EMD-RLS聯(lián)合濾波算法及其在北斗多路徑削弱誤差中的應(yīng)用

嚴(yán) 超，王 慶，楊高朝，張 昊

（東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210096）

全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)（Global Navigation Satellite System,GNSS）測(cè)量誤差源有許多種類，在短基線解算中，星歷誤差、衛(wèi)星及接收機(jī)鐘差、電離層及對(duì)流層延遲誤差等相關(guān)性較強(qiáng)的測(cè)量誤差均可利用差分法和相應(yīng)的誤差改正模型予以消除[1]，而與測(cè)站周圍物理環(huán)境關(guān)系較大的多路徑誤差和與接收機(jī)自身有關(guān)的隨機(jī)噪聲則無(wú)法用上述方法消除[2]。所以，多路徑效應(yīng)成為GNSS高精度定位的主要誤差來(lái)源之一[3]。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)諸多學(xué)者對(duì)多路徑效應(yīng)的影響進(jìn)行了大量的試驗(yàn)研究，并在實(shí)踐中取得了一定的成效。

目前，處理多路徑效應(yīng)誤差的方法可以分為外業(yè)觀測(cè)、接收機(jī)硬件和數(shù)據(jù)后處理三類。本文主要是針對(duì)數(shù)據(jù)后處理方法開展研究，其核心是所處理的GNSS觀測(cè)數(shù)據(jù)中存在著多路徑信息[4]。GNSS接收機(jī)天線周圍的物理環(huán)境如何變化較小或者未發(fā)生改變時(shí)，其多路徑誤差存在著較強(qiáng)的周日重復(fù)性，這是對(duì)多路徑誤差建模的關(guān)鍵。目前，處理方法主要為多路徑重復(fù)性改正模型和頻域?yàn)V波法兩類[5]。多路徑重復(fù)性改正模型法是指利用其周日重復(fù)性這一特征，當(dāng) GNSS接收機(jī)天線處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)利用靜態(tài)觀測(cè)數(shù)據(jù)提取多路徑誤差，并進(jìn)行建模[6]。但隨著時(shí)間的推移，多路徑效應(yīng)的重復(fù)性會(huì)逐漸降低。頻域?yàn)V波算法主要為小波分析法（Wavelet Transform,WT）和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥ǎ‥mpirical Mode Decomposition,EMD）。文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]利用小波變換方法提取 GPS觀測(cè)值中的多路徑誤差，然后將得到的多路徑誤差直接應(yīng)用到GPS觀測(cè)值來(lái)校正多路徑效應(yīng)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法可以削弱GPS永久站的多路徑誤差。雖然小波變換在GPS多路徑削弱方面存在優(yōu)勢(shì)，但小波基的選擇卻沒有統(tǒng)一的支撐理論。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸猓‥MD）將信號(hào)在空間域中進(jìn)行分解，可以有效地區(qū)分開噪聲和有用信號(hào)[9]，從而成為多路徑誤差提取的新技術(shù)。文獻(xiàn)[10]確立了EMD方法分解級(jí)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)，并將其方法應(yīng)用到 GPS多路徑效應(yīng)的提取，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了該方法的有效性。文獻(xiàn)[11]利用噪聲輔助數(shù)據(jù)分析方法對(duì)低階模態(tài)分量進(jìn)行處理，基于此對(duì) EMD算法進(jìn)行了改正，并將其應(yīng)用到GPS多路徑誤差的提取。結(jié)合WT和EMD方法的各自優(yōu)點(diǎn)，文獻(xiàn)[12]提出了EMD-Wavelet模型，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法可以消除基線解算過(guò)程中載波相位的噪聲，提高了模糊度解算的可靠性。

