基于模態(tài)分析的并聯(lián)機(jī)床動(dòng)態(tài)特性的研究*

董立磊，李開明，葛帥帥，舒 陽

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

0 引言

目前，分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性，主要是分析機(jī)構(gòu)的受力、速度和加速度、以及分析機(jī)構(gòu)動(dòng)平衡，現(xiàn)階段動(dòng)力學(xué)建模以及參數(shù)分析的理論已經(jīng)成熟，但是對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)特性的研究卻有些不足[1]。目前研究振動(dòng)特性的主要方法為理論方法、實(shí)驗(yàn)方法以及二者結(jié)合的方法，實(shí)驗(yàn)方法主要是辨識(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)參數(shù)，但由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度、耦合性以及非線性的程度都比較高，因此用理論方法進(jìn)行振動(dòng)特性研究是非常復(fù)雜的[2]。目前的許多研究是建立在系統(tǒng)的小位移的變化，忽略并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈質(zhì)量和慣性等非線性的因素，將系統(tǒng)線性化來建立系統(tǒng)的振動(dòng)學(xué)模型，趙強(qiáng)[3]和Kozak K[4]等通過對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行靜力學(xué)分析來構(gòu)造機(jī)構(gòu)位姿的剛度和阻尼矩陣，并進(jìn)一步建立機(jī)構(gòu)的線性振動(dòng)微分運(yùn)動(dòng)方程，王偉等[5]通過拉格朗日方法建立機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程，進(jìn)而分析系統(tǒng)的固有頻率特性。

簡(jiǎn)化并聯(lián)機(jī)床的振動(dòng)模型，運(yùn)用達(dá)朗貝爾原理和一階影響系數(shù)矩陣來建立并聯(lián)機(jī)床的多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的微分運(yùn)動(dòng)方程，應(yīng)用ANSYS Workbench分析并聯(lián)機(jī)床的模態(tài)，仿真計(jì)算機(jī)床的固有頻率，并通過MATLAB軟件對(duì)機(jī)床的前三階固有頻率的分布進(jìn)行仿真分析，確定相對(duì)形變較大的位置。

1 機(jī)構(gòu)描述

三平動(dòng)冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床的三維實(shí)體模型與結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。機(jī)床主要包括定平臺(tái)、冗余驅(qū)動(dòng)線性模組、動(dòng)平臺(tái)以及3組伸縮桿(即運(yùn)動(dòng)支鏈)。上下兩組運(yùn)動(dòng)支鏈通過鉸鏈連接動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)。中間一組運(yùn)動(dòng)支鏈通過鉸鏈連接動(dòng)平臺(tái)與冗余驅(qū)動(dòng)線性模組上的滑塊，冗余驅(qū)動(dòng)線性模組固定在定平臺(tái)的中間位置，此結(jié)構(gòu)可增大機(jī)床的工作空間。

圖1 3-2SPS并聯(lián)機(jī)床三維模型和結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

2 機(jī)床動(dòng)態(tài)特性分析基礎(chǔ)

對(duì)于一個(gè)n自由度的線性振動(dòng)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程的一般表達(dá)式為：

(1)

2.1 并聯(lián)機(jī)床振動(dòng)模型的建立

將復(fù)雜的電動(dòng)缸分為四個(gè)相互連接由彈簧、質(zhì)量塊組成的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)[6]。并作如下假設(shè)：①將機(jī)床的機(jī)架與動(dòng)平臺(tái)看為絕對(duì)剛體，不會(huì)產(chǎn)生形變；②機(jī)床的動(dòng)平臺(tái)位姿為特定的狀態(tài)，機(jī)床不會(huì)產(chǎn)生大幅度的動(dòng)態(tài)變化。以上述假設(shè)為基礎(chǔ)，可以簡(jiǎn)化并聯(lián)機(jī)床的振動(dòng)模型，如圖2所示。

圖2 并聯(lián)機(jī)床振動(dòng)模型

2.2 并聯(lián)機(jī)床振動(dòng)系統(tǒng)微分方程的建立

這里假設(shè)動(dòng)平臺(tái)在穩(wěn)定狀態(tài)下的位姿變化不大，以并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)為研究對(duì)象，由虛功原理可知，整個(gè)機(jī)床系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下產(chǎn)生的虛功為零，即動(dòng)平臺(tái)虛位移產(chǎn)生的虛功等于支鏈虛位移產(chǎn)生的虛功[7]。各支鏈虛位移所做虛功W1：

