中國土地輪耕發(fā)展的數(shù)學(xué)模型研究

吳萬勤，陳 嬌，譚 昊，聶俊宇

(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

0 引言

2016年開始，我國推行土地輪耕試點(diǎn)，輪作休耕就是要壓減庫存壓力大的玉米和稻谷，優(yōu)化資源配置，調(diào)整種植結(jié)構(gòu)，減少無效供給，增加有效供給.輪作主要是實(shí)行玉米大豆輪作，發(fā)揮大豆根瘤固氮、養(yǎng)地培肥作用，實(shí)現(xiàn)種地養(yǎng)地結(jié)合，農(nóng)業(yè)可持續(xù)發(fā)展.休耕就是減少耕地水資源利用，使耕地得到休養(yǎng)生息，同時(shí)加以治理.我國是一個(gè)人口大國，糧食安全是國之根本，輪耕必須在糧食安全范圍之內(nèi)，要形成耕地輪作休耕制度，國家財(cái)政投入是重要的支撐.土地輪耕對糧食安全有沒有影響？2017年輪耕土地1 200萬畝，其中輪作1 000萬畝，休耕200萬畝，影響糧食產(chǎn)量近80億斤，相當(dāng)于整個(gè)糧食年產(chǎn)量的0.6%.數(shù)據(jù)顯示，2016年中央財(cái)政安排了14.36億元，試點(diǎn)面積616萬畝；2017年安排了25.6億元，試點(diǎn)面積1 200萬畝；2018 年擬安排約50億元，試點(diǎn)面積2 400萬畝.關(guān)于我國目前農(nóng)村現(xiàn)狀和糧食分布狀況、土地輪耕發(fā)展方向?qū)ξ磥磙r(nóng)業(yè)發(fā)展的影響大小以及預(yù)測我國未來主要糧食產(chǎn)量和土地輪耕面積等問題，我們運(yùn)用樣本回歸模型[1]、灰色預(yù)測模型等方法來進(jìn)行研究.

灰色預(yù)測模型一般是指GM(1,1)模型及其擴(kuò)展形式，主要包括GM(1,1)模型、DGM模型和灰色Verhuls模型.GM(1,1)模型是灰色預(yù)測理論的基礎(chǔ)，其應(yīng)用價(jià)值已經(jīng)被人們所認(rèn)同并已應(yīng)用在社會的各個(gè)領(lǐng)域中.研究數(shù)據(jù)光滑度是很多學(xué)者選擇提高模型精度的方法，陳捷濤等[2]提出了用幾種典型的函數(shù)變換方法來提高原始數(shù)據(jù)序列的光滑度，從而使模型獲得了較高的預(yù)測精度；羅黨[3]應(yīng)用實(shí)際曲線在區(qū)間上的面積作為背景值，重構(gòu)了背景值的計(jì)算公式；何海[4]等指出了GM(1,1)的預(yù)測公式初值選取存在的缺陷，給出了幾種不同的初值選取方法 ；周偉[5]經(jīng)過對GM(1)模型差分方程研究得出了差分GM(,1)模型以及還原時(shí)間響應(yīng)函數(shù)，從而推導(dǎo)出基于級比優(yōu)化的廣義GM(1,1)預(yù)測模型；謝乃明[6]從GM(1,1)模型的離散形式到白化形式的轉(zhuǎn)變，以及GM(1,1)模型預(yù)測穩(wěn)定性問題為出發(fā)點(diǎn)，提出了能完全擬合指數(shù)序列的離散GM(1,1)預(yù)測模型.