不同于GPS系統(tǒng)、GLONASS系統(tǒng)和Galileo系統(tǒng)的單一MEO衛(wèi)星（Medium Earth Orbit），我國(guó)自主研發(fā)的北斗導(dǎo)航定位系統(tǒng)（BeiDou Navigation Satellite System,BDS）增加了軌道高度較高、運(yùn)動(dòng)角速度較慢的GEO衛(wèi)星（Geostationary Earth Orbit）和IGSO衛(wèi)星（Inclined Geosynchronous Orbit）[13]。從 GPS 和 BDS系統(tǒng)衛(wèi)星星座的差異可以推斷兩者的多路徑效應(yīng)特征也存在著差異性。文獻(xiàn)[14]對(duì)BDS多路徑效應(yīng)進(jìn)行了詳細(xì)分析，證實(shí)BDS與GPS多路徑效應(yīng)特征具有較大差異性。而如何削弱BDS多路徑效應(yīng)是近些年來(lái)的研究熱點(diǎn)。對(duì)于GPS多路徑的研究取得了很多成果，其中有些方法也適用于BDS。文獻(xiàn)[15]和文獻(xiàn)[16]的分析表明BDS衛(wèi)星的偽距多路徑誤差約為m級(jí)，文獻(xiàn)[17]表明其載波相位多路徑誤差約為cm級(jí)，并利用恒星濾波法（Sidereal Filter,SF）和MHM算法（Multipath Hemsipherical Map）對(duì)比分析了各自對(duì)BDS多路徑效應(yīng)的改善效果。文獻(xiàn)[18]利用KF（Kalman Filter）和RTSS（Rauch-Tung-Striebel Smoother） 從SF的單差殘差中提取多路徑誤差，并與WT和EMD算法進(jìn)行對(duì)比分析。文獻(xiàn)[19]利用 EKF（Extended Kalman Filter）和 SF相結(jié)合的方法，從短基線中提取多路徑誤差，與單獨(dú)的EKF（Extended Kalman Filter）和SF相比，聯(lián)合算法在模糊度固定及定位精度上均有所提升。目前，由于聯(lián)合算法保留了單獨(dú)算法的優(yōu)點(diǎn)，也一定程度上彌補(bǔ)了單獨(dú)算法的缺點(diǎn)，成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。

鑒于上述分析，針對(duì)BDS動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)中載波相位多路徑效應(yīng)誤差日周期性的特征，并結(jié)合 EMD和遞歸最小二乘算法（Recursive Least-Squares Algorithm,RLS）算法的優(yōu)勢(shì)，提出了一種 EMD-RLS聯(lián)合濾波算法來(lái)削弱BDS多路徑效應(yīng)的影響。首先，EMD 將原始信號(hào)分解成固有模態(tài)函數(shù)（Intrinsic Mode Function ,IMF），利用兩個(gè)指標(biāo)將IMFs分量細(xì)化為噪聲 IMFs、混合 IMFs 和信息 IMFs；然后，采用RLS算法對(duì)混合IMFs分量進(jìn)行濾波；再將經(jīng)RLS濾波后的“干凈”數(shù)據(jù)與信息IMFs重構(gòu)得到降噪信號(hào)，即為BDS多路徑誤差改正模型；最后，利用仿真數(shù)據(jù)和BDS超短基線數(shù)據(jù)對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 EMD-RLS聯(lián)合濾波算法

1.1 EMD算法

EMD算法的基本思想是把復(fù)雜信號(hào)X(t)分解成n個(gè)不同時(shí)間尺度的固有模態(tài)函數(shù)（IMF）和一個(gè)趨勢(shì)項(xiàng)[9,20]。每個(gè)IMF分量需滿足：在整個(gè)序列中，極值點(diǎn)的數(shù)目與過(guò)零點(diǎn)的數(shù)目必須相等或最多相差1個(gè)；由局部極大值所構(gòu)成的包絡(luò)線以及由局部極小值所構(gòu)成的包絡(luò)線的平均值為0[20]。因此X(t)可表示為：