W1=fT·l=f1·l1+f2·l2+f3·l3+f4·l4+f5·l5+f6·l6

動(dòng)平臺(tái)虛位移所做虛功W2：

由虛功原理可得：W1=W2

l=GT·q

(2)

對(duì)式(2)分別求一階導(dǎo)和二階導(dǎo)得：

(3)

則支鏈微分振動(dòng)方程的矩陣形式為:

(4)

其中，支鏈質(zhì)量矩陣:

支鏈阻尼矩陣:

支鏈剛度矩陣:

以動(dòng)平臺(tái)為研究對(duì)象，建立關(guān)于動(dòng)平臺(tái)的力，力矩平衡方程[8]：

(5)

聯(lián)立成矩陣形式：

(6)

其中，mp為并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)質(zhì)量，Ip為動(dòng)平臺(tái)慣性矩矢量。

可得機(jī)床的振動(dòng)系統(tǒng)的微分運(yùn)動(dòng)方程：

(7)

其中，M(q)=[MI+G·[ml·GT

c(q)=G·[cl·GT

K(q)=G·[kl·GT

3 自由振動(dòng)下機(jī)床模態(tài)分析

3.1 自由振動(dòng)下機(jī)構(gòu)固有頻率分析

并聯(lián)機(jī)床系統(tǒng)固有頻率由自身固有參數(shù)決定，系統(tǒng)的固有頻率包括有阻尼的固有頻率以及無阻尼的固有頻率兩種類型[9]。所有的振動(dòng)系統(tǒng)都是有阻尼的，并且會(huì)對(duì)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)特性有一定的影響，但當(dāng)系統(tǒng)的阻尼很小時(shí)，其對(duì)系統(tǒng)的固有頻率的影響可以忽略，因此研究并聯(lián)機(jī)床系統(tǒng)無阻尼狀態(tài)下的固有頻率。

([k-w2[m){u}={o}

(8)

上式是一個(gè)關(guān)于{u}的n元線性齊次方程組，方程組有非零解的前提條件是系數(shù)行列式的值等于零，即△(w2)=|kij-w2mij|=0，即為系統(tǒng)的頻率方程。

系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)情況下的振動(dòng)微分方程是：

(9)

其中，[M=[mp+G[mGT，[C=G[cGT，[K=G[kGT

為得到系統(tǒng)固有頻率，設(shè)：

{q(t)}={u}f(t)

(10)

其中，f(t)是依賴于時(shí)間的實(shí)函數(shù)，{u}是空間位置函數(shù)。

將式(10)代入式(9)得：

(11)

(12)

從而可得到系統(tǒng)的頻率方程為：

(13)

3.2 機(jī)構(gòu)自由振動(dòng)固有頻率仿真分析

通過上述對(duì)并聯(lián)機(jī)床進(jìn)行的理論分析，建立了機(jī)床的振動(dòng)學(xué)模型。而機(jī)床的動(dòng)態(tài)特性指標(biāo)包括固有頻率和振型等，固有頻率與機(jī)構(gòu)自身有關(guān)，不受外載荷的影響[10]。因此，研究機(jī)構(gòu)振動(dòng)學(xué)特性可對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，了解機(jī)構(gòu)的振動(dòng)特性，分析機(jī)床的固有頻率與相應(yīng)的振型。

利用ANSYS有限元分析軟件仿真機(jī)構(gòu)的模態(tài)，可以得出機(jī)構(gòu)的振動(dòng)特性，得出并聯(lián)機(jī)構(gòu)的低階固有頻率和相應(yīng)的振型，對(duì)并聯(lián)機(jī)床進(jìn)行模態(tài)仿真分析，其各階振型如圖3所示。

