五次非線性Schr?dinger 方程的一個(gè)新型守恒緊致差分格式

薛 翔,王廷春

(南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,江蘇南京210044)

1 引言

非線性Schr?dinger 方程在量子力學(xué)、非線性光學(xué)等物理領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用.本文研究如下一類五次非線性Schr?dinger 方程的初邊值問題[1]

其中f(x,t)為實(shí)值函數(shù),u(x,t)為復(fù)值函數(shù),u0為已知的復(fù)值函數(shù).不難驗(yàn)證,當(dāng)f(x,t)≡f(x)時(shí),該方程滿足兩個(gè)重要的守恒律,即總質(zhì)量和總能量守恒[1,2]

其中

關(guān)于非線性Schr?dinger 方程的數(shù)值研究已有很多結(jié)果.Bao 等人[3?5]運(yùn)用時(shí)間分裂擬譜方法對非線性Schr?dinger/Gross-Pitaeviskill 方程進(jìn)行了數(shù)值求解,并對某些物理現(xiàn)象進(jìn)行了數(shù)值模擬;Argyris 和Akrivis 等人[6?9]運(yùn)用有限元法對該方程進(jìn)行了數(shù)值研究;Dehghan 和Mirzaize 運(yùn)用無網(wǎng)格法對該方程進(jìn)行了數(shù)值求解[10?11].文獻(xiàn)[12–14]則運(yùn)用譜方法和擬譜方法對該方程進(jìn)行了數(shù)值求解和誤差分析.因編程簡單并能保持原問題的某些守恒性質(zhì),有限差分法廣泛應(yīng)用于非線性Schr?dinger 方程的數(shù)值模擬[15?18].然而關(guān)于五次非線性Schr?dinger 方程的數(shù)值研究尚不多見.張魯明、常謙順等人[1?2]對該方程提出兩個(gè)二階有限差分格式,證明其保持原問題的兩個(gè)守恒性質(zhì),同時(shí)建立了L2范數(shù)下的最優(yōu)誤差估計(jì).王詢等人[19]用待定系數(shù)的方法構(gòu)建了一類五點(diǎn)有限差分格式,該格式族在選取適當(dāng)?shù)膮?shù)后,其計(jì)算精度在空間可達(dá)四階,然而計(jì)算中在每一個(gè)時(shí)間步都需要求解一個(gè)五對角代數(shù)方程組.為提高精度,文獻(xiàn)[20]提出一個(gè)緊致有限差分格式,但該格式是非線性的,計(jì)算中不可避免的需要迭代,從而降低計(jì)算效率.另外,該文作者也沒有分析該格式是否在離散意義下保持原問題的兩個(gè)守恒性質(zhì).鑒于以上分析,本文旨在對問題(1.1)–(1.3)構(gòu)造一個(gè)線性化緊致有限差分格式,使得新格式在離散意義下依然保持原問題的兩個(gè)守恒性質(zhì).

2 有限差分格式及其守恒律

對平面區(qū)域W=[a,b]×[0,T]進(jìn)行網(wǎng)格剖分.取正整數(shù)J,N,時(shí)空方向上的步長分別為網(wǎng)格點(diǎn)分別為

定義Xh={w|w=(ω0,ω1,···,ωJ?1,ωJ),ω0=ωJ=0}為網(wǎng)格函數(shù)空間.設(shè)u,v 為Xh上的任意兩個(gè)函數(shù),其內(nèi)積和范數(shù)定義為

本文需要用到如下引理.