若原始信號(hào)X(t)是高斯分布的，其分量信號(hào)也同樣為高斯分布。所以，濾掉信號(hào)中混有的m級(jí)高頻白噪聲 IMF分量，剩余信號(hào)分量X^(t)就是實(shí)際有用的信號(hào)，即：

EMD的具體分解如圖1所示[20]，其中：x(t)為帶分解序列；hi(t)為第i個(gè) IMF;ri(t)為分解過(guò)程中序列的余項(xiàng)。當(dāng)滿足單調(diào)條件時(shí)序列分解結(jié)束，SD為各IMF的篩選準(zhǔn)則，也是停止篩選過(guò)程的判斷依據(jù)，實(shí)際應(yīng)用中SD一般取0.2～0.3。

一般來(lái)說(shuō)，大尺度的IMFs反映信號(hào)的低頻部分，小尺度的 IMFs反映信號(hào)的高頻部分，而噪聲信號(hào)主要集中在高頻部分。EMD算法雖對(duì)噪聲能進(jìn)行有效的剔除，但對(duì)于IMFs更加詳細(xì)的分類，即噪聲IMFs信號(hào)、混合IMFs和信息IMFs卻缺乏明確的區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)。

圖1 EMD分解流程Fig.1 Flow chart of EMD decompose

1.2 RLS算法

遞歸最小二乘算法（Recursive Least-squares algorithm,RLS）可描述如下[21]：假設(shè)我們觀測(cè)到的矢量為Xm(l)，且希望確定的是誤差幅度平均的加權(quán)和ξM(n)達(dá)到最小時(shí)的濾波器系數(shù)矢量hM(n)。

式中，eM(l,n)誤差為期望序列d(l)和估計(jì)d(l,n)之間的差值，即：

假設(shè)有最優(yōu)濾波器系數(shù)hM(n-1)、矩陣PM(n-1)以及矢量XM(n-1)，當(dāng)?shù)玫叫碌男盘?hào)成分x(n)時(shí)，通過(guò)從XM(n-1)中去掉x(n-M)項(xiàng)并添加x(n)項(xiàng)作為第一個(gè)元素，就構(gòu)成矢量XM(n)。所以，濾波器系數(shù)的遞歸計(jì)算如下：

計(jì)算濾波器輸出：

計(jì)算誤差：

計(jì)算Kalman增益矢量：

更新相關(guān)矩陣的逆：

更新濾波器系數(shù)矢量：

RLS算法對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的適應(yīng)性好，具有收斂速度快、估計(jì)精度高、穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)。

1.3 EMD-RLS聯(lián)合濾波算法提取BDS多路徑誤差

EMD-RLS聯(lián)合濾波算法如圖2所示，其削弱BDS多路徑效應(yīng)的具體步驟如下：

1）將含有噪聲的參考信號(hào)，利用EMD算法分解成若干IMF；

2）利用兩個(gè)指標(biāo)M1和M2，將分解的IMF細(xì)化分為噪聲 IMFs、混合 IMFs和信息 IMFs三類，則式(1)改寫成：

3）多路徑誤差主要集中信息 IMFs和混合 IMFs中“干凈”的部分，所以，對(duì)高頻的噪聲 IMFs舍棄，利用RLS對(duì)混合IMFs進(jìn)行處理，所得到的“干凈”結(jié)果與信息IMFs重構(gòu)得輸出信號(hào)x′(t)，即可得到當(dāng)天多路徑誤差：

式(10)和(11)中的M1和M2的具體求解如下[22]：

首先，將重構(gòu)信號(hào)表示為

然后，用連續(xù)均方誤差(consecutive mean square error,CMSE)計(jì)算兩個(gè)連續(xù)重構(gòu)信號(hào)之間的平方歐氏距離序列：

所以，M1為

其中，[2m/3]為不超過(guò)2m/3的最大整數(shù)。無(wú)論是混合IMFs還是信息IMFs，其能量都要高得多，根據(jù)此特性可以使用CMSE來(lái)確定第一個(gè)索引參數(shù)M1。

