水文序列相依變異識(shí)別的RIC定階準(zhǔn)則
——以自回歸模型為例

李雅晴，謝 平，2，桑燕芳，陳 杰，趙羽西，吳林倩

（1. 武漢大學(xué)水資源與水電工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢 430072；2. 國(guó)家領(lǐng)土主權(quán)與海洋權(quán)益協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北武漢 430072；3. 中國(guó)科學(xué)院地理科學(xué)與資源研究所陸地水循環(huán)與地表過(guò)程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100101；4. 國(guó)家電網(wǎng)公司西南分部，四川成都 610000）

1 研究背景

水文時(shí)間序列分析是揭示和認(rèn)識(shí)水文過(guò)程變化特性的有效手段和重要途徑［1］。隨著全球氣候變化和人類(lèi)活動(dòng)影響的加劇，流域下墊面條件和水文過(guò)程的時(shí)空分配均受到顯著影響，用于水文分析計(jì)算的水文序列不再滿(mǎn)足一致性條件［2-4］。水文學(xué)上將這種水文序列的統(tǒng)計(jì)規(guī)律（包括分布形式和分布參數(shù)）在整個(gè)研究時(shí)間范圍內(nèi)發(fā)生顯著變化的現(xiàn)象稱(chēng)作水文變異［5］，其包括跳躍、趨勢(shì)、周期和相依等多種變異形式［6］。

國(guó)內(nèi)外大量觀測(cè)資料分析計(jì)算顯示，許多河流的年徑流序列存在相依性［7-8］，即發(fā)生了相依變異，表現(xiàn)為序列后一數(shù)據(jù)與緊鄰的前一（幾）數(shù)據(jù)具有成因、數(shù)值等方面的繼承性。水文過(guò)程的相依性會(huì)影響一系列水文分析計(jì)算工作。實(shí)際中，研究徑流序列相依性有助于分析流域植被覆蓋［9］、特殊生態(tài)環(huán)境［10］的影響；計(jì)算水庫(kù)多年調(diào)節(jié)庫(kù)容時(shí)需考慮年徑流的相依性以避免計(jì)算結(jié)果偏?。?1］；水文過(guò)程預(yù)測(cè)也需要考慮序列的相依性以保證預(yù)測(cè)結(jié)果的合理性［12-13］。利用隨機(jī)水文學(xué)的方法對(duì)跳躍、趨勢(shì)和周期等確定性成分進(jìn)行識(shí)別和分離后，若剩余序列不包含相依變異成分（即只含純隨機(jī)成分），因而滿(mǎn)足一致性計(jì)算條件，可使用統(tǒng)計(jì)水文方法進(jìn)行研究，例如水文頻率計(jì)算；若剩余序列含有相依變異成分，需利用回歸滑動(dòng)模型進(jìn)行研究［14］。

AR模型（即自回歸模型）是描述時(shí)間序列相依性的數(shù)學(xué)模型。自Maass［15］以及Yevjevich［16］將AR模型用于河流流量預(yù)報(bào)后，被廣泛用于水文水資源時(shí)間序列分析中。建立AR模型的過(guò)程包括確定模型階數(shù)、估計(jì)參數(shù)以及模型檢驗(yàn)等。通常在掌握大量觀測(cè)數(shù)據(jù)并進(jìn)行預(yù)處理后，需從樣本數(shù)據(jù)中估計(jì)模型參數(shù)，主要方法有矩估計(jì)（Yule-Walker方程）、最大似然估計(jì)和最小二乘估計(jì)等。關(guān)于模型定階的方法主要分為兩種途徑：（1）利用時(shí)間序列的自相關(guān)性，依據(jù)自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)的拖尾或截尾初步確定其階數(shù)，或采用奇異值分解（SVD）法、LD遞推法、Gram-Schmidt正交法等方法，但這些方法在計(jì)算時(shí)間和精度上難以?xún)扇?7］；（2）用模型擬合殘差或預(yù)測(cè)誤差作為定階依據(jù)，主要有F-檢驗(yàn)、FPE（Final Prediction Error）準(zhǔn)則、AIC準(zhǔn)則（Akaike Information Criterion）、BIC準(zhǔn)則（Bayesian Infor?mation Criterion）等。其中，F(xiàn)-檢驗(yàn)因存在人為選擇置信度，具有一定的主觀性；FPE 準(zhǔn)則僅適用于AR 模型定階［18］；AIC 準(zhǔn)則對(duì)于小樣本問(wèn)題往往會(huì)選擇較為復(fù)雜的模型，并且懲罰度較低［19］；BIC 準(zhǔn)則在小樣本定階時(shí)準(zhǔn)確率往往會(huì)受到影響［20］。此外，上述準(zhǔn)則只具備定階功能，關(guān)于模型檢驗(yàn)通常還需采用綜合自相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法或自相關(guān)分析法對(duì)擬合殘差εt進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，若εt是獨(dú)立的，則模型滿(mǎn)足要求。

