類(lèi)比思想巧解大學(xué)物理問(wèn)題

樊炎曦 趙嵐月 葉雅婧 葉晴瑩,2

(1. 福建師范大學(xué)物理與能源學(xué)院;福建 福州 350117； 2. 福建省量子調(diào)控與新能源材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 福州 350117)

高中物理的學(xué)習(xí)中,方法很重要,這些方法可能就隱藏在各個(gè)學(xué)科之中,需要我們善于發(fā)現(xiàn)并加以利用. 運(yùn)用類(lèi)比推理法能很好地解決某些物理解題.這些難題可能超出所學(xué)知識(shí)范圍,但所運(yùn)用的思想方法并不陌生.筆者將根據(jù)高中所學(xué)知識(shí)，運(yùn)用類(lèi)比推理的方法解答一道大學(xué)物理中變力做功問(wèn)題,例題如下.

圖1

例1.如圖1,在動(dòng)摩擦因數(shù)為μ的桌面上放置一根柔軟的鏈條,長(zhǎng)度為L(zhǎng),將鏈條推出,使其垂直懸掛部分長(zhǎng)度為a并由靜止開(kāi)始下落,求鏈條恰好離開(kāi)桌面時(shí)的速度.

此題難點(diǎn)在于鏈條所受的摩擦力和重力分別由于鏈條與桌面間的正壓力和豎直端鏈條質(zhì)量隨著鏈條下降的高度變化而變化. 假設(shè)鏈條單位長(zhǎng)度質(zhì)量為λ.

若運(yùn)用大學(xué)物理知識(shí),解法如下.

如圖1建立坐標(biāo)系,假設(shè)鏈條垂下部分長(zhǎng)度為x.鏈條所受重力為G=λgx.(x為豎直垂下部分鏈條長(zhǎng)度)鏈條所受滑動(dòng)摩擦力:f=μλg(L-x).由牛頓第二定律有

F=G-f=λgx-μλg(L-x)=ma，

(1)

其中

(2)

聯(lián)立(1)(2)式得

[λgx-μλg(L-x)]dx=λLvdv.

兩邊同時(shí)積分

解得

這種方法需要用到高等數(shù)學(xué)微積分的方法. 我們也可以根據(jù)高中物理所學(xué)知識(shí)試分析一下.

由(1)式可知鏈條所受的合力并非恒力. 將系統(tǒng)所做的功分為重力功WG與摩擦力做功Wf. 重力為保守力,做功只與豎直懸掛鏈條始末狀態(tài)有關(guān),則不難求解.

考慮到鏈條所受摩擦力:

f=μλg(L-x)=μλgL-μλgx=f1+f2，

解法如下.

如圖1:對(duì)于重力做功,只需考慮豎直鏈條始末狀態(tài). 以桌面所在水平面為零勢(shì)能面,則鏈條初始狀態(tài)重力勢(shì)能:

(3)

末狀態(tài)重力勢(shì)能:

(4)

聯(lián)立(3)(4)式可得

WG=-ΔEp=(Ep1-Ep0)=

(5)

鏈條受到的摩擦力:

f=μλgL-μλgx=f1+f2.

對(duì)于恒力f1有:

Wf1=f1Δx=μλgL(L-a).

(6)

對(duì)于變力f2,類(lèi)比于彈性力:

f2=-μλgx=-kx，其中k=μλg.

其初始位置具有的“勢(shì)能”:

末位置具有的“勢(shì)能”:

則

Wf2=-ΔEp=-(Ep1-Ep0)=

(7)

聯(lián)立(6)(7)式可得此過(guò)程摩擦力做功為

Wf=Wf1+Wf2=μλgL(L-a)-

(8)

聯(lián)立(5)(8) 式,由動(dòng)能定理:

得

此類(lèi)變力做功的問(wèn)題,雖在高中物理課程中并未涉及,但我們根據(jù)類(lèi)比方法,可以解決此類(lèi)變力做功的問(wèn)題.