功率密度函數(shù)（Power Density Function,PDF）可以表示數(shù)據(jù)的形狀分布，是反映數(shù)據(jù)特征的良好指標(biāo)。令原始信號(hào)的PDF與每個(gè)IMF的PDF之間的相似性為：

式中，“dist”表示由 2-范數(shù)計(jì)算的兩個(gè)PDF之間的距離。對(duì)于P和Q兩個(gè)PDF，其2-范數(shù)為

所以，M2為

4）利用第一天的靜態(tài)數(shù)據(jù)的原始坐標(biāo)殘差序列，通過(guò)步驟1、2、3）得到多路徑誤差模型的初始參考信號(hào)x1′(t)，再利用當(dāng)天的多路徑誤差信號(hào)x′(t)，求取兩者之間的相關(guān)系數(shù)a；

圖2 EMD-RLS聯(lián)合濾波算法流程Fig.2 Flow chart of EMD-RLS

2 仿真實(shí)驗(yàn)分析

設(shè)含噪聲的模擬數(shù)據(jù)模型為：

式中，et為正態(tài)白噪聲；t為時(shí)間；yt為不含噪聲的原始參考信號(hào)，其模擬位置信號(hào)模型為：

單位為cm。

2.1 實(shí)驗(yàn)方案

模擬數(shù)據(jù)的取樣間隔為1 s，樣本數(shù)為8000，et分別設(shè)置為服從正態(tài)分布N(0,0.502)、N(0,1.002)、N(0,1.502)、N(0,2.002)、N(0,2.502)和N(0,3.002)六組數(shù)據(jù)，均值與標(biāo)準(zhǔn)差單位為cm。為了更好地展現(xiàn)聯(lián)合算法的效果，設(shè)置如下的實(shí)驗(yàn)方案。

方案一：對(duì)噪聲未進(jìn)行任何處理；

方案二：采用RLS算法；

方案三：采用EMD算法；

方案四：采用EMD-RLS算法。

為了對(duì)比不同算法的解算效果，選用濾波后信號(hào)部分的RMS值SRMS、濾波后噪聲部分的RMS值NRMS和降噪后的信號(hào)與原始參考信號(hào)的互相關(guān)系數(shù)R進(jìn)行評(píng)價(jià)，其中：

式中：N為信號(hào)的總長(zhǎng)度；為濾波后的信號(hào)；cov(,yt)為與yt的協(xié)方差，、σy分別為與yt的標(biāo)準(zhǔn)差。

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了驗(yàn)證算法的降噪效果，圖3中給出了et服從正態(tài)分布N(0,0.502)模擬信號(hào)時(shí)四種方案的處理結(jié)果。圖3(a)為不含噪聲的原始信號(hào)和含噪聲的參考信號(hào)。然后，利用四種方案對(duì)含噪聲的參考信號(hào)進(jìn)行降噪，得到降噪后的信號(hào)，如圖3 (b)所示。最后，為了對(duì)比不同算法的降噪結(jié)果，將降噪后的信號(hào)與不含噪聲的原始信號(hào)作差，如圖3(c)所示。表1統(tǒng)計(jì)了不同噪聲水平下EMD、RLS和EMD-RLS算法的SRMS、NRMS和R值。

從圖3和表1中可以看出，三種算法的SRMS和NRMS值隨著噪聲水平的增大而增大，但不同的算法有呈現(xiàn)出不同的大小。RLS法的SRMS值約為EMD-RLS法的3倍，約為EMD法的1.5倍；EMD-RLS法和EMD法的NRMS值與對(duì)應(yīng)的噪聲水平的大小均相近，而RLS法的NRMS值與對(duì)應(yīng)的噪聲水平相差較大。

圖3 et服從正態(tài)分布N(0,0.50)模擬信號(hào)Fig.3 Normal distribution N(0,0.50) analog signal et

表1 基于不同算法的降噪效果統(tǒng)計(jì)Tab.1 Statistics of noise reduction effect using different algorithms