由于水文序列的相關(guān)系數(shù)可以表示序列的相依變異程度［21］，而相關(guān)系數(shù)的均方誤σr可用于表示樣本相關(guān)系數(shù)的可靠性［22］，以及原始序列與相依變異成分的擬合誤差。此外，信息熵是研究水文水資源科學(xué)領(lǐng)域不確定性的有效工具，以信息熵理論為基礎(chǔ)可分析降雨-徑流關(guān)系［23］，揭示降水時(shí)空分布特征［24］，估計(jì)線(xiàn)性模型參數(shù)［25］等。其中，徐南榮等［26］提出基于信息熵的相關(guān)熵概念作為度量隨機(jī)變量與序列整體相關(guān)關(guān)系的指標(biāo)，用于自回歸滑動(dòng)平均模型（ARMA）的參數(shù)估計(jì)；曾金芳等［27］依據(jù)信息熵提出了一種曲線(xiàn)擬合辨識(shí)方法并驗(yàn)證了其適應(yīng)性。

本文依據(jù)相關(guān)系數(shù)可以度量相依成分的變異程度以及信息熵理論對(duì)序列不確定性的度量，提出一種水文序列相依變異的RIC定階準(zhǔn)則（R表示相關(guān)系數(shù)，IC表示Information Criterion）。該準(zhǔn)則的優(yōu)點(diǎn)是在定階的同時(shí)可進(jìn)行相依程度分級(jí)與獨(dú)立性檢驗(yàn)。通過(guò)公式推導(dǎo)說(shuō)明該準(zhǔn)則的理論依據(jù)，以一至四階自回歸模型為例，通過(guò)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)以驗(yàn)證RIC準(zhǔn)則的可行性，并與AIC、BIC準(zhǔn)則的定階準(zhǔn)確率進(jìn)行比較，最后利用實(shí)測(cè)序列進(jìn)行分析驗(yàn)證，說(shuō)明RIC準(zhǔn)則的適應(yīng)性與定階結(jié)果的合理性。

2 常用定階準(zhǔn)則

2.1 AIC 準(zhǔn)則AIC 準(zhǔn)則也稱(chēng)為最小信息準(zhǔn)則，由日本統(tǒng)計(jì)學(xué)家Akaike 于1973 年提出，是用于AR模型的定階理論［28］。隨后推廣到判斷ARMA模型的階數(shù)，并引申到時(shí)間序列混合回歸模型。AIC準(zhǔn)則是極大似然法和信息理論的結(jié)合，其中信息理論表現(xiàn)在Kullback-Leibler 相對(duì)熵的運(yùn)用，以對(duì)數(shù)似然比表示。當(dāng)模型用p個(gè)獨(dú)立參數(shù)來(lái)擬合數(shù)據(jù)時(shí)，其一般形式為：

對(duì)于AR模型，在最小二乘法估計(jì)誤差的情況下，AIC準(zhǔn)則的函數(shù)式可以寫(xiě)為［29］：

由式（2）可見(jiàn)，AIC準(zhǔn)則函數(shù)由兩項(xiàng)構(gòu)成，第一項(xiàng)為擬合誤差量，體現(xiàn)模型擬合的好壞，它隨著階數(shù)的增大而減小；第二項(xiàng)標(biāo)志了參數(shù)數(shù)目，因?yàn)閰?shù)過(guò)多意味著模型不確定性增加，因此視為懲罰項(xiàng)，隨著階數(shù)的增大而增大。這兩項(xiàng)的綜合使用使得AIC準(zhǔn)則函數(shù)值達(dá)到最小時(shí)的p值即為模型的理想階數(shù)。AIC準(zhǔn)則雖然為時(shí)序模型定階帶來(lái)了許多方便，但已有理論證明AIC準(zhǔn)則不能給出相容估計(jì)，并且一般所得模型階數(shù)總高于真值［30-31］。

2.2 BIC準(zhǔn)則當(dāng)樣本序列長(zhǎng)度n →∞時(shí)，采用AIC準(zhǔn)則確定的模型階數(shù)估計(jì)值并不能依概率收斂到真實(shí)值上，為了得到相容估計(jì)，Akaike［32］和Schwarz［33］等在AIC準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上根據(jù)貝葉斯原理提出了BIC準(zhǔn)則。BIC準(zhǔn)則函數(shù)的定義如下所示：