對中國土地輪耕對糧食安全影響的問題，從統(tǒng)計(jì)的角度分析并建立數(shù)學(xué)模型求解.一是通過2016年至2018年土地輪耕數(shù)據(jù)分析，建立樣本回歸模型，以此來預(yù)測總體回歸模型，從而計(jì)算輪耕影響糧食產(chǎn)量達(dá)到5%時(shí)，中央財(cái)政預(yù)計(jì)需要安排的專項(xiàng)補(bǔ)貼資金；二是對于影響因素，建立了灰色預(yù)測模型，并建立常微分方程，來預(yù)測在國家糧食安全保障的基礎(chǔ)之下，2023年后我國可輪耕土地面積；三是兼顧國家財(cái)政的收入和投入，擬合財(cái)政收入與輪耕面積的曲線圖，從而預(yù)測我國5年后每年的土地輪耕面積，以及相應(yīng)的國家財(cái)政投入.

1 土地輪耕數(shù)學(xué)模型

1.1 有關(guān)條件

1) 假設(shè)搜索的數(shù)據(jù)、資料具有代表性，且真實(shí)可靠；

2) 假設(shè)糧食總產(chǎn)量主要受問題中七個(gè)因素的影響，其他因素的影響忽略不計(jì)；

3) 假設(shè)在預(yù)測過程中不考慮自然因素對糧食產(chǎn)量的影響；

4) 假設(shè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的年限內(nèi)沒有特大自然災(zāi)害；

5) 假設(shè)土地輪耕發(fā)展的各因素限定,且不會互相影響.

1.2 符號說明

A(t)表示糧食的需求量，B(t)表示糧食的消費(fèi)量，Y(t)表示糧食的生產(chǎn)量，F(xiàn)表示由地少缺水、城市化建設(shè)引起的糧食需求量，I表示由農(nóng)村貧困人口及2億糧食不能自給的因素引起的需求量，L表示生產(chǎn)水平的變化率與需求量和生產(chǎn)水平差的比例系數(shù)，k表示消費(fèi)系數(shù)，a表示常數(shù)，s表示積累系數(shù)，m表示常數(shù)，α表示式子中的代表量，β表示式子中的代表量.

1.3 模型的建立

對于建立樣本回歸模型.現(xiàn)實(shí)問題的研究中，往往難以掌握研究對象的全部資料，因此，總體回歸模型是未知的，從而在回歸分析中，需要通過樣本資料來估計(jì)總體模型的參數(shù).根據(jù)樣本數(shù)據(jù)建立的回歸模型為樣本回歸模型，一般表述如下：

建立灰色預(yù)測模型.灰色預(yù)測是對既含有已知信息又含有不確定信息的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)則，就是對在一定范圍內(nèi)變化的、與時(shí)間有關(guān)的灰色過程進(jìn)行預(yù)測.它通過鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢的相異程度，即進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析，并對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行生成處理來尋找系統(tǒng)變動的規(guī)律，生成有較強(qiáng)規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列，然后建立相應(yīng)的微分方程模型，從而預(yù)測事物未來發(fā)展趨勢的狀況.灰色預(yù)測法用等時(shí)距觀測到的反映預(yù)測對象特征的一系列數(shù)量值構(gòu)造灰色預(yù)測模型，預(yù)測未來某一時(shí)刻的特征量，或達(dá)到某一特征量的時(shí)間.其模型建立如下：

設(shè)原始數(shù)據(jù)為：

x(0)=x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n);

其一次累加生成數(shù)列為：

x(1)=x(1)(1)，x(1)(2)，…,x(1)(n)；

定義x(1)的灰導(dǎo)數(shù)為：

d(k)=x(0)(k)=x(1)(k)-x(1)(k-1).

令z(1)為數(shù)列的鄰值生成數(shù)列，即：

z(1)(k)=αx(1)+(1-α)x(1)(k-1).

于是定義灰色預(yù)測模型的常微分方程為：

d(k)=αz(1)(k)=b,

x(0)(k)+αz(1)(k)=b.

將時(shí)刻表k=2,3,…,n代入有

引入矩陣向量：

所以灰色預(yù)測模型可表示為：Y=Bu.

