淺談義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)途徑

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(山東省莒南縣板泉鎮(zhèn)龐疃小學(xué))

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，是人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程。數(shù)學(xué)與人類發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步息息相關(guān)，隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)更加廣泛應(yīng)用于社會(huì)生產(chǎn)和日常生活的各個(gè)方面。特別是20世紀(jì)中葉以來，數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)技術(shù)的結(jié)合在許多方面直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值，推動(dòng)著社會(huì)生產(chǎn)力的發(fā)展。數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁，是數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的媒介，是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑。這為當(dāng)前加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)教育帶來了機(jī)遇與挑戰(zhàn)。

一、義務(wù)教育階段加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的重要性

數(shù)學(xué)建模是一種創(chuàng)造性活動(dòng)，也是一種解決現(xiàn)實(shí)問題的量化手段。數(shù)學(xué)建模和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)相比較，數(shù)學(xué)建模彌補(bǔ)了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的不足，在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力方面發(fā)揮著巨大的作用。數(shù)學(xué)作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決問題，直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值。數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。

近幾年，不僅每年高考都出了應(yīng)用題，中考也加強(qiáng)了應(yīng)用題的考察，這些應(yīng)用題以數(shù)學(xué)建模為中心，以考察學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。但從教學(xué)的反饋信息看，初中生對(duì)應(yīng)用題普遍感到害怕，在應(yīng)用題中的得分率遠(yuǎn)低于其他題，原因之一就是學(xué)生缺乏數(shù)學(xué)建模能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)。特別是文字較多、背景復(fù)雜的應(yīng)用題更是束手無策。模型思想的建立能夠?yàn)閷W(xué)生解決這一問題。通過建立和求解模型，能夠引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。

二、義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)模型的建立過程

數(shù)學(xué)模型方法的操作程序大致可以歸納為五步法，具體為：分析問題、選擇建模方法、推導(dǎo)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式、求解模型和回答問題。教學(xué)中要根據(jù)課程內(nèi)容，科學(xué)設(shè)計(jì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的活動(dòng)。這樣的活動(dòng)應(yīng)體現(xiàn)“問題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的過程，這個(gè)過程要有利于理解和掌握相關(guān)的知識(shí)技能，感悟數(shù)學(xué)思想、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；要有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。

由此，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題的能力，關(guān)鍵是把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，必須首先通過觀察分析、提煉出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，然后再把數(shù)學(xué)模型納入某知識(shí)系統(tǒng)去處理。這不但要求學(xué)生有一定的抽象能力，而且要有相當(dāng)?shù)挠^察、分析、綜合、類比能力。學(xué)生的這種能力的獲得不是一朝一夕的事情，需要把數(shù)學(xué)建模意識(shí)貫穿在教學(xué)的始終，也就是要不斷地引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維的觀點(diǎn)去觀察、分析和表示各種事物關(guān)系、空間關(guān)系和數(shù)學(xué)信息，從紛繁復(fù)雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數(shù)學(xué)模型，達(dá)到運(yùn)用數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題，使建模意識(shí)成為學(xué)生思考問題的方法和習(xí)慣。

在教學(xué)中還要結(jié)合專題討論與建模法研究。我們可以選擇適當(dāng)?shù)慕ｎ}，如“代數(shù)法建?！薄皥D解法建?！薄爸?曲)線擬合法建模”，通過討論、分析和研究，熟悉并理解數(shù)學(xué)建模的一些重要思想，掌握建模的基本方法甚至可以引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)日常生活的觀察，自己選擇實(shí)際問題進(jìn)行建模練習(xí)，使學(xué)生拓寬視野，增長(zhǎng)知識(shí)，積累經(jīng)驗(yàn)。

三、義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)模型建立的途徑探索

(一)低起點(diǎn)，樹信心

為了克服學(xué)生對(duì)應(yīng)用題的懼怕心理，教師要根據(jù)學(xué)生實(shí)際，降低起步難度，例題分析清楚，講解仔細(xì)，分步到位。對(duì)較難的應(yīng)用題，要設(shè)置過渡性問題，讓學(xué)生分層遞進(jìn)。例如：