與AIC準(zhǔn)則相比，式（3）右邊的第二項(xiàng)lnn 代替了式（2）中對(duì)應(yīng)的系數(shù)2，仍由兩部分構(gòu)成。一般情況下lnn ＞＞2，因此對(duì)于同一序列進(jìn)行擬合時(shí)，AIC準(zhǔn)則達(dá)到極小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的階數(shù)往往比BIC準(zhǔn)則所定的階數(shù)要高。

3 RIC準(zhǔn)則原理

研究水文序列的相依變異特性時(shí)，需要首先判斷并去除水文序列中的確定性成分，然后通過(guò)序列獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷剩余成分中是否含有相依成分，對(duì)含有相依成分的序列除了建立合適的擬合模型外，還需要對(duì)相依程度進(jìn)行判斷。AIC準(zhǔn)則與BIC準(zhǔn)則雖然均能確定模型的階數(shù)用以建模，但不能判斷模擬序列相依變異的程度，也不能檢驗(yàn)（殘差）序列的獨(dú)立性。為克服這些準(zhǔn)則存在的局限性，本文提出針對(duì)水文相依變異識(shí)別更為完善的RIC準(zhǔn)則。

采用適當(dāng)方法去除跳躍、趨勢(shì)和周期等確定性成分后，若剩余序列xt中含有相依成分，可以采用自回歸模型AR（p）模型進(jìn)行描述：

式中：u為xt的均值；φ1，φ2，…，φp為自回歸系數(shù)；p為自回歸階數(shù)；εt為均值0、方差的獨(dú)立純隨機(jī)變量，且與xt-1，xt-2，…，xt-p相互獨(dú)立。

記相依成分φ1(xt-1-u )+φ2(xt-2-u )+…+φp(xt-p-u )為ηt，隨機(jī)成分u+εt為ut，可將xt表示為相依成分與隨機(jī)成分之和：

其中，ηt與ut相互獨(dú)立，E( xt)=u，E( ut)=u，E(ηt)=0。

水文序列xt與其所包含的相依成分ηt的相關(guān)程度可由相關(guān)系數(shù)r來(lái)描述：

根據(jù)文獻(xiàn)［21］所建立的相關(guān)系數(shù)與自回歸模型參數(shù)之間的關(guān)系，有：

式中，ρi(i=1，2，…，p )為序列的自相關(guān)系數(shù)，由于自回歸系數(shù)φi(i=1，2，…，p )可采用Yule-Walker方程估計(jì)，故式（7）可寫(xiě)為：

鑒于自相關(guān)系數(shù)ρi(i=1，2，…，p )是描述水文時(shí)間序列自身內(nèi)部線(xiàn)性相依程度的指標(biāo)，可判斷序列是否獨(dú)立。而式（8）說(shuō)明水文序列與其相依成分之間的相關(guān)系數(shù)可以綜合考慮1階到p階自相關(guān)系數(shù)的影響，因此相關(guān)系數(shù)也可用于水文序列獨(dú)立性檢驗(yàn)以及表征其相依變異程度。

進(jìn)一步分析AIC和BIC準(zhǔn)則的表達(dá)形式，式（2）和式（3）均由兩個(gè)部分組成。前一項(xiàng)為擬合殘差方差量，反映了模型的擬合誤差，后一項(xiàng)為包含序列長(zhǎng)度與模型階數(shù)的懲罰項(xiàng)，反映了模型不確定性的大小。顯然，實(shí)際運(yùn)用中需要模型擬合的精度越高越好，但是過(guò)高的精度意味著參數(shù)的增加，使得模型復(fù)雜化、不確定性增加，反而又影響模型的精度［34］。因此，AIC、BIC準(zhǔn)則是通過(guò)擬合誤差項(xiàng)與不確定性懲罰項(xiàng)兩項(xiàng)相互平衡，在準(zhǔn)則最小值點(diǎn)處取得模型的理想階數(shù)和對(duì)應(yīng)參數(shù)。

根據(jù)有限的實(shí)測(cè)資料（樣本）計(jì)算出來(lái)的相關(guān)系數(shù)必定存在抽樣誤差，為了判斷樣本相關(guān)系數(shù)的可靠性，通常按照統(tǒng)計(jì)學(xué)原理計(jì)算相關(guān)系數(shù)的均方誤差［35］。由于相關(guān)系數(shù)r可以表示序列的相依變異程度，其均方誤差σr則可視為表征水文相依變異序列的擬合誤差的統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算公式為：