2 數(shù)學(xué)模型的求解和分析

2.1 樣本回歸模型的求解

2017年影響糧食產(chǎn)量近80億斤，相當(dāng)于整個(gè)糧食年產(chǎn)量的0.6%，由這兩個(gè)數(shù)據(jù)可以計(jì)算出糧食年產(chǎn)量為13 333.33億斤，當(dāng)輪耕影響糧食產(chǎn)量達(dá)到5%時(shí)，則可以得到影響糧食產(chǎn)量為666.67億斤.設(shè)輪耕面積為x，中央政府補(bǔ)貼資金為y.

根據(jù)2016—2017年國家統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，以及上述計(jì)算出的數(shù)據(jù)，以輪耕面積為x軸,中央政府補(bǔ)貼資金為y軸，得到如下散點(diǎn)圖：

由圖1中得出樣本回歸模型的表達(dá)式為：

y= 0.02x+ 1.837 1.

(1)

由輪耕面積和輪耕影響的糧食產(chǎn)量得到方程式為：

666.67=0.137x-84.384.

(2)

將(2)中計(jì)算出的x值帶入(1)中的樣本回歸模型的表達(dá)式中得到，如果輪耕影響糧食產(chǎn)量達(dá)到5%時(shí)，中央財(cái)政預(yù)計(jì)需要安排的專項(xiàng)補(bǔ)貼資金111.479 5億元.

2.2 灰色預(yù)測模型的求解

土地輪耕的影響因素有國家財(cái)政收入、國家人口數(shù)量、人均糧食需求、工業(yè)糧食需求、糧食產(chǎn)量、耕地面積變化、天氣氣候等，類比國民經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型，列出求解糧食總產(chǎn)量的常微分方程：

A(t)=B(t)+I+F.

B=kYdY/dt=L(A-Y)，積累系數(shù)

A=(L-s)Y+I+F,即

dY/dt+LsY=L(I+F),

Y″+LsY′=LI′,

Y″+(Ls-Lma)Y′+LmI=0，

I=Y′/L+sY-F，

Y″+(Ls+m-Lma)Y′+sLmY=LmF.

在此引入代表量

α=Ls+m-Lma，

β=sLm，

Y″+αY′+βY′=LmF.

這是一個(gè)關(guān)于糧食生產(chǎn)總量的二階常系數(shù)微分方程，其α、β、L、m、F及、初始條件、Y′(0)均可由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到，得到方程可解，其特征根為：

μ1=(-α+(α2-4β)1/2)/2,

μ2=(-α-(α2-4β)1/2)/2.

經(jīng)驗(yàn)算可知F/s為方程的一個(gè)特解，對根的幾種情況進(jìn)行討論:

1) 當(dāng)α2>4β時(shí)，μ1、μ2均為實(shí)數(shù)，通解為

Y(t)=φeμ1t+ωeμ2t+F/s.

2) 當(dāng)時(shí)α2<4β，μ1=μ2=-α/2，通解為

Y(t)=(φ+ωt)e2(μi)+F/s.

Y(t)=heμtsin(vt+w)+F/s.

根據(jù)上述得到的數(shù)學(xué)模型，查閱資料，并從總體上看糧食供需矛盾，分析得到供需預(yù)測表(表1).

表1 人口、糧食產(chǎn)量及需求預(yù)測表

注：人口從2010年后按0.6%增長測算，糧食產(chǎn)量從2010以后各年增幅按16測算；糧食需求:口糧農(nóng)村年均減速1.4%測算，城鎮(zhèn)按增幅2.1%測算；工業(yè)用糧從2010年后按3%增速計(jì)算；飼料用糧按肉、蛋、奶、魚產(chǎn)量乘以肉1.8、蛋1.7、奶0.4、魚0.8系數(shù)求得.改革開放30年飼料用糧年均增幅為5%，以后各年按增2%測算，種子按產(chǎn)量3x計(jì)算；周轉(zhuǎn)糧即庫存按消費(fèi)量的20%計(jì)算，從表上可以看出2010年糧食缺口達(dá)759萬t，占需求量的1.3%.若今后20年產(chǎn)量按1%增長，糧食缺口將逐步擴(kuò)大，到2020年缺口達(dá)1 990萬t，2025年缺口增加到3 170萬t，比重上升到4.8%.