從上述的分析可以看出，EMD-RLS降噪效果優(yōu)于EMD法和RLS法。隨著噪聲水平的增大，三種算法的R值呈現(xiàn)下降的趨勢(shì)，說(shuō)明隨著噪聲水平的增加，三種算法的降噪效果均有所下降。在同一噪聲水平下，EMD-RLS法的R值均高于 EMD法和 RLS法，且EMD-RLS法的R值均大于 0.91，說(shuō)明了 EMD-RLS法降噪后的信號(hào)與不含噪聲的原始信號(hào)波形保持了較高的相似。無(wú)論從SRMS、NRMS值還是從R值來(lái)看，都說(shuō)明了EMD-RLS法降噪效果優(yōu)于EMD法和RLS法。

3 BDS實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

本文實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)選用澳大利亞Curtin GNSS Research Centre的CUT0和CUTB站實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，其中兩站的接收機(jī)均為Trimble NETR9，天線為TRM 59800.00?；€長(zhǎng)度為4.27 m，采集時(shí)間自2018年7月22日0時(shí)至24日24時(shí)（共3天數(shù)據(jù)，其年積日分別為203、204和 205，故簡(jiǎn)記為 D203、D204、D205），采樣間隔為30 s，數(shù)據(jù)處理策略如表2所示。

一般認(rèn)為，超短基線解算通過(guò)載波雙差方法求解得到的坐標(biāo)殘差主要存在隨機(jī)噪聲和多路徑誤差。為了更加清晰地觀測(cè)坐標(biāo)序列的趨勢(shì)和進(jìn)行直觀的對(duì)比分析，現(xiàn)將3天的坐標(biāo)序列繪制于同一圖中，如圖4所示（將D204與D205的N、E、U方向的坐標(biāo)序列分別依次增加常數(shù)2 mm、4 mm和4 mm）。

表3統(tǒng)計(jì)了D203 與后面2天以及相鄰2天的坐標(biāo)殘差序列相關(guān)系數(shù)。

表2 數(shù)據(jù)處理策略Tab.2 The strategy of data processing

圖4 原始坐標(biāo)序列Fig.4 Raw coordinates

表3 各天坐標(biāo)殘差序列相關(guān)系數(shù)Tab.3 Correlation coefficients of raw coordinates

從圖4和表3可知，三天的坐標(biāo)殘差序列存在明顯的重復(fù)性，不僅含有高頻的隨機(jī)噪聲，而且還含有低頻的多路徑效應(yīng)誤差。N方向的相關(guān)性約為0.6，E方向約為0.7，U方向約為0.5，該相關(guān)性低于文獻(xiàn)[23]的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，主要是因?yàn)镃urtin GNSS Research Centre為了抑制多路徑效應(yīng)的影響，采用了扼流圈天線，且測(cè)站周圍沒有強(qiáng)反射面，而文獻(xiàn)[23]為了分析多路徑效應(yīng)，采用普通天線，且在測(cè)站周圍布設(shè)了強(qiáng)發(fā)射面。從上述的分析中也可以看出，扼流圈天線也只能抑制部分的多路徑效應(yīng)。

為了再次驗(yàn)證算法的降噪效果，采用 2.1節(jié)的四種方案進(jìn)行降噪實(shí)驗(yàn)。圖5是RLS、EMD和EMD-RLS聯(lián)合算法的消噪結(jié)果（限于篇幅，只選擇D203的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析）。表4統(tǒng)計(jì)了降噪前后坐標(biāo)序列的RMS值。

從圖5和表4中可知，EMD-RLS聯(lián)合算法濾波后的 RMS值與其他兩種算法的效果基本一致，且三種算法濾波后與未濾波的 RMS值也相差甚小，說(shuō)明采用的數(shù)據(jù)中隨機(jī)噪聲只存在很小的一部分（這是因?yàn)樵贐DS數(shù)據(jù)處理時(shí)，采用了向前向后濾波方式，在一定程度上降低了數(shù)據(jù)中的隨機(jī)噪聲），多路徑效應(yīng)占主導(dǎo)地位。