式中n為樣本序列長(zhǎng)度。

當(dāng)模型階數(shù)增大時(shí)，均方誤差隨著相關(guān)系數(shù)的增大而減少，這意味著原始序列與相依變異成分的擬合程度增加，不確定性減少。信息熵指標(biāo)主要用于描述和度量數(shù)據(jù)的無(wú)序性和信息量，其與變量的不確定性成正相關(guān)關(guān)系［36］。研究水文過(guò)程的不確定性時(shí)，時(shí)間序列的信息熵越大，表明其不確定性也越大。信息熵定義為：

式中：X為任意一個(gè)隨機(jī)變量；mi為第i個(gè)信息狀態(tài)出現(xiàn)的概率；H(m1，m2，…，mn)為熵函數(shù)；c為常數(shù)（一般取為1），對(duì)于等概率信息系統(tǒng)有為自然對(duì)數(shù)。

針對(duì)AR（1）和AR（2）模型，借用信息熵的形式，構(gòu)造與模型階數(shù)相關(guān)可反映模型不確定性的函數(shù)式如下：

H（2）中包含H（1）中的信息量，當(dāng)序列長(zhǎng)度n ?p時(shí)，表示AR（p）模型不確定性的函數(shù)式可寫(xiě)為：

對(duì)于式（12）而言，其函數(shù)值隨著階數(shù)增大而增加，意味著模型參數(shù)增加將導(dǎo)致模型不確定性增加。

結(jié)合式（9）與式（12），這兩個(gè)成分正好與AIC 準(zhǔn)則和BIC 準(zhǔn)則中的前后兩項(xiàng)所表示的意義相同。因此，可得到用相關(guān)系數(shù)的均方誤差表示模型擬合誤差、借用信息熵形式的函數(shù)式作為懲罰項(xiàng)的定階準(zhǔn)則，簡(jiǎn)稱(chēng)RIC準(zhǔn)則，其表達(dá)式為：

式中：p為模型階數(shù)；n為序列長(zhǎng)度；σr為相關(guān)系數(shù)的均方誤差。

為與AIC、BIC準(zhǔn)則具有統(tǒng)一格式，將上式進(jìn)一步寫(xiě)為：

與AIC、BIC準(zhǔn)則類(lèi)似，當(dāng)RIC準(zhǔn)則函數(shù)值最小時(shí)所對(duì)應(yīng)的階數(shù)即為模型的理想階數(shù)。

由于RIC 準(zhǔn)則是基于水文序列與其相依成分之間的相關(guān)系數(shù)所構(gòu)建，而相關(guān)系數(shù)的大小可以表征序列的相依變異程度。根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理和相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)取值范圍，當(dāng)序列長(zhǎng)度、模型階數(shù)已知時(shí)，可計(jì)算在顯著性水平α 、 β(α ＞β )下的相依變異程度對(duì)應(yīng)的分級(jí)閾值rα、rβ，并進(jìn)一步將相依變異程度劃分為5個(gè)等級(jí)［37］，見(jiàn)表1。同時(shí)，可利用相依變異程度分級(jí)結(jié)果進(jìn)行水文序列的獨(dú)立性檢驗(yàn)，即當(dāng)序列無(wú)變異時(shí)則說(shuō)明序列是獨(dú)立的，有其他不同程度的相依變異時(shí)則還含有相依成分。

表1 相依變異程度分級(jí)與水文序列獨(dú)立性檢驗(yàn)

綜上，以自回歸模型為例利用RIC準(zhǔn)則確定序列相依變異成分階數(shù)的具體步驟為：（1）去除原始序列包括跳躍、趨勢(shì)和周期在內(nèi)的確定性成分，得到剩余序列成分；（2）繪制剩余序列的自相關(guān)系數(shù)圖、偏相關(guān)系數(shù)圖。若自相關(guān)系數(shù)圖拖尾，偏相關(guān)系數(shù)圖截尾，則認(rèn)為剩余序列存在AR（p）相依成分；（3）設(shè)定模型階數(shù)上限值，從1階遞增階數(shù)，利用最小二乘法（或遞推算法）估計(jì)模型參數(shù)，計(jì)算估計(jì)的相依成分與剩余序列的相關(guān)系數(shù)；（4）選擇RIC準(zhǔn)則函數(shù)取得最小值時(shí)的階數(shù)為模擬模型暫定的階數(shù)p，并判斷剩余序列的相依變異程度；（5）序列獨(dú)立性檢驗(yàn)與最終階數(shù)確定，若相依變異程度分級(jí)結(jié)果為無(wú)變異則序列獨(dú)立，確定模型階數(shù)為零階，否則模型的理想階數(shù)為p 階；（6）模型檢驗(yàn)，利用RIC 準(zhǔn)則對(duì)殘差序列再次定階后，依據(jù)相依性分級(jí)結(jié)果進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，若殘差序列獨(dú)立則模型符合“相依有變異而殘差無(wú)變異的最小階數(shù)”的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，否則模型階數(shù)p=p+1，重復(fù)本步驟直至殘差序列獨(dú)立為止（由于統(tǒng)計(jì)方法有抽樣誤差，因此任何一種定階準(zhǔn)則均有失誤的可能）。

