基于靈敏度分析的區(qū)間不確定性穩(wěn)健設(shè)計(jì)

許煥衛(wèi) 李沐峰 王 鑫 胡 聰 張遂川

電子科技大學(xué)機(jī)械與電氣工程學(xué)院，成都，611731

0 引言

在工程實(shí)際中，復(fù)雜技術(shù)裝備在設(shè)計(jì)和優(yōu)化時(shí)，目標(biāo)函數(shù)和約束條件通常都不是線性的。更為困難的是，一些信息通常情況下是匱乏的、不確定和不精確的，如溫度、應(yīng)力、零件形狀尺寸、操作方式和運(yùn)行軌跡等的變化，以及建立數(shù)學(xué)模型時(shí)由于認(rèn)知所限帶來的誤差等。這些不定因素的存在往往導(dǎo)致復(fù)雜技術(shù)裝備的性能對(duì)不確定因素更加敏感，性能波動(dòng)幾率大大增加，進(jìn)而影響產(chǎn)品的質(zhì)量。另外，在設(shè)計(jì)和優(yōu)化的過程中往往涉及多種因素，如果全部考慮，不僅會(huì)使問題復(fù)雜化，還會(huì)浪費(fèi)大量資源。由此，有必要篩選出對(duì)產(chǎn)品性能影響較大的因素著重考慮，同時(shí)適當(dāng)忽略影響較小因素的不確定性。

穩(wěn)健設(shè)計(jì)理論因具有抗干擾的屬性，現(xiàn)已被廣泛地應(yīng)用在各領(lǐng)域中[1-3]。穩(wěn)健優(yōu)化主要包括兩大類：第一類是概率穩(wěn)健優(yōu)化，該類方法需知道輸入?yún)?shù)的概率分布，概率穩(wěn)健優(yōu)化被應(yīng)用到可靠性優(yōu)化[4]、協(xié)同優(yōu)化[5]、分析目標(biāo)級(jí)聯(lián)(ATC)策略中[6]，然而，這些穩(wěn)健設(shè)計(jì)優(yōu)化僅適用于有連續(xù)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的單目標(biāo)優(yōu)化問題，且往往是一種特定的情形，如文獻(xiàn)[6-9]；第二類是以區(qū)間分析方法為主的非概率穩(wěn)健優(yōu)化[10-13]，因其只需獲得輸入?yún)?shù)的取值區(qū)間，而無需確切的分布，故區(qū)間分析有很強(qiáng)的適用性。

靈敏度分析[14](sensitivity analysis，SA)的最終目標(biāo)是識(shí)別輸入的可變性對(duì)輸出變異性的貢獻(xiàn)。阮文斌等[15]將基于方差和基于失效概率的全局靈敏度分析方法用到復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中，成功分析了隨機(jī)輸入變量對(duì)復(fù)合材料模型輸出響應(yīng)量(最大位移和臨界強(qiáng)度比方差)的貢獻(xiàn)大小以及對(duì)兩個(gè)響應(yīng)失效概率的影響；張義民等[16]提出了單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的可靠性靈敏度分析方法，放松了對(duì)隨機(jī)參數(shù)的分布類型和激勵(lì)類型的限制；CANNAV[17]在總結(jié)現(xiàn)有靈敏度分析方法的基礎(chǔ)上提出了一種基于靈敏度的模型選擇準(zhǔn)則，并將該準(zhǔn)則成功應(yīng)用到火山源模型的量化擬合中；HAMEL等[18]提出了一種基于多目標(biāo)的區(qū)間不確定下靈敏度分析的改進(jìn)設(shè)計(jì)方法，可以在確保可行性的條件下對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行輕微調(diào)整；邱志平等[19]利用區(qū)間擴(kuò)張理論及其性質(zhì)定義了結(jié)構(gòu)區(qū)間的相對(duì)和絕對(duì)靈敏度，可在不求導(dǎo)的條件下通過區(qū)間運(yùn)算求得變量靈敏度值，降低了靈敏度求解難度。

