切削負(fù)載下磁懸浮電主軸系統(tǒng)的振動響應(yīng)分析*

陳 鵬，康輝民，胡斌梁，熊友平

(湖南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖南 湘潭 411110)

0 引言

磁懸浮電主軸以無摩擦、高轉(zhuǎn)速的獨特性能，在高速、超高速機(jī)床上得到廣泛應(yīng)用。因此研究切削負(fù)載下磁懸浮電主軸系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響因素，對優(yōu)化主軸的加工質(zhì)量和運(yùn)行品質(zhì)意義深遠(yuǎn)[1]。

傳遞矩陣法是求解系統(tǒng)固有頻率常用的方法之一，其程序編寫通常比較復(fù)雜，而且對主動磁懸浮軸承系統(tǒng)這類結(jié)構(gòu)復(fù)雜的模型欠缺有效的計算和分析能力，特別是求解磁懸浮主軸高速運(yùn)轉(zhuǎn)時的動力學(xué)問題時，所得到的數(shù)值存在不穩(wěn)定的現(xiàn)象[2]。有限元法是對系統(tǒng)模態(tài)分析的另一種方法，它克服了傳遞矩陣法存在的缺點，且操作過程簡單方便，計算結(jié)果數(shù)值穩(wěn)定，如文獻(xiàn)[3]用ANSYS經(jīng)典界面構(gòu)建模型，利用Subspace法計算了前4階固有頻率和振型，而且利用錘擊法驗證了所得到的固有頻率和振型的正確性；文獻(xiàn)[4]在用NASTRAN軟件建立磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)三維有限元模型的基礎(chǔ)上，采用SISO的模態(tài)參數(shù)識別法，同時考慮懸浮條件下磁軸承剛度及阻尼對系統(tǒng)的影響，成功獲得了系統(tǒng)前4階的固有頻率與振型。但NASTRAN等經(jīng)典有限元軟件雖然在動力學(xué)分析中應(yīng)用廣泛，但在定量計算時，需要很復(fù)雜的命令流以及一定的編程基礎(chǔ)，操作難度加大。而ANSYS Workbench軟件則具有建模快捷、方便的特點，可以通過劃分很精密的網(wǎng)格以得到更高的精度。

采用ANSYS Workbench軟件對磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)首先進(jìn)行結(jié)構(gòu)模態(tài)分析，以GB/T 20928-2007對內(nèi)螺紋銅管的尺寸偏差為依據(jù)[5]，對磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行諧響應(yīng)分析，從而確定在加工過程中主軸系統(tǒng)所受激振力的頻率范圍和幅頻特性，進(jìn)一步得出主軸系統(tǒng)在滿足加工精度要求下所能允許發(fā)生的最大振動幅值。最終的仿真結(jié)果表明，當(dāng)工件滿足GB/T 20928-2007加工精度要求時，激振力的頻率應(yīng)控制在[224,680]Hz，加工速度應(yīng)控制在[13440,40800]r/min。

1 磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)解析分析

轉(zhuǎn)子模態(tài)分析是動力學(xué)分析的基礎(chǔ)，也是瞬態(tài)響應(yīng)分析、諧響應(yīng)分析的開始[6]。根據(jù)彈性力學(xué)理論，動力學(xué)微分方程為：

(1)

(2)

根據(jù)機(jī)械振動理論，系統(tǒng)的自由振動是由多個簡諧振動疊加組成，此時系統(tǒng)做簡諧振動，其解為：

x=λsin(ωt+φ)

(3)

式(3)的特征方程為：

(K-ω2M)λ=0

(4)

由式(4)可以得到n個特征值ωi(i=1,2,...n)，即主軸系統(tǒng)的n個固有頻率。將ωi代人到式(4)中，可以獲得λi，λi就是振動頻率ωi的振動型態(tài)。