4 RIC準(zhǔn)則驗(yàn)證

4.1 統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)驗(yàn)證依據(jù)式（14），水文序列相依成分定階的RIC準(zhǔn)則中的前一項(xiàng)均方誤差體現(xiàn)了1～p階自相關(guān)系數(shù)對(duì)水文序列相依性的影響，后一項(xiàng)體現(xiàn)了模型階數(shù)對(duì)序列隨機(jī)性的影響，因此RIC 準(zhǔn)則可以確定序列的階數(shù)。現(xiàn)分別以1階、2階、3階和4階自回歸模型為例，模擬生成含有相依變異成分的序列，并利用統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)將RIC準(zhǔn)則定階的準(zhǔn)確率與AIC準(zhǔn)則、BIC準(zhǔn)則進(jìn)行比較，以說(shuō)明RIC準(zhǔn)則定階的有效性。

4.1.1 AR（1）模型 1 階自回歸模型AR（1）模型的表達(dá)式為xt=φ1()xt-1-u +ut。根據(jù)Yule-Walker 方程可得ρ1=φ1，帶入式（8）得：

根據(jù)基于相關(guān)系數(shù)的水文相依性變異分級(jí)方法，上式可以作為檢驗(yàn)序列是否存在相依變異的依據(jù)，令α=0.05，β=0.01，試驗(yàn)中要求序列為中及以上程度的變異；同時(shí)，AR（1）模型平穩(wěn)的條件為|φ1|＜1。現(xiàn)設(shè)計(jì)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)?zāi)M生成相依序列，其中假設(shè)純隨機(jī)序列ut的均值u=100、變差系數(shù)Cv=0.2，偏態(tài)系數(shù)CS=0.4，并假設(shè)其服從P-Ⅲ型分布。具體步驟如下：

（1）在基于相關(guān)系數(shù)的水文相依性變異分級(jí)方法檢驗(yàn)序列存在變異，且滿(mǎn)足平穩(wěn)性的條件下，隨機(jī)生成自回歸系數(shù)φ1，設(shè)序列長(zhǎng)度分別為n=50，75，100，150和200；（2）當(dāng)n=50時(shí)，先生成符合假設(shè)條件的隨機(jī)序列ut，并設(shè)初始值x1=100，再生成1 階自回歸序列xt；（3）假定模型階數(shù)可取之間的所有整數(shù)［38］，在階數(shù)選定條件下計(jì)算模擬序列與原始序列的殘差方差σε2，由AIC、BIC 準(zhǔn)則確定模型階數(shù)，并計(jì)算原序列與模擬相依部分的相關(guān)系數(shù)，再由RIC 準(zhǔn)則確定模型階數(shù)；（4）在條件范圍內(nèi)隨機(jī)生成1000組φ1值，按步驟（2）與（3）統(tǒng)計(jì)由準(zhǔn)則確定模型階數(shù)為1階的組數(shù)，除以1000 即可分別求得3 個(gè)準(zhǔn)則在序列長(zhǎng)度為50 時(shí)的定階準(zhǔn)確率；（5）重復(fù)上述步驟，改變序列長(zhǎng)度n，計(jì)算不同序列長(zhǎng)度下的準(zhǔn)則定階準(zhǔn)確率，取其平均值作為1階自回歸模型在不同準(zhǔn)則下的平均定階準(zhǔn)確率。

表2為AR（1）模型在序列長(zhǎng)度不同時(shí)的定階準(zhǔn)確率。結(jié)果顯示，對(duì)于AR（1）模型而言，RIC準(zhǔn)則的平均定階準(zhǔn)確率高于BIC準(zhǔn)則，且遠(yuǎn)高于AIC準(zhǔn)則。不論序列長(zhǎng)度如何，RIC準(zhǔn)則的定階準(zhǔn)確率均在90%以上，說(shuō)明該準(zhǔn)則對(duì)于AR（1）模型的階數(shù)確定具有很高的準(zhǔn)確性。