引理1[21]對于任意一個(gè)網(wǎng)格函數(shù)u ∈Xh,有

引理2[22]如果網(wǎng)格函數(shù)u ∈Xh,則

引理3[21]任給網(wǎng)格函數(shù)u ∈Xh,有

2.1 有限差分格式

對初邊值問題(1.1)–(1.3),本文提出如下四階緊致差分格式

其中

2.2 離散守恒律

為證明離散守恒律,定義

其中

n=1,2,···,N ?1,

引理4(I)格式(2.4)–(2.6)在離散意義下滿足總質(zhì)量守恒,即

其中

證將(2.9)式與un+1+un做內(nèi)積,并取虛部得

即

將(2.9)式與un+1?un做內(nèi)積,并取實(shí)部得

直接計(jì)算可得

將(2.19)–(2.22)式代入(2.18)式得

令

則得

即

3 誤差估計(jì)

記格式(2.4)–(2.7)的局部截?cái)嗾`差為

其定義如下

引理5格式(2.4)–(2.7)的局部截?cái)嗾`差滿足

定理1假設(shè)u ∈C6,3([a,b]×[0,T]),則差分格式(2.4)–(2.7)的解以·范數(shù)收斂到初邊值問題(1.1)–(1.3)的解,收斂階為O(τ2+h4).

證將(3.1)式和(3.2)式分別與(2.7)式和(2.9)式相減可得如下誤差方程

其中

由(3.5)式和引理5 顯見

運(yùn)用Taylor 展開,可得

因此有

現(xiàn)假設(shè)當(dāng)n ≤k(1 ≤k

進(jìn)而可得

將(3.6)式與en+en+1做內(nèi)積,取虛部得

又

由(3.18)–(3.21)式,得

上式對n 求和,有

當(dāng)τ 足夠小時(shí),由Gronwall 不等式得

由(3.6)式可得

運(yùn)用引理2 有

上式對n 求和得

另外由引理1 可得

由此可見,當(dāng)τ ≤h 時(shí),有τ2/h2≤1,得

所以無論網(wǎng)格比如何,總有

由(3.24)式和(3.30)式可知假設(shè)(3.14)式對n=k+1 時(shí)也成立.證畢.

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

便于驗(yàn)證格式的精度,引入以下記號

算例4.1考慮如下初邊值問題

其中

該問題的精確解為

由上式可見當(dāng)x 趨向于無窮大時(shí),u(x,t)迅速趨于0.故當(dāng)?a 和b 取得足夠大時(shí),u(a,t)和u(b,t)近似為0.因此在數(shù)值求解時(shí)取空間方向的計(jì)算區(qū)間為(?15,15),以忽略截?cái)嗾`差的影響.

在驗(yàn)證空間方向(時(shí)間方向)收斂階時(shí),取τ=0.00001(h=0.0001),這樣可以忽略時(shí)間(空間)方向的誤差影響.表1 和表2 分別給出了空間和時(shí)間方向的收斂階.在表3 中,將本文的線性格式與文獻(xiàn)[20]中的非線性格式做了計(jì)算效率上的比較.圖1 展示了精確解和數(shù)值解在不同時(shí)間層下的波形變化.

表1:空間方向收斂階

表2:時(shí)間方向收斂階

表3:本文中的線性格式(LCFD)與文[20]中的非線性格式(NCFD)在計(jì)算效率上的比較

圖1:算例4.1 在τ=0.01,h=0.1 時(shí)的精確解(左)和數(shù)值解(右)

算例4.2對形如iut+uxx+σ(x,t)u+(β1|u|2+β2|u|4)u=f(x,t),(x,t)∈(0,π)×(0,1].取初始值為u0(x)=sin x,則精確解為u(x,t)=eitsin x.

運(yùn)用本文中的格式(2.4)–(2.6)對算例4.2 進(jìn)行求解,有以下結(jié)果

表4:空間方向取不同步長時(shí)的誤差和精度

表5:時(shí)間方向取不同步長時(shí)的誤差和精度

由以上數(shù)值實(shí)驗(yàn)的結(jié)果可看出:差分格式(2.4)–(2.6)在時(shí)空方向分別具有2 階和4 階精度,而且格式在離散意義下依然能夠保持總質(zhì)量和總能量守恒,這完全符合定理1 和引理4的結(jié)論.除此之外,與已有格式相比,本文格式在精度相當(dāng)?shù)那疤嵯逻€大幅提高了計(jì)算效率.

圖2:算例4.2 在不同時(shí)間層的總質(zhì)量(左)和總能量(右)

圖3:算例4.2 在離散意義下的總質(zhì)量守恒(左)和總能量守恒(右)