，固有頻率fn有所降低，但降低的幅度也很小，僅在10%以內。因此，嘗試通過優(yōu)化倒擺擺桿有效擺長h來降低固有頻率，獲得更好的隔振性能，其效果有限。

(4) 隨著負載質心高度H的增加，固有頻率fn有所降低，但增加H會使整體隔振機構重心過高，影響穩(wěn)定性。因此，嘗試通過優(yōu)化負載質心高度H來降低固有頻率，獲得更好的隔振性能，其效果有限。

(5) 隨著負載總質量m的增加，固有頻率fn不斷降低，但當m增加到1 200～1 500 kg以后時，fn降低的幅度很小。因此，存在一個較優(yōu)的負載值，適當增加負載總質量m至該值可以降低固有頻率，獲得更好的隔振性能。

綜上所述，上活塞半徑R和負載總質量m是影響水平方向固有頻率fn的主要因素。綜合考慮這些參數對倒擺穩(wěn)定性的影響，為了降低固有頻率獲得更好的隔振性能，可以適當增加上活塞半徑R至150 mm左右或適當增加負載總質量m至1 200～1 500 kg左右。

4 結 論

微幅振動條件下，對于串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器，通過動力學分析建立了倒擺轉動的運動微分方程，得到了水平方向固有頻率表達式。傳統(tǒng)單擺固有頻率計算公式僅與倒擺擺桿有效擺長有關，本文研究發(fā)現(xiàn)空氣彈簧上活塞半徑、橡膠膜片鼓起圓弧半徑、倒擺擺桿有效擺長、負載質心高度和負載總質量均會影響系統(tǒng)水平方向的固有頻率，空氣彈簧本身的影響不可忽略。相關實驗初步驗證了所獲水平方向固有頻率表達式的計算結果與實驗測試結果誤差較小。針對所選隔振器算例，分別仿真分析了五個參數的變化對固有頻率的影響，結果表明上活塞半徑和負載總質量是影響固有頻率的主要因素。綜合考慮倒擺的穩(wěn)定性，適當增加上活塞半徑或增加負載總質量，可以降低隔振器固有頻率，獲得更好的隔振性能。