4.1.2 AR（2）模型 2 階自回歸模型AR（2）的表達(dá)為根據(jù)Yule-Walker方程可得將其帶入式（8）得：

上式可以作為檢驗(yàn)序列是否存在相依變異的依據(jù)。同時(shí)，為滿(mǎn)足平穩(wěn)性條件，φ1、φ2需滿(mǎn)足如下關(guān)系式：

按照上述AR（1）模型試驗(yàn)思路，純隨機(jī)序列ut的統(tǒng)計(jì)參數(shù)不變，試驗(yàn)步驟一致，得到AR（2）模型的定階準(zhǔn)確率。表3 結(jié)果顯示， RIC 準(zhǔn)則的準(zhǔn)確率在所有準(zhǔn)則中最高，平均定階準(zhǔn)確率為80.06%，并且隨著序列長(zhǎng)度增加而提高，說(shuō)明了RIC 定階準(zhǔn)則對(duì)于AR（2）模型的階數(shù)確定具有較高的準(zhǔn)確性。

表2 AR（1）不同序列長(zhǎng)度和準(zhǔn)則下的定階準(zhǔn)確率（單位：%）

表3 AR（2）不同序列長(zhǎng)度和準(zhǔn)則下的定階準(zhǔn)確率（單位：%）

4.1.3 AR（3）模型 3階自回歸模型AR（3）的表達(dá)式為由于此時(shí)通過(guò)相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)?zāi)M序列相依變異與否對(duì)后續(xù)試驗(yàn)結(jié)果影響很小，所以只考慮在平穩(wěn)條件下生成相應(yīng)的φ1、φ2和φ3。而超過(guò)3階的AR模型的自回歸系數(shù)的判別條件越來(lái)越復(fù)雜，這里采用特征根法進(jìn)行判斷［39］。

按照相同的試驗(yàn)思路可以得到AR（3）模型的定階準(zhǔn)確率，如表4所示。當(dāng)RIC準(zhǔn)則運(yùn)用于AR（3）模型時(shí)，其定階準(zhǔn)確率在不同序列長(zhǎng)度時(shí)均高于其他準(zhǔn)則，且隨著序列長(zhǎng)度增加而提高；其中在序列長(zhǎng)度為200時(shí)，RIC準(zhǔn)則的準(zhǔn)確率為71.67%，平均定階準(zhǔn)確率為63.56%，說(shuō)明RIC準(zhǔn)則對(duì)于AR（3）模型的階數(shù)確定具有一定的準(zhǔn)確性。

4.1.4 AR（4）模型 4 階自回歸模型AR（4）的表達(dá)φ4(xt-4-u )+ut，在平穩(wěn)約束條件下生成φ1、φ2、φ3和φ4，與AR（3）模型同理可以得到AR（4）模型的定階準(zhǔn)確率。根據(jù)表5結(jié)果顯示，對(duì)于AR（4）模型，3個(gè)準(zhǔn)則的定階準(zhǔn)確率均不算高，其中RIC準(zhǔn)則的定階準(zhǔn)確率有時(shí)會(huì)略低于BIC 準(zhǔn)則，但明顯高于AIC 準(zhǔn)則，其平均定階準(zhǔn)確率為53.52%，說(shuō)明RIC準(zhǔn)則對(duì)于AR（4）模型也具有一定的適應(yīng)性，但因?yàn)殡A數(shù)增大致使計(jì)算中不確定性增多，其準(zhǔn)確率比1至3階時(shí)有所降低。

表4 AR（3）不同序列長(zhǎng)度和準(zhǔn)則下的定階準(zhǔn)確率（單位：%）

表5 AR（4）不同序列長(zhǎng)度和準(zhǔn)則下的定階準(zhǔn)確率（單位：%）

4.2 實(shí)例分析驗(yàn)證為進(jìn)一步說(shuō)明RIC 定階準(zhǔn)則的有效性和實(shí)用性，選取實(shí)測(cè)水文序列進(jìn)行驗(yàn)證，包括瀾滄江允景洪站的年徑流序列（1957—2014年）、長(zhǎng)江螺山站的月徑流序列（1953—2016年）、長(zhǎng)江宜昌站的月徑流序列（1946—2016年）以及西江梧州站的年徑流序列（1900—2000年）。按照RIC準(zhǔn)則定階的步驟，首先去除序列的確定性成分。應(yīng)用Pettitt 法、Brown-Forsythe 法和滑動(dòng)T檢驗(yàn)法等識(shí)別序列的跳躍成分［40］；應(yīng)用Spearman秩次相關(guān)檢驗(yàn)法、Kendall秩次相關(guān)檢驗(yàn)法和線(xiàn)性趨勢(shì)相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法等檢測(cè)其趨勢(shì)成分［41-42］；應(yīng)用功率譜分析法、諧波分析法和最大熵譜分析法等識(shí)別其周期成分［43］。然后繪制剩余序列的自相關(guān)系數(shù)圖和偏相關(guān)系數(shù)圖，結(jié)果見(jiàn)圖1，其中虛線(xiàn)為顯著性水平等于0.05時(shí)的容許上、下限。若自相關(guān)系數(shù)處于上、下容許限之間，認(rèn)為序列獨(dú)立隨機(jī)；反之則序列存在相依變異。模型階數(shù)可由偏相關(guān)系數(shù)圖的截尾性初步判斷。

