求解概率問題的五大法寶

唐紹友

摘要：：概率是近幾年高考與自主招生考試中的重點(diǎn)內(nèi)容，其求解方法比較難，特別是與排列組合、數(shù)列有關(guān)的概率問題及幾何概型顯得更有難度.本文總結(jié)了五個(gè)方面的思考策略：認(rèn)真識(shí)別、發(fā)掘隱含、正難則反、精心構(gòu)造、遞推轉(zhuǎn)化.

關(guān)鍵詞：認(rèn)真識(shí)別;發(fā)掘隱舍;正難則反;精心構(gòu)造;遞推轉(zhuǎn)化

概率是近幾年高考與自主招生考試中的重點(diǎn)內(nèi)容，其求解方法比較難，特別是與排列組合、數(shù)列有關(guān)的概率問題及幾何概型顯得更有難度，所以對(duì)概率問題的常用求解方法有必要作一些總結(jié).

1 認(rèn)真識(shí)別

考試中的概率題型主要包括古典概型、幾何概型、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率（特別情形：π次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，事件A恰好

例2 某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制，當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制，兩次燒制過程相互獨(dú)立，根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5，0.6，0.4;經(jīng)過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6，0.5，0.75.經(jīng)過前后兩次燒制后，合格工藝品的個(gè)數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列.

分析由于甲、乙、丙三件工藝品經(jīng)兩次燒制后合格的概率都是0.3，且兩次燒制過程相互獨(dú)立，所以燒制三件工藝品可以視為三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，從而可以輕松獲解.

評(píng)析 解決本題的關(guān)鍵在于識(shí)別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，否則，將會(huì)增大運(yùn)算量.

2 發(fā)掘隱含

眾所周知，隱含條件在求解數(shù)學(xué)問題中非常重要，隱含條件是引人步入解答誤區(qū)的誘餌，在概率問題的解決過程中也是如此，特別是在分析事件的過程中，要密切關(guān)注事件的隱蔽性，注意當(dāng)前事件的背后是否具有隱含的其他事件，這樣才能確保成功求解.

例3在一次抗洪搶險(xiǎn)中，準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從河上游漂流而下的一只巨大汽油罐.已知只有5發(fā)子彈備用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功.每次射擊命中的概率都是2/3，每次命中與否互相獨(dú)立.

（1）求恰好射擊5次引爆油罐的概率;

（2）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及ξ的數(shù)學(xué)期望.

分析第（1）問中“恰好射擊5次引爆油罐”隱含了事件“前四次射擊中恰好命中一次”與事件“第五次命中”同時(shí)發(fā)生;第二問中ξ=5時(shí)，隱含條件較深層，必須認(rèn)真發(fā)掘：

①“前四次都沒命中”與“第五次命中或沒命中”同時(shí)發(fā)生;②“前四次恰好命中一次”與“第五次命中或沒命中”同時(shí)發(fā)生.當(dāng)隱含事件分析清楚之后，解答

3 正難則反

在求解概率問題中，如果問題的正面所對(duì)應(yīng)的事件比較復(fù)雜時(shí)，就可以考慮先求其對(duì)立事件的概率，即可以用計(jì)算公式：P（A）=1一P（A）.

例4 從平行六面體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)組成三角形，又從這些三角形中任取兩個(gè)，求這兩個(gè)三角形不共面的概率.

分析 若直接求兩個(gè)三角形不共面的概率，顯得較復(fù)雜，然而從反面角度先求其對(duì)立事件的概率，再利用P（A） =1 -P（A）求原事件的概率，顯得較簡(jiǎn)單.

例5-位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國王懷疑大臣作弊，他用兩種方法來檢測(cè).方法1：在10箱中各任意抽查一枚;方法2：在5箱中各任意抽查兩枚.國王用方法1、2能發(fā)現(xiàn)至少一枚劣幣的概率分別為p1和p2，試比較p1，p2的大小.

分析若直接求p1，p2，分類較復(fù)雜，而其反面特別簡(jiǎn)單，“至少一枚劣幣”的反面是“全抽好幣”.

4 精心構(gòu)造

在求解幾何概型中，構(gòu)造技巧要求較高，常涉及到一維線段、二維區(qū)域、三維空間的構(gòu)造，在構(gòu)造時(shí)必須準(zhǔn)確無誤，才能正確地求出概率.

例6 向面積為6的△ABC內(nèi)任投一點(diǎn)P，求APBC的面積小于2的概率，

錯(cuò)解 由于試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域是AABC，記APBC的面積小于2為事件A.

由此可見，構(gòu)造區(qū)域時(shí)，一定要精心思考，是否與題設(shè)條件形成充要條件，否則將會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

例7在間隔時(shí)間T（T>2）內(nèi)的任何瞬間，兩個(gè)信號(hào)等可能地進(jìn)入收音機(jī)，若這兩個(gè)信號(hào)的間隔時(shí)間小于2，則收音機(jī)將受到干擾，求收音機(jī)受到干擾的概率.

分析 由于兩個(gè)信號(hào)等可能地進(jìn)入收音機(jī)的時(shí)間都在（0，T）內(nèi)變化，所以是二維變量問題，因此需構(gòu)造二維區(qū)域求概率.

在求解幾何概型中，準(zhǔn)確構(gòu)造幾何圖形是關(guān)鍵，在構(gòu)造幾何圖形之前，必須弄清變量維數(shù)，然后確定構(gòu)造圖形的維數(shù).

5 遞推轉(zhuǎn)化

當(dāng)概率問題與數(shù)列有關(guān)時(shí)，可以思考建立數(shù)列模型求解，特別是事件A_n與A_n-1（n≥2，n∈N）各自發(fā)生的概率之間可以建立遞推公式時(shí)，一般可利用數(shù)列知識(shí)求其概率.從而將概率問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題

例8甲、乙等4人相互傳球，第一次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者將球等可能地傳給另外3人中的任何1人.

（1）經(jīng)過2次傳球后，球在甲、乙兩人手中的概率各是多少？

（2）經(jīng)過n次傳球后，求球在甲手中的概率.

分析由于傳球1次、2次、…n次后，球在甲手中的概率依次構(gòu)成了數(shù)列，所以求經(jīng)過n次傳球后球在甲手中的概率，就轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的通項(xiàng)公式，于是可通過數(shù)列的遞推公式求其通項(xiàng).

例9 一種擲硬幣（質(zhì)地均勻）走跳棋的游戲，棋盤上有第0，1，2，…，100，共101站.一枚棋子開始在0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳一次，若硬幣出現(xiàn)正面，則跳棋向前跳一站，若硬幣出現(xiàn)反面，則跳棋向前跳兩站，直至0棋子跳到第99站（獲勝）或者100站（失?。r(shí)游戲結(jié)束.求玩該游戲獲勝的概率？

分析要求玩該游戲獲勝的概率，需求棋子跳到第99站的概率.因棋子跳到每一站的概率依次構(gòu)成數(shù)列P1，P2，…，P_n，所以需求P99.可以先求通項(xiàng)P_n，再求P99.

解設(shè)棋子跳到n站的概率為P_n，棋子跳到n站，包括兩個(gè)互斥事件構(gòu)成：（1）由第n-l站跳到n站;（2）由第n-2站跳到n站，