由上述可以看出，靈敏度分析被廣泛地應(yīng)用到各領(lǐng)域中，但是傳統(tǒng)靈敏度分析的精確度依賴于數(shù)據(jù)的完整程度。本文為解決產(chǎn)品優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中信息少、涉及因素多等難點(diǎn)，利用穩(wěn)健設(shè)計(jì)及靈敏度分析和區(qū)間不確定理論的優(yōu)越性，提出基于靈敏度分析的區(qū)間不確定性穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法。該方法的優(yōu)勢(shì)在于：不僅能在設(shè)計(jì)之初篩選出對(duì)產(chǎn)品性能影響較大的因素，而且還可以選擇性地忽略影響較小因素的不確定性，進(jìn)而取得性能函數(shù)穩(wěn)健的效果。

1 靈敏度分析

靈敏度分析[20-21]能夠反映某一或某幾個(gè)參數(shù)變化或外界噪聲對(duì)系統(tǒng)輸出的影響程度。

1.1 全局靈敏度分析——Sobol’法

全局靈敏度分析就是綜合考慮輸入變量對(duì)性能函數(shù)的整體影響，進(jìn)而掌握非單調(diào)、非線性、非疊加的性能函數(shù)整體特性。在全局靈敏度分析方法中，Sobol’法[22]是目前常用的方法。設(shè)空間單元體為Ω(k)，輸入為k維，表示為

Ω(k)={x|0≤xi≤1;i=1,2,…,k}

(1)

Sobol’法的關(guān)鍵步驟在于將性能函數(shù)f(x)準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為

(2)

式(2)中共有2k個(gè)子項(xiàng)，采用多重積分進(jìn)行分解。式(2)中，f0是常數(shù)，其余各項(xiàng)對(duì)其所包含的每一個(gè)因素的積分為0，即

(3)

式(3)的各個(gè)子項(xiàng)彼此正交，即

(4)

式(2)中的分解唯一，且各階子項(xiàng)均可通過多重積分運(yùn)算得到，即

(5)

式中，x-i為去除xi之后的其他變量；x-(ij)為去除xi和xj之后的其他變量。

同樣可類比得到其他高階子項(xiàng)。從而模型f(x)的總方差為

(6)

則式(2)中的各階偏方差可表示為

(7)

i1,i2,…,is=1,2，…,k

對(duì)式(2)在整個(gè)Ω(k)域先平方后積分，再結(jié)合式(4)可得

(8)

那么s階的靈敏度為

(9)

此處Si是因素xi的一階靈敏度系數(shù)，反映了因素xi對(duì)性能函數(shù)f(x)的主要影響程度，Sij(i≠j)為二階靈敏度系數(shù)，用來表述兩參數(shù)交叉對(duì)性能函數(shù)的共同影響程度。依此類推，S1,2,…,k反映了k個(gè)因素之間的彼此交叉影響。

總效應(yīng)指數(shù)是指因素xi對(duì)性能函數(shù)f(x)整體影響程度，常用來評(píng)價(jià)單個(gè)參數(shù)對(duì)性能函數(shù)的全部影響。

由式(8)可知

(10)

1.2 Sobol’ 法計(jì)算簡化公式

Sobol’法概念雖然簡單，但求解卻十分困難，因此可由蒙特卡羅積分法進(jìn)行化簡，則式(6)、式(7)中的f0、D及Di，可簡化為

(11)

x(-i)m={x1m,x2m,…,x(i-1)m,x(i+1)m,…,xkm}

(12)

式中，n為蒙特卡羅估計(jì)的采樣數(shù)；xm為Ω(k)空間的采樣點(diǎn)；上標(biāo)(1)、(2)代表x的兩個(gè)n×k維采樣數(shù)據(jù)。