經(jīng)查閱計(jì)算得到城市化水平每提高1%，耕地面積減少0.51%，糧食總產(chǎn)量減少1.16%，綜合影響因素引起的糧食需求量是87 136萬噸.

L=0.291，s=0.019，m=1，a=0.8,

a=Ls+m-l，ma=0.773，B=Lsm=0.005 46.

特征根μ1=0.007，μ2=-0.78，由Matlab解微分方程得出解為

Y(t)=φeμ1t+ωeμ2t+F/s,

Y(t)=351 528.9e(0.007t)+47 602.9e(-0.78t)-348 500.

方程的初始條件從2010年開始作為第0年，所以當(dāng)t為9、10、11、12、13時(shí)即代表2019, 2020，2021，2022，2023年的糧食總產(chǎn)量.

預(yù)測出總產(chǎn)量如表2所示.

表2 糧食總產(chǎn)量預(yù)測表

利用散點(diǎn)圖擬合出線性曲線，從而利用線性方程計(jì)算出預(yù)測值.

糧食單位面積散點(diǎn)圖(圖2)為：

耕地面積散點(diǎn)圖(圖3)為：

用逐差法求得糧食單位面積產(chǎn)量、耕地面積平均每年的增長量，就是線性方程的斜率，即分別求得糧食單位面積產(chǎn)量、耕地面積的線性方程為：

y=2.13x-3 929.3,

y=-0.01x+40.4,

其中x表示年份，y表示因變量.

預(yù)測數(shù)據(jù)如表3所示.

表3 糧食單位面積產(chǎn)量、耕地面積預(yù)測數(shù)據(jù)表

然后，擬合預(yù)測出的總產(chǎn)量與輪耕面積的散點(diǎn)圖(圖4)為：

得到總產(chǎn)量與輪耕面積的線性方程為：

y=1.875 9x-114 862.

最后，得出在國家糧食安全保障的基礎(chǔ)下我國5年后可輪耕土地面積為6 286.909萬畝.

為了進(jìn)一步求解研究內(nèi)容提出的問題，搜索數(shù)據(jù)得到表4所示.

表4 輪耕面積、財(cái)政收入與投入數(shù)據(jù)表

擬合財(cái)政收入和財(cái)政投入的線性曲線圖：

擬合財(cái)政投入和輪耕面積的線性曲線圖(圖6).

根據(jù)財(cái)政收入和財(cái)政投入、財(cái)政投入和輪耕面積兩組數(shù)據(jù)的擬合，得到如下線性方程：

y=0.002 5x-170.89,

y=49.915x-91.499.

由上述線性方程預(yù)測出我國五年后每年的土地輪耕面積，以及每年國家財(cái)政的投入數(shù)據(jù)表(表5).

表5 預(yù)測數(shù)據(jù)表

3 模型檢驗(yàn)

3.1 樣本回歸模型的檢驗(yàn)

表6 樣本回歸模型的檢驗(yàn)結(jié)果

表7 方差分析

關(guān)于樣本回歸模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，從回歸統(tǒng)計(jì)輸出結(jié)果可知，可決系數(shù)RSquare為0.999 824，調(diào)整后的可決系數(shù)也約為0.999 648，說明樣本回歸模型的方程擬合效果很好，表明我國土地輪耕的面積的增長中，99.9%是由于中央政府補(bǔ)貼資金的拉動作用.

關(guān)于回歸方程的顯著性檢驗(yàn)，從方差分析輸出結(jié)果可知，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量的P值為0.008 445 853，顯然小于顯著性水平0.05(置信度默認(rèn)為95%)，所以該樣本回歸模型的方程顯著，因此中央政府補(bǔ)貼資金對土地輪耕面積有顯著影響.