事實上，磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度K除與軸承的固有參數(shù)直接相關(guān)外，還包括磁軸承的支承剛度，其與控制器的設(shè)計和控制參數(shù)的選擇有關(guān)[7]。故設(shè)計了一種不完全微分PD控制器，深入探索了控制參數(shù)與磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的支承特性的內(nèi)在聯(lián)系。不完全微分形式的PD控制傳遞函數(shù)的表達(dá)式為：

(5)

其中，Tf為濾波器系數(shù)，Kp,Ki,Kd為PID控制的比例、積分和微分系數(shù)。

根據(jù)PID控制的相關(guān)理論，比例環(huán)節(jié)加微分環(huán)節(jié)的形式即可達(dá)到使系統(tǒng)穩(wěn)定的目的[8]，其傳遞函數(shù)為：

G(s)=Kp+Kds

(6)

為了考慮其頻率特性，令s=jω，則支承剛度：

k=kiKp-kx

(7)

其中，kx為位移剛度系數(shù)，ki為電流剛度系數(shù)，ω為轉(zhuǎn)子的渦動頻率。由式(7)可以看出，磁懸浮軸承的剛度主要取決于PID控制器的比例系數(shù)和微分系數(shù)，而與渦動頻率沒有關(guān)系。大量工程實踐證明，單純的微分環(huán)節(jié)由于受噪聲影響而無法保持穩(wěn)定工作。實踐中通常在微分環(huán)節(jié)加入一階低通濾波器。由式(5)～式(6)得：

(8)

由式(7)得支承剛度表達(dá)式為：

(9)

由圖1可以看出，在不同的控制參數(shù)下，支承剛度隨渦動頻率的變化曲線不同，但趨勢一致，當(dāng)控制參數(shù)取Kp=1.92,Kd=5.3×10-4時，主動磁懸浮軸承系統(tǒng)的一階固有頻率為700Hz，當(dāng)渦動頻率低于一階固有頻率時，磁懸浮軸承剛度與渦動頻率成正比；當(dāng)渦動頻率高于一階固有頻率時，磁懸浮軸承剛度與渦動頻率成反比。

圖1 支承剛度隨渦動頻率的變化曲線

2 切削載荷下數(shù)控機(jī)床主軸振動響應(yīng)數(shù)學(xué)模型

2.1 切削力模型

磁懸浮電主軸工作過程中一直受切削力作用。一般情況下，切削力計算模型采用經(jīng)驗預(yù)估模型[9]，電主軸銑刀平面切向力的數(shù)學(xué)模型如下：

(10)

其中，CF、αe、αf分別為切削力系數(shù)、切削寬度和每齒進(jìn)給量，d、αp、Z分別為刀具直徑、切削深度和刀具齒數(shù)。刀具平面徑向力模型為：

(11)

切削力作用下，機(jī)床主軸上的刀齒與工件接觸時工件受徑向力Fr的作用，設(shè)主軸的瞬時轉(zhuǎn)速為n，則其頻率為：

f=n/60

(12)

將該徑向力進(jìn)行的傅里葉級數(shù)展開，可得:

(13)

其中，P、ω、φ分別為幅值、激振頻率、相位角。忽略高階項影響，且初相位φ1=0，則該式可列為：

P(t)=Frcos(ωt+φ)

(14)

2.2 簡諧激勵下系統(tǒng)響應(yīng)模型

研究磁懸浮電主軸銑刀在平面的單自由度振動時，可將上述切削力模型簡化為單自由度系統(tǒng)[10]，若把x(t)等價為銑刀與加工工件在切削平面的法向位移，該系統(tǒng)在簡諧激振力的作用下的振動模型為：

(15)

求解上式可得:

x(t)=Xcos(ω′t-φ)

(16)

其中，

(17)

式中，ω′為簡諧激振力的頻率，ωn為系統(tǒng)固有頻率，ξ=c/2mωn，為阻尼率；常數(shù)A=Fr/k。

由上式可以看出，在簡諧激振力的作用下，系統(tǒng)的動態(tài)位移響應(yīng)不僅與激振力的幅值有關(guān)，也與系統(tǒng)的剛度、阻尼參數(shù)有關(guān)，因此，有必要對主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析，進(jìn)而進(jìn)行諧響應(yīng)分析以探索其內(nèi)在關(guān)系。