2 不確定性分析

工程實(shí)際中各種不確定性因素的變化將導(dǎo)致復(fù)雜技術(shù)裝備的性能不穩(wěn)定，甚至?xí)?dǎo)致重大的損失。傳統(tǒng)方法通過提高制造精度等手段來保證產(chǎn)品質(zhì)量，但因代價(jià)過大往往不可取。不確定性優(yōu)化方法主要有隨機(jī)規(guī)劃[23]和模糊規(guī)劃[24]兩類，然而，在實(shí)際應(yīng)用中，由于信息不完整使得這兩類方法有較大的局限性。區(qū)間數(shù)優(yōu)化因其所需信息少，操作便捷，故與工程實(shí)際有優(yōu)良的匹配性，成為一種新的不確定性工程優(yōu)化方法。

2.1 區(qū)間不確定性分析

根據(jù)區(qū)間分析[25]，區(qū)間模型可以定義為

AI=[AL,AR]={x|AL≤x≤AR,x∈R}

(13)

式中，上標(biāo)L、R 、I分別表示區(qū)間下界、區(qū)間上界、區(qū)間,當(dāng)AL=AR時(shí)，區(qū)間退化為一實(shí)數(shù)a。

區(qū)間還可定義如下：

AI=〈Ac,Aw〉={x|Ac-Aw≤x≤Ac+Aw}

(14)

其中，Ac和Aw分別為區(qū)間AI的中點(diǎn)和半徑，它們的關(guān)系如圖1所示。

圖1 區(qū)間的幾何描述Fig.1 The geometric description of interval

定義γ(AI)為區(qū)間AI的不確定性水平，表達(dá)式為[26]

(15)

2.2 區(qū)間可能度及區(qū)間可能度轉(zhuǎn)換模型

因區(qū)間表示的是一個(gè)范圍，因此需要進(jìn)行相應(yīng)轉(zhuǎn)換以判斷大小及優(yōu)劣。文獻(xiàn)[27]給出了一種區(qū)間可能度關(guān)系的計(jì)算式：

P(AI≤BI)=

(16)

在區(qū)間BI退化為一實(shí)數(shù)b的情況下，有如下新的可能度關(guān)系：

(17)

同理,當(dāng)區(qū)間AI退化為一實(shí)數(shù)a時(shí)，有如下可能度關(guān)系：

(18)

圖2、圖3、圖4分別為式(16)、式(17)、式(18)所對(duì)應(yīng)的幾何描述。

圖2 區(qū)間AI和區(qū)間BI所有可能的位置關(guān)系Fig.2 All possible position relationships of interval AI and BI

圖3 區(qū)間AI和實(shí)數(shù)b可能的位置關(guān)系Fig.3 The possible position relation of interval AI and real b

圖4 實(shí)數(shù)a和區(qū)間BI和可能的位置關(guān)系Fig.4 The possible position relation of real a and interval BI

兩個(gè)區(qū)間的位置關(guān)系確定后，基于區(qū)間可能度的確定性優(yōu)化模型為[27]

(19)

(20)

上述穩(wěn)健模型可以保證在絕對(duì)滿足fI(X)≤VI的情況下，找到不確定因素對(duì)目標(biāo)函數(shù)影響最小、性能最穩(wěn)健、可靠的優(yōu)化設(shè)計(jì)解。

3 區(qū)間不確定性穩(wěn)健設(shè)計(jì)

當(dāng)前的工程問題日趨復(fù)雜，通常需考慮眾多因素，且已知的設(shè)計(jì)信息較少。這種情況下，傳統(tǒng)優(yōu)化方法因考慮太多因素而導(dǎo)致計(jì)算繁雜且效率不高。本文通過整合全局靈敏度分析、不確定分析、穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法，構(gòu)造了基于靈敏度分析的區(qū)間不確定性穩(wěn)健設(shè)計(jì)框架。具體步驟如下：

(1)根據(jù)設(shè)計(jì)信息建立傳統(tǒng)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

(2)對(duì)目標(biāo)函數(shù)f(X)和重要的約束條件g(X)運(yùn)用Sobol’理論進(jìn)行靈敏度分析，求出第i個(gè)設(shè)計(jì)變量xi對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)和重要約束條件的靈敏度值Si。