在一個(gè)房間里有四條腿的椅子和三條腿的凳子共16個(gè)，如果椅子腿和凳子腿數(shù)加起來共有60個(gè)，有幾個(gè)椅子和幾個(gè)凳子？

說明：這個(gè)問題與例32是相同的。事實(shí)上，這個(gè)問題可以用三種方法建立模型。在第二學(xué)段，討論過的方法是基于四則運(yùn)算，還可以用一元一次方程的方法或二元一次方程組的方法解決。啟發(fā)學(xué)生從不同的角度思考同一個(gè)問題，有利于學(xué)生進(jìn)行比較，加深對(duì)于模型的理解。

利用一元一次方程解決此問題時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生通過具體列表的方式找出規(guī)律、建立方程，這樣利于學(xué)生理解方程的意義，體會(huì)建模的過程。假設(shè)椅子數(shù)為a，則凳子數(shù)為16-a，把例32中的表移過來并用字母代替：

這樣，合題意的方程為4a+3(16-a)=60，可以通過嘗試的方法，解得a=12，也可以解方程求解。

對(duì)于二元一次方程組，則可以直接列方程。假設(shè)椅子數(shù)為a，凳子數(shù)為b，可以得到兩個(gè)方程a+b=16和4a+3b=60，用代入法得到4a+3(16-a)=60，求解得到a=12和b=4。

從上面的討論可以看到，用四則運(yùn)算方法，思考最困難，但是結(jié)果最直接；用二元一次方程組的方法，思考最簡(jiǎn)潔，但是計(jì)算較繁瑣。學(xué)生思考并解決以上問題后，就不難選擇合適的模型來解決這個(gè)實(shí)際問題了。

(二)豐富生活知識(shí)，增強(qiáng)建模意識(shí)

數(shù)學(xué)來源于生活服務(wù)于生活，數(shù)學(xué)建模問題往往不是單純的數(shù)學(xué)問題，它涉及到其它學(xué)科知識(shí)及生活知識(shí)。所以教師要查閱資料、收集信息，千方百計(jì)拓寬自己的知識(shí)面，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生多接觸社會(huì)，豐富自己的生活閱歷，為正確建立數(shù)學(xué)模型，奠定必要的基礎(chǔ)。為了培養(yǎng)學(xué)生對(duì)解應(yīng)用題的興趣，教師要根據(jù)學(xué)生已有知識(shí)改編書上例題背景，盡可能設(shè)置與學(xué)生息息相關(guān)的生活背景，捕捉社會(huì)熱點(diǎn)問題讓學(xué)生去解決問題，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)無處不在，生活中離不開數(shù)學(xué)，從而增強(qiáng)學(xué)生的建模意識(shí)。

(三)注重模型歸類，提高建模能力

初中階段常用的數(shù)學(xué)模型有方程和不等式模型、函數(shù)模型、幾何模型、三角形模型等。教師要注重模型的歸類，特別是學(xué)業(yè)考試復(fù)習(xí)，更應(yīng)根據(jù)不同模型進(jìn)行分類復(fù)習(xí)。使學(xué)生能根據(jù)某種規(guī)律建立變量和參數(shù)間的一個(gè)明確數(shù)學(xué)關(guān)系，正確運(yùn)用方程思想、函數(shù)思想，解決不同的實(shí)際問題。在同一個(gè)生活背景下，讓學(xué)生靈活應(yīng)用方程、不等式、函數(shù)等來解決不同的實(shí)際問題，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，并提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力。

例題：某書定價(jià)8元。如果一次購(gòu)買10本以上，超過10本部分打八折。分析并表示購(gòu)書數(shù)量與付款金額之間的函數(shù)關(guān)系。

說明：這是一個(gè)分段函數(shù)，函數(shù)的三種表示法均適用于這個(gè)例子。一般來說，列表法適用于變量取值是離散的情況；分段函數(shù)應(yīng)當(dāng)畫圖，并且關(guān)注分段點(diǎn)處函數(shù)的變化情況。

可以分組討論三種方法，然后讓學(xué)生分析比較。

總之，建立數(shù)學(xué)模型的過程，就是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡(jiǎn)化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程。要通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實(shí)際對(duì)象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法去分析和解決問題。這就需要深厚扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，敏銳的洞察力和想象力，對(duì)實(shí)際問題的濃厚興趣和廣博的知識(shí)面。