3.2 灰色預(yù)測模型的檢驗(yàn)

預(yù)測數(shù)據(jù)為：

G1=20.21、20.20、20.19、20.18、20.17，

G2=90 222、95 364、100 799、106 544、112 671，

G3=54.665、67.520、81.108、95.470、110.652，

G4=2 637.104、3 278.762、3 956.982、4 673.886、5 431.721.

其中，G1表示5年后我國可輪耕土地面積；G2表示至2023年每年中央財(cái)政收入；G3表示至2023年每年中央財(cái)政的投入；G4表示至2023年每年的土地輪耕面積.

相對殘差Q檢驗(yàn)：Q1=0.005，Q2=0.076，Q3=0.081，Q4=0.004，相對殘差的平均值為0.041 5，4.15%小于5%，因此模型建立較好，預(yù)測結(jié)果精度高.

小誤差概率P檢驗(yàn)：P1 =0，P2 =0.2，P3 =0.1，P4 =0.15，小誤差概率都小于1，模型的誤差很小，充分說明模型精度較高.

3.3 模型結(jié)果分析

采用樣本回歸模型，用已知的數(shù)據(jù)分析出樣本線性回歸方程，以此來表示總體的回歸模型，從而計(jì)算出當(dāng)輪耕影響糧食產(chǎn)量達(dá)到5%時(shí)，中央財(cái)政預(yù)計(jì)需要安排的專項(xiàng)補(bǔ)貼資金.并且通過函數(shù)、數(shù)組、回歸分析工具等方法的檢驗(yàn)，得出模型能較好的對研究內(nèi)容進(jìn)行預(yù)測和計(jì)算.

灰色預(yù)測模型的建立使其問題簡單化，且該算法需要的信息少且通用性強(qiáng).本題中我們通過對2013—2017年短期內(nèi)每年的主要糧食產(chǎn)量做出預(yù)測.觀察實(shí)際值與觀測值的相對誤差，預(yù)測出未來5年的主要糧食產(chǎn)量，從而預(yù)測出未來5年我國土地的輪耕面積.通過模擬預(yù)測檢驗(yàn)，得到灰色模型的預(yù)測結(jié)果具有一定的可靠性.

運(yùn)用線性回歸分析，擬合出數(shù)據(jù)之間的曲線圖，從而得到線性回歸方程，以此來預(yù)測出至2023年我國每年的土地輪耕面積，以及每年國家財(cái)政的投入.

4 結(jié)語

回歸模型是一種預(yù)測性的建模技術(shù)，它研究的是因變量(目標(biāo))和自變量(預(yù)測器)之間的關(guān)系.這種技術(shù)通常用于預(yù)測分析，時(shí)間序列模型以及發(fā)現(xiàn)變量之間的因果關(guān)系.回歸模型重要的基礎(chǔ)或者方法就是回歸分析，回歸分析是研究一個(gè)變量(被解釋變量)關(guān)于另一個(gè)(些)變量(解釋變量)的具體依賴關(guān)系的計(jì)算方法和理論，是建模和分析數(shù)據(jù)的重要工具.在這里，我們使用曲線或線來擬合這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，在這種方式下，從曲線或線到數(shù)據(jù)點(diǎn)的距離差異最小.

在不確定性和貧信息性系統(tǒng)的問題領(lǐng)域中,灰色系統(tǒng)理論具有十分廣闊的發(fā)展前景.灰色預(yù)測法的基本思想是通過鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢的相異程度，既進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析，并對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行生成處理來尋找系統(tǒng)變動的規(guī)律，生成有較強(qiáng)規(guī)律性的數(shù)據(jù)系列,然后建立相應(yīng)的灰色預(yù)測模型.可廣泛的應(yīng)用于社會科學(xué)，自然科學(xué)領(lǐng)域，系統(tǒng)地分析、建模、預(yù)測、決策的問題中.因此灰色預(yù)測模型能夠運(yùn)用到養(yǎng)殖業(yè)、種植業(yè)、水產(chǎn)業(yè)等相關(guān)產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)品產(chǎn)量的分析預(yù)測.