(3)若Si≤ε(ε值根據(jù)實(shí)際工程需要而定)，則對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)變量xi可設(shè)置為常數(shù)a，否則對(duì)其進(jìn)行區(qū)間分析，確定其取值區(qū)間AI，令xi=AI。

(4)利用區(qū)間分析改進(jìn)常規(guī)優(yōu)化模型，利用式(20)建立區(qū)間可能度穩(wěn)健設(shè)計(jì)模型，從而達(dá)到魯棒效果，采用雙層嵌套理論[27]求解所建立的區(qū)間可能度模型。

(5)判斷得到的穩(wěn)健解，如滿足目標(biāo)函數(shù)輸出區(qū)間與理想值之間的最大誤差δ<0.1的條件，則程序結(jié)束，否則返回步驟(3)重新分析不靈敏項(xiàng)。

該框架可以有效解決靈敏度分析中對(duì)隨機(jī)變量信息完整度的高要求問題，又可以在區(qū)間不確定分析中，降低影響較大因素因波動(dòng)太大造成的影響。該優(yōu)化框架可以避開影響較小因素的干擾，重點(diǎn)考慮影響較大的因素，有效降低設(shè)計(jì)變量維度，因此能夠大大降低模型復(fù)雜度，有效縮短計(jì)算時(shí)間。另外，因?yàn)樵撃Ｐ妥罱K輸出為一功能區(qū)間，因此還可以在乏信息、乏數(shù)據(jù)的產(chǎn)品設(shè)計(jì)初期當(dāng)做預(yù)測模型來預(yù)測產(chǎn)品的性能，為進(jìn)一步地優(yōu)化提供參考。圖5為基于靈敏度分析的區(qū)間不確定性穩(wěn)健設(shè)計(jì)框架及求解流程圖。

圖5 流程圖Fig.5 The flow chart

4 工程實(shí)例

該工程實(shí)例來源于文獻(xiàn)[28]，設(shè)計(jì)車輛的某型轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)，示意圖見圖6。各設(shè)計(jì)變量相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布。設(shè)計(jì)變量為軸距L、主銷中心距B、轉(zhuǎn)向梯形臂長l、梯形底角θ。不確定參數(shù)為運(yùn)動(dòng)副間隙r1～r4。運(yùn)動(dòng)副間隙r1～r4在相應(yīng)區(qū)間上相互獨(dú)立且正態(tài)分布。相關(guān)設(shè)計(jì)信息如表1所示。

圖6 考慮間隙的汽車轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)示意圖Fig.6 Steering Trapezoidal Structure Considering Motion Pair Clearance表1 設(shè)計(jì)信息Tab.1 Design information

設(shè)計(jì)變量L(m)B(m)l(m)θ(°)標(biāo)準(zhǔn)差σ0.020.010.010.05均值μ3.652.30.2567不確定參數(shù)r1(mm)r2(mm)r3(mm)r4(mm)變化區(qū)間(0.5,1.5)(0.2,0.8)(0.5,1.5)(0.2,0.8)

根據(jù)相關(guān)設(shè)計(jì)要求,各個(gè)設(shè)計(jì)變量的邊界約束條件為：3.5 m≤L≤3.7 m，2.2 m≤B≤2.5 m， 0.125 m≤l≤0.5 m；根據(jù)設(shè)計(jì)信息可知，在整個(gè)轉(zhuǎn)向過程中轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)誤差不能超過3°，并將其設(shè)為極限函數(shù)，要求其可靠度R≥0.99。當(dāng)內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向輪的轉(zhuǎn)角為β(通常小于20°)時(shí)，外側(cè)車輪偏轉(zhuǎn)角

α0=f0(β)=arccot(cotβ+B/L)

(21)

根據(jù)圖6所示的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)，實(shí)際的外向車輪偏轉(zhuǎn)角

(22)