3 基于ANSYS Workbench的模態(tài)分析

根據(jù)前文的模態(tài)解析分析結(jié)合由不完全微分PD控制器設(shè)置的控制參數(shù)，可以得到磁軸承的支承剛度為20N/μm，以此為依據(jù)，基于ANSYS Workbench軟件對磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析。

3.1 建立模型

首先根據(jù)磁懸浮轉(zhuǎn)子幾何參數(shù)如表1所示，使用SolidWorks三維建模軟件對主軸系統(tǒng)進(jìn)行三維建模，將建立好的三維模型導(dǎo)人ANSYS Workbench軟件中進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，為了使計算簡便化，忽略一部分細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)，如倒角、凹槽、圓角和螺紋得到轉(zhuǎn)子三維模型如圖2所示。

圖2 轉(zhuǎn)子三維模型

轉(zhuǎn)子質(zhì)量(kg)轉(zhuǎn)子長度(mm)前徑向磁軸承位置(mm)后徑向磁軸承位置(mm)4.546986.85312.66軸向磁軸承位置(mm)質(zhì)心位置(mm)電機(jī)位置(mm)最高轉(zhuǎn)速(r/min)382.14235.21213.9243000

3.2 設(shè)置材料參數(shù)

電主軸材料為30CrNiMo8鋼，材料屬性設(shè)置為：彈性模量E為2.0×1011Pa，泊松比μ為0.3,密度ρ為7850kg/m3。

3.3 劃分網(wǎng)格

網(wǎng)格劃分是對主動磁懸浮電主軸三維模型進(jìn)行離散化的過程。根據(jù)磁懸浮電主軸高速運(yùn)轉(zhuǎn)過程中的實際情況及研究零部件，可以劃分不同精度的網(wǎng)格。網(wǎng)格有三角形和長方形等有限單元形狀可供選擇。為了使磁懸浮電主軸的模態(tài)分析得到較高的分析精度，采用2階實體四面體單元。即每個2階四面體單元具有10個節(jié)點(4個角點，6個中間節(jié)點)每個節(jié)點分布3個自由度。劃分網(wǎng)格后單元總數(shù)22842，節(jié)點數(shù)為13438。

3.4 施加約束

磁懸浮軸承對主軸的約束等價于剛度和阻尼，即左右兩個主動磁懸浮軸承對主軸的支承力可以看做兩個彈簧單元。又因為此部分為自由模態(tài)分析，故可以忽略阻尼。根據(jù)磁懸浮軸承工作原理，可以將彈簧單元定義為外端固定，內(nèi)端自由約束。分析過程中磁懸浮軸承對主軸轉(zhuǎn)子進(jìn)行彈性支承，取控制參數(shù)Kp=1.92,Kd=5.3×10-4由式(9)，兩個磁軸承的支承剛度設(shè)置為20N/μm，如圖3所示。

圖3 對轉(zhuǎn)子模型施加約束示意圖

3.5 分析結(jié)果

對磁懸浮主軸轉(zhuǎn)子模型求解得到的前6階振型如下如圖4～圖5所示，經(jīng)過Workbench軟件計算得到的固有頻率和臨界轉(zhuǎn)速如表2所示。

圖4 1階振型

圖5 2階振型

對于轉(zhuǎn)子，轉(zhuǎn)速和頻率的關(guān)系為:

N=60f

(18)

式中，N為轉(zhuǎn)速(r/min)；f為頻率(Hz)。

表2 前6階固有頻率及臨界轉(zhuǎn)速

由表2可知，磁懸浮轉(zhuǎn)子的1階臨界轉(zhuǎn)速為40942.2(r/min)，其最高轉(zhuǎn)速為43000(r/min)，需要跨越一階臨界轉(zhuǎn)速，結(jié)合圖4，即轉(zhuǎn)子的1階模態(tài)振型屬于剛性模態(tài)，因此要根據(jù)實際的加工情況，選擇合適的加工速度，和控制切削力的激振頻率范圍，所以要基于ANSYS軟件對磁懸浮-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行諧響應(yīng)分析。