圖1 實(shí)測(cè)水文序列自相關(guān)及偏相關(guān)系數(shù)

圖1結(jié)果顯示，除允景洪站外其余序列均存在相依變異，螺山站、宜昌站和梧州站序列分別為1、2、3階偏相關(guān)系數(shù)截尾、自相關(guān)系數(shù)拖尾，因此以上序列均可采用AR（p）模型建模。在利用RIC準(zhǔn)則定階過(guò)程中，設(shè)定模型階數(shù)上限為計(jì)算模型為不同階數(shù)時(shí)的模型參數(shù)估計(jì)值、序列與其相依成分的相關(guān)系數(shù)以及RIC準(zhǔn)則的函數(shù)值。取RIC函數(shù)最小值對(duì)應(yīng)的階數(shù)為模型階數(shù)，判斷序列相依變異程度并用分級(jí)方法進(jìn)行殘差獨(dú)立性檢驗(yàn)。表6顯示了不同準(zhǔn)則下序列階數(shù)的確定情況以及RIC定階準(zhǔn)則下的序列相依變異程度的判定與殘差獨(dú)立性檢驗(yàn)結(jié)果。

表6 實(shí)測(cè)水文序列階數(shù)確定及相依變異程度分級(jí)結(jié)果

由RIC準(zhǔn)則判定的允景洪站年徑流序列為1階，但其相依變異程度為無(wú)變異，因此最終確定為0階，這與其自相關(guān)系數(shù)圖情況吻合。說(shuō)明RIC 準(zhǔn)則在定階過(guò)程中可進(jìn)行序列獨(dú)立性檢驗(yàn)且具有較好的效果，而其他準(zhǔn)則無(wú)法滿(mǎn)足此需求。依據(jù)不同準(zhǔn)則的判定結(jié)果，總體上RIC準(zhǔn)則與BIC準(zhǔn)則確定的階數(shù)在多數(shù)情況下是一致的。由RIC 準(zhǔn)則與BIC 準(zhǔn)則確定的螺山站、宜昌站和梧州站序列分別為1、2、3階，這與三站偏相關(guān)系數(shù)圖顯示的截尾階數(shù)一致，說(shuō)明RIC準(zhǔn)則對(duì)于AR（1）、AR（2）、AR（3）模型都具有一定的適應(yīng)性。但AIC準(zhǔn)則顯示階數(shù)存在偏高的情況，例如螺山站為3階，梧州站為17階。

為確定序列最合理的階數(shù)，提出“相依有變異而殘差無(wú)變異的最小階數(shù)”的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，即選取使得序列存在相依變異且殘差不存在變異的最小階數(shù)為最終階數(shù)。繪制各站徑流序列與其相依部分的相關(guān)系數(shù)r隨階數(shù)的變化圖，如圖2所示，上下兩條虛線(xiàn)分別表示顯著性水平為0.01和0.05時(shí)的相關(guān)系數(shù)臨界值。若相關(guān)系數(shù)位于虛線(xiàn)以上，則表示此階數(shù)的模擬序列存在相依變異，反之無(wú)變異。

圖2 相關(guān)系數(shù)隨階數(shù)變化

圖2（a）中允景洪站年徑流序列各階數(shù)的模擬序列均不存在相依變異；圖2（b）中螺山站月徑流模擬序列為1階時(shí)，模擬序列存在相依變異，而由表6可知，此階數(shù)時(shí)殘差序列獨(dú)立，故滿(mǎn)足“相依有變異而殘差無(wú)變異的最小階數(shù)”的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)；同理，在圖2（c）（d）中，宜昌站月徑流模擬序列與梧州站年徑流模擬序列分別為2階和3階時(shí)，取得滿(mǎn)足檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)的最小階數(shù)。由此說(shuō)明RIC準(zhǔn)則與BIC準(zhǔn)則定階結(jié)果合理，而AIC 準(zhǔn)則定階結(jié)果偏高。為直觀顯示這4個(gè)序列分別為0、1、2、3階時(shí)的相依變異情況，將其繪制成圖（見(jiàn)圖3），其中實(shí)線(xiàn)為其擬合的相依成分。根據(jù)圖示，由相依部分代表的模擬序列與原序列的變化情況較為一致，進(jìn)一步說(shuō)明RIC準(zhǔn)則定階的合理性。