將各相鄰桿件間的配合間隙值代入式(22)，就可以得到實(shí)際的外向車輪偏轉(zhuǎn)角。

4.1 目標(biāo)函數(shù)確定

轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)向精度是衡量轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)性能好壞的一個(gè)重要指標(biāo)，本文將其作為目標(biāo)函數(shù)。在內(nèi)側(cè)車輪轉(zhuǎn)角β從最小角度0°轉(zhuǎn)到最大角度20°的過程中，外側(cè)車輪的理想轉(zhuǎn)向角與實(shí)際轉(zhuǎn)向角之間應(yīng)盡可能保持一致，即

(23)

式中，α0i為理論值。

在滿足設(shè)計(jì)要求的前提下，式(23)可以保證實(shí)際值的波動(dòng)在盡可能小的同時(shí)最接近目標(biāo)值，也就是保證目標(biāo)函數(shù)的方差和均值同時(shí)盡可能小。

4.2 重要約束條件

當(dāng)外側(cè)車輪的轉(zhuǎn)角誤差過大時(shí)，輪胎的磨損將加劇，為此有

g1(x,r)=|αi-α0i|≤3°

(24)

式中，x為設(shè)計(jì)變量；r為不確定性參數(shù)，體現(xiàn)在相應(yīng)的桿件中。

在轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)中，橫拉桿和轉(zhuǎn)向梯形臂之間的夾角是一個(gè)變化的值，該夾角的最小銳角被稱為最小傳動(dòng)角。最小傳動(dòng)角過大將會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的各個(gè)桿件之間出現(xiàn)“死點(diǎn)”， 最小傳動(dòng)角過小又會(huì)導(dǎo)致各個(gè)桿件受力過大，進(jìn)而對(duì)桿件的強(qiáng)度要求也會(huì)相應(yīng)提高，因此最小傳動(dòng)角的計(jì)算公式如下：

g2(x,r)=

(25)

其中，γmax為最大極限轉(zhuǎn)角。計(jì)算得到的最小傳動(dòng)角范圍為30°～50°。

轉(zhuǎn)向梯形角約束如下：

(26)

除上述3個(gè)約束外，還有設(shè)計(jì)變量及不確定性變量的邊界約束。

建立如下一般設(shè)計(jì)模型：

s.t.g2(x,r)-3°≤0

30°≤g2(x,r)≤50°

0°≤g3(x,r)≤5°

2.2 m≤B≤2.5 m 3.5 m≤L≤3.7 m

0.125 m≤l≤0.5 m

r1∈(0.000 5,0.001 5)mr2∈(0.000 2,0.000 8)m

r3∈(0.000 5,0.001 5)mr4∈(0.000 2,0.000 8)m

接著對(duì)目標(biāo)函數(shù)f(X)、重要約束條件g2進(jìn)行靈敏度分析(g1可包含在目標(biāo)函數(shù)中，g3涉及的參數(shù)過少不必進(jìn)行靈敏度分析),結(jié)果如表2所示。

表2 靈敏度分析Tab.2 Sensitivity analysis

綜合分析表2數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)ε=0.05時(shí)，對(duì)目標(biāo)函數(shù)而言，因SL+∑Sri=0.03，小于0.05，故在目標(biāo)函數(shù)中均可忽略其不確定性而設(shè)為常值；同理在約束函數(shù)g1中因SB+SL+∑Sri=0.025 6，小于0.05，則設(shè)計(jì)變量B、L及不確定因素r1～r4的不確定性均可忽略而設(shè)為常值。表中某些參數(shù)靈敏度值為0是因?yàn)槠渲堤《缓雎浴?/p>

利用區(qū)間分析對(duì)常規(guī)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型進(jìn)行改進(jìn)，可得如下基于靈敏度分析的區(qū)間不確定性穩(wěn)健設(shè)計(jì)模型：