4 諧響應(yīng)分析

ANSYS軟件中的諧響應(yīng)分析模塊，可以用來計算主動磁懸浮電主軸系統(tǒng)在連續(xù)周期性的切削負(fù)載下切削力各個方向上的周期性動態(tài)響應(yīng)。利用諧響應(yīng)分析模塊，可以得到磁懸浮主軸在周期性激振力影響下位移響應(yīng)幅值，并可以導(dǎo)出幅頻響應(yīng)曲線。ANSYS軟件提供模態(tài)疊加法進(jìn)行諧響應(yīng)分析。在模態(tài)分析后，采用了模態(tài)疊加法。對磁懸浮電主軸系統(tǒng)進(jìn)行諧響應(yīng)分析時施加的切削負(fù)載為正弦載荷，該載荷包含載荷幅值、強(qiáng)制頻率范圍、相位角二個特征值，最后進(jìn)行后處理。在諧響應(yīng)分析中，公式(1)右側(cè)為：

F(t)=Fcos(ωt)

(19)

在諧響應(yīng)分析中，針對磁懸浮主軸裝置需要施加載荷幅值和頻率區(qū)間、求解步數(shù)，根據(jù)模態(tài)分析結(jié)果以及切削力模型，在磁懸浮主軸夾裝工件的主要受力面A施加幅值為1040N的激振力，頻率采樣區(qū)間為[0,2800]Hz,求解步數(shù)為50步。通過ANSYS軟件的后處理功能，可以得到磁懸浮主軸銑刀平面上的切向、軸向、徑向的頻響關(guān)系如圖10～圖12所示。

圖6 x方向頻響曲線

圖7 y方向頻響曲線

圖8 z方向頻響曲線

對磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行諧響應(yīng)分析得出，轉(zhuǎn)軸A面的x方向頻響分析如圖10所示，由于質(zhì)心不平衡的存在，轉(zhuǎn)子在開始加速時，振幅較大，隨著轉(zhuǎn)速的提升，振幅逐漸減小。當(dāng)頻率在504Hz時，振幅最小，然后振幅隨頻率的增大而增大，當(dāng)接近一階固有頻率時，振幅最大為0.276mm。

根據(jù)GB/T 20928-2007對內(nèi)螺紋銅管的尺寸偏差范圍的規(guī)定如表所示，顯然主軸加工時應(yīng)激振力的頻率應(yīng)該控制在一個范圍。當(dāng)加工的內(nèi)螺紋銅管尺寸為φ9.52時，激振力為1040N的情況下，為了滿足加工精度要求，激振力的頻率應(yīng)控制在[224,680]Hz，加工速度控制在[13440,40800]r/min。

表3 GB/T 20928-2007內(nèi)螺紋銅管的尺寸偏差范圍

5 結(jié)論

(1)針對FG-AMB公司生產(chǎn)磁懸浮內(nèi)螺紋銅管加工主軸，采用有限元分析方法，利用Workbench軟件對其進(jìn)行模態(tài)分析，確定出加工主軸轉(zhuǎn)速攀升到最高轉(zhuǎn)速時會跨越一階臨界轉(zhuǎn)速。

(2)對加工主軸磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行了諧響應(yīng)分析，結(jié)合GB/T 20928-2007對內(nèi)螺紋銅管的尺寸偏差范圍的規(guī)定，確定當(dāng)加工的內(nèi)螺紋銅管尺寸為φ9.52時，激振力為1040N的情況下，為了滿足加工精度要求，激振力的頻率應(yīng)控制在[224,680]Hz，加工速度控制在[13440,40800]r/min。

(3)建立磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型和諧響應(yīng)分析激勵響應(yīng)模型，確定主軸的動態(tài)響應(yīng)與支承剛度、阻尼存在對應(yīng)關(guān)系，為控制器的設(shè)計提供了依據(jù)。