圖3 實(shí)測(cè)徑流序列相依成分示意

進(jìn)一步分析表6中實(shí)測(cè)序列的殘差獨(dú)立性檢驗(yàn)結(jié)果，在由RIC準(zhǔn)則確定階數(shù)的條件下，模型的殘差項(xiàng)均為獨(dú)立序列，表明由RIC 準(zhǔn)則所確定的模型滿(mǎn)足使用條件且具備一定的準(zhǔn)確性。綜上，在統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)和實(shí)測(cè)驗(yàn)證中，RIC準(zhǔn)則定階結(jié)果的準(zhǔn)確性均優(yōu)于AIC準(zhǔn)則，接近或優(yōu)于BIC準(zhǔn)則，且滿(mǎn)足檢驗(yàn)要求，并且RIC準(zhǔn)則在定階過(guò)程中可進(jìn)行序列的獨(dú)立性檢驗(yàn)。

5 結(jié)語(yǔ)

水文過(guò)程常常存在一定的相依性，這使得含有相依成分的時(shí)間序列無(wú)法滿(mǎn)足水文計(jì)算中一致性的假設(shè)，因而造成了研究中的諸多困難。針對(duì)非一致性水文序列所表現(xiàn)的相依性特點(diǎn)，本文以自回歸模型為例，提出了一種基于相關(guān)系數(shù)的RIC 定階準(zhǔn)則以建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ兔枋鱿嘁雷儺惓煞?。主要結(jié)論如下：（1）RIC準(zhǔn)則由表示相依擬合程度的相關(guān)系數(shù)的均方誤，以及表示序列不確定性的懲罰項(xiàng)構(gòu)成。對(duì)于AR（1）、AR（2）、AR（3）和AR（4）模型，統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)表明序列長(zhǎng)度越大，RIC準(zhǔn)則定階的準(zhǔn)確率越高，且其準(zhǔn)確率接近或高于BIC準(zhǔn)則，遠(yuǎn)高于AIC準(zhǔn)則，說(shuō)明了RIC準(zhǔn)則在水文相依變異序列階數(shù)識(shí)別中的有效性；（2）將RIC準(zhǔn)則用于允景洪站、螺山站、宜昌站和梧州站的實(shí)測(cè)水文序列進(jìn)行驗(yàn)證，實(shí)例分析表明，定階結(jié)果與自相關(guān)系數(shù)圖、偏相關(guān)系數(shù)圖表現(xiàn)的情況一致，且滿(mǎn)足“相依有變異而殘差無(wú)變異的最小階數(shù)”的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，說(shuō)明了此方法的合理性；（3）RIC準(zhǔn)則定階過(guò)程中可以基于相關(guān)系數(shù)進(jìn)行序列獨(dú)立性檢驗(yàn)，以及定階完成后可進(jìn)行模型檢驗(yàn)，克服了其他準(zhǔn)則定階過(guò)程中的局限性；（4）RIC準(zhǔn)則可以作為其他定階準(zhǔn)則評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)，RIC準(zhǔn)則與BIC準(zhǔn)則在統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的準(zhǔn)確率以及實(shí)測(cè)序列的定階結(jié)果上較為一致，均優(yōu)于AIC準(zhǔn)則，因此RIC準(zhǔn)則較AIC準(zhǔn)則對(duì)于相依變異成分的階數(shù)識(shí)別更具有適應(yīng)性，建議實(shí)際定階中主要參考RIC準(zhǔn)則與BIC準(zhǔn)則定階結(jié)果。

此外，由于實(shí)際中基于AR模型的水文序列預(yù)測(cè)與延展工作通常以低階為主，對(duì)于高階模型的階數(shù)確定的方法與準(zhǔn)確性仍然是難點(diǎn)問(wèn)題，本文只完成了4階以?xún)?nèi)的自回歸模型的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)與部分含有低階數(shù)相依變異成分的實(shí)例分析，所以至于RIC 準(zhǔn)則對(duì)于更高階數(shù)的自回歸模型以及其它相依模型的適應(yīng)性尚需進(jìn)一步研究。