s.t.P(g1(x,r)≤3°)≥0.99

P(g2(x,r)≥[30°,50°])≥0.9

P(g3(x,r)=[0°,5°])≥0.9

2.2 m≤B≤2.5 m 3.5 m≤L≤3.7 m

0.125 m≤l≤0.5 m

r1∈(0.000 5,0.001 5)mr2∈(0.000 2,0.000 8)m

r3∈(0.000 5,0.001 5)mr4∈(0.000 2,0.000 8)m

為檢驗(yàn)該模型可行性，設(shè)計(jì)兩套方案與文獻(xiàn)[28]所提方案及初始解做對(duì)比：方案一目標(biāo)函數(shù)和約束條件中L、r2、r4為定值，即設(shè)L=3.65 m，r2=r4=0.000 5 m；方案二目標(biāo)函數(shù)中L及不確定因素r1～r4均為定值，這里設(shè)L=3.65 m，r1=r3=0.001 m，r2=r4=0.000 5m。采用雙層嵌套理論及粒子群算法對(duì)本文實(shí)例取自于文獻(xiàn)[28]設(shè)計(jì)模型進(jìn)行求解，得到的優(yōu)化結(jié)果如表3所示。

4.3 結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文所提方法，將誤差考慮在內(nèi)，即將兩方案中非靈敏項(xiàng)變差的影響考慮在內(nèi)時(shí)，得到內(nèi)側(cè)角β變化時(shí)(0°～20°)相對(duì)應(yīng)的理論外側(cè)轉(zhuǎn)角α0、穩(wěn)健設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)角α及本文所求轉(zhuǎn)角區(qū)間，結(jié)果如表4所示。由表4可知，內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向角β從0°到20°變化的過程中，本文兩種方案結(jié)果均在理想值附近。比較這兩方案的最大誤差，δ1max=0.070、δ2max=0.074，均小于設(shè)定值0.1，因此模型的解是合理的；不確定性水平γ1max=0.004、γ2max=0.006，說明在去除了不靈敏項(xiàng)的變差影響后，運(yùn)用本文所提模型依然能夠得到高質(zhì)量解。對(duì)比兩方案的求解效率，方案一由于不考慮3個(gè)變量的不確定性，求解時(shí)間平均為6.37 s，而方案二去除了5個(gè)參數(shù)的不確定性，平均求解時(shí)間為5.25 s，縮短了13.34%，說明此模型可以在有效減小計(jì)算量、簡化模型復(fù)雜度的前提下提高效率；從解的質(zhì)量上看，所忽略變量的總靈敏度值小于規(guī)定值時(shí)，解的精度和穩(wěn)健性并不會(huì)由于舍棄這些參數(shù)而發(fā)生質(zhì)的變化。由此在兼顧計(jì)算效率和計(jì)算精度的前提下，可以綜合考慮工程需要與模型復(fù)雜度等因素選擇去除不靈敏變量的數(shù)量。此工程實(shí)例驗(yàn)證了本文所提方法的正確性，且作為一個(gè)預(yù)測模型是完全滿足實(shí)際工程要求的。

表3 優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Optimization results

表4 結(jié)果對(duì)比Tab.4 Result comparison

5 結(jié)論

(1)利用全局靈敏度分析——Sobol’法降低模型復(fù)雜度，利用區(qū)間可能度理論量化不確定因素，進(jìn)而建立了基于靈敏度分析的區(qū)間不確定性穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法。

(2)將本文所提方法應(yīng)用到汽車轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，通過兩種優(yōu)化結(jié)果的對(duì)比分析可知，所提方法在模型精確度、復(fù)雜度、穩(wěn)健性、求解效率等方面都具有一定的優(yōu)勢(shì)。由于最終給出的結(jié)果是一個(gè)功能輸出區(qū)間，故在乏信息、乏數(shù)據(jù)的條件下，該工程穩(wěn)健設(shè)計(jì)預(yù)測模型完全可以滿足工程實(shí)際，為設(shè)計(jì)人員后續(xù)的進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了參考。

(3)本文并沒有嚴(yán)格定義可以舍棄其不確定性的靈敏度范圍，也沒有嚴(yán)格從數(shù)學(xué)角度推導(dǎo)當(dāng)參數(shù)靈敏度很小時(shí)舍棄其不確定性的正確性，這些需要設(shè)計(jì)人員根據(jù)實(shí)際工程優(yōu)化的具體需求而定。