圖5 D203降噪效果Fig.5 Result after D203 de-nosing

圖6是RLS、EMD和EMD-RLS3種算法提取3天的多路徑模型序列。通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，EMD-RLS算法提取的多路徑模型序列與 EMD法相當(dāng)，且兩種方法均要優(yōu)于RLS算法。為了更加直觀地分析三種算法提取多路徑模型的效果，表5統(tǒng)計(jì)了多路徑序列濾波前后的相關(guān)系數(shù)。

由表3和表5的結(jié)果可以看出，前后兩天的BDS多路徑效應(yīng)有很強(qiáng)的重復(fù)性，進(jìn)一步表明，EMD-RLS算法提取的多路徑模型序列與EMD 法相當(dāng)，且兩種方法均要優(yōu)于RLS算法。

表4 降噪前后坐標(biāo)序列的RMS值Tab.4 RMS of coordinate series before and after de-nosing

圖6 三種算法提取的多路徑序列Fig.6 Multipath error series using three algorithms

為了分析本文所提出的EMD-RLS算法在削弱多路徑誤差的效果，采用后面2天的坐標(biāo)序列減去多路徑誤差改正模型，圖7為D204處理之后的坐標(biāo)殘差序列圖。為了定量地分析三種算法的定位精度，分別計(jì)算出RMS值。表6統(tǒng)計(jì)了D204和D205處理之后的坐標(biāo)殘差序列的RMS值。

從圖7和表6可知：D204相對(duì)于D205有更好的改善效果，因而，當(dāng)多路徑誤差改正模型時(shí)間間隔較短時(shí)，可利用三種算法的重復(fù)性建模較好地削弱多路徑效應(yīng)的影響，但隨著時(shí)間間隔的增大，會(huì)降低其改善效果；EMD-RLS算法提取的多路徑模型的改善效果要優(yōu)于其他兩種算法。對(duì)比N、E、U方向RMS值和改善效果，E方向的改善效果最明顯，達(dá)到74%以上，而N、U方向分別提升了39%、58%，D204濾波前，U方向的RMS小于E方向，濾波后，E方向的RMS小于U方向，這是因?yàn)镋方向上3天的坐標(biāo)序列相關(guān)性最大，其受多路徑效應(yīng)的影響也最大，所以通過(guò)已有的多路徑模型，可以很好地削弱多路徑效應(yīng)。

表5 多路徑序列濾波前后的相關(guān)系數(shù)Tab.5 Correlation coefficient of multipath series before and after filtering

圖7 D204去除多路徑誤差的坐標(biāo)殘差序列Fig.7 Coordinate residual series of D204 after deducting multipath error

表6 多路徑改正模型前后坐標(biāo)序列的RMS值Tab.6 RMS of coordinate series before and after multipath correction was applied

通過(guò)上述的分析可以看出，EMD-RLS算法可以更好地提取多路徑模型，削弱多路徑效應(yīng)的影響。

4 結(jié) 論

本文結(jié)合EMD和RLS算法的優(yōu)勢(shì)，提出了一種EMD-RLS聯(lián)合濾波算法來(lái)削弱多路徑特性的影響。將本文提出的 EMD-RLS聯(lián)合濾波算法與 EMD和RLS算法進(jìn)行了比較，得出以下結(jié)論：通過(guò)模擬不同噪聲水平的數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了EMD-RLS聯(lián)合濾波算法的有效性，并通過(guò)對(duì)比分析得出EMD-RLS降噪效果優(yōu)于EMD算法和RLS算法；將該方法應(yīng)用于BDS多路徑誤差模型的提取，并利用該模型對(duì)隨后兩天的多路徑誤差進(jìn)行改正，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，其有效地削弱了多路徑誤差的影響，提高了BDS的定位精度。