(a) 1階固有頻率 (b) 2階固有頻率

(c) 3階固有頻率 (d) 4階固有頻率

(e) 5階固有頻率 (f) 6階固有頻率 圖3 機(jī)構(gòu)各階振型圖

通過有限元分析得出，并聯(lián)機(jī)床的第1階固有頻率是67.254Hz，機(jī)床的振型狀態(tài)是動(dòng)平臺(tái)和支鏈在x軸的方向上來回?cái)[動(dòng)，上機(jī)架向x軸的正方向上偏移，在動(dòng)平臺(tái)和伸縮桿內(nèi)套筒處產(chǎn)生最大位移；機(jī)床的第2階固有頻率是120.34Hz，振型狀態(tài)是伸縮桿在z軸方向上來回?cái)[動(dòng)，而動(dòng)平臺(tái)則繞著x軸進(jìn)行擺動(dòng)，在動(dòng)平臺(tái)與二級(jí)伸縮桿處產(chǎn)生最大位移；機(jī)床的第3階固有頻率是141.68Hz，振型狀態(tài)是支鏈在x軸的方向上來回?cái)[動(dòng)，而動(dòng)平臺(tái)則繞著z軸進(jìn)行擺動(dòng)，在動(dòng)平臺(tái)和一級(jí)伸出套筒的連接處產(chǎn)生最大位移；第4階固有頻率是149.23Hz，振型狀態(tài)是伸縮桿1和伸縮桿2在z軸的方向來回?cái)[動(dòng)，在動(dòng)平臺(tái)與伸縮桿3的一級(jí)伸出套筒處產(chǎn)生最大位移；第5階固有頻率是152.41Hz，其振型狀態(tài)是伸縮桿1和伸縮桿2在z軸的方向上來回?cái)[動(dòng)，在動(dòng)平臺(tái)與伸縮桿2的伸出套筒處產(chǎn)生最大位移；第6階固有頻率是160.72Hz，振型狀態(tài)是上下兩組伸縮桿在x軸的方向上來回?cái)[動(dòng)，而中間的兩伸縮桿則在z軸的方向上擺動(dòng)，動(dòng)平臺(tái)則繞著y軸的方向擺動(dòng)。機(jī)床模態(tài)有限元分析的結(jié)果如表1所示。

表1 模態(tài)分析結(jié)果

根據(jù)上述模態(tài)分析結(jié)果可知，在忽略機(jī)床床身振動(dòng)影響前提下，支鏈的振動(dòng)特性對(duì)機(jī)構(gòu)整體的影響最大。并且機(jī)構(gòu)的前3階固有頻率即可體現(xiàn)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性，機(jī)床中的每條運(yùn)動(dòng)支鏈剛度較低，從機(jī)床的剛度角度和振動(dòng)角度來看，運(yùn)動(dòng)支鏈為薄弱環(huán)節(jié)，因此改善運(yùn)動(dòng)支鏈的靜態(tài)性能和動(dòng)態(tài)性能對(duì)于提高機(jī)床靜態(tài)性能與動(dòng)態(tài)性能有著重要的作用。

通過MATLAB對(duì)機(jī)床的前3階固有頻率進(jìn)行建模分析，并作以下設(shè)定：取g=-400mm，將掃描截面取作y=800mm，-100mm≤x≤1000mm，-550mm≤

z≤550mm，步長(zhǎng)取△l=20mm，通過分析可以得出機(jī)床的固有頻率分布情況，如圖4所示。

(a) 1階固有頻率 (b) 2階固有頻率

(b) 3階固有頻率

通過機(jī)床的前3階固有頻率分布圖可以看出：機(jī)床的第1階固有頻率隨著y坐標(biāo)的增大而增大；隨著x坐標(biāo)的增大而先增大后減小。機(jī)床的第2階固有頻率和1階固有頻率分布規(guī)律相似，2階固有頻率的變化速率相對(duì)于1階固有頻率較小。機(jī)床的第3階固有頻率與前2階固有頻率的分布規(guī)律恰好相反。

由上述分析結(jié)果可知，機(jī)床在x軸方向上的剛度較為薄弱，通過結(jié)合ANSYS與MATLAB的仿真結(jié)果，可以更好地預(yù)測(cè)機(jī)構(gòu)的固有頻率在并聯(lián)機(jī)床工作空間中的分布規(guī)律。

4 總結(jié)

以3-2SPS并聯(lián)機(jī)床為研究對(duì)象，分析并簡(jiǎn)化并聯(lián)機(jī)床的振動(dòng)模型，運(yùn)用達(dá)朗貝爾原理和一階影響系數(shù)矩陣來建立并聯(lián)機(jī)床的多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的微分運(yùn)動(dòng)方程，應(yīng)用ANSYS Workbench有限元分析軟件對(duì)并聯(lián)機(jī)床進(jìn)行模態(tài)仿真分析，總結(jié)機(jī)構(gòu)的前6階固有頻率與振型規(guī)律，并通過MATLAB軟件對(duì)影響機(jī)床振動(dòng)特性的前3階固有頻率的分布進(jìn)行仿真建模，得出機(jī)構(gòu)的固有頻率在機(jī)床的工作空間中的分布規(guī)律。確定結(jié)構(gòu)形變較大的位置。研究結(jié)果為并聯(lián)機(jī)床的減振技術(shù)的研究提供了理論依據(jù)，具有一定的參考意義。