四邊簡支正交各向異性混凝土空心板的一種計算方法

楊小兵

（太原理工大學(xué)建筑設(shè)計研究院，山西 太原 030024）

在多層和高層鋼筋混凝土建筑中，現(xiàn)澆鋼筋混凝土空心樓蓋體系應(yīng)用很廣，發(fā)展很迅速。高強度薄壁管在現(xiàn)澆砼空心無梁樓蓋中的應(yīng)用，促進了建筑業(yè)技術(shù)創(chuàng)新，該項技術(shù)在降低工程造價、縮短工期、改善隔音效果、提高凈空高度、降低建筑自重等方面效益顯著，隨著技術(shù)不斷成熟、生產(chǎn)工藝不斷完善，必將在建筑業(yè)上得到廣泛推廣應(yīng)用。

目前，計算正交各向異性板混凝土圓孔空心板的方法很多，但顯復(fù)雜。因此，本文通過將經(jīng)典的Navier 雙重Fourier三角級數(shù)法解法和Rayleigh-Ritz 解法有機地結(jié)合起來，求解了均布荷載下四邊簡支正交各向異性混凝土空心板的內(nèi)力和撓度。有限元分析表明，該方法概念清晰，計算精度高，完全適合于工程設(shè)計。

1 四邊簡支正交各向同性實心薄板的Navier 解法

小撓度薄板的彈性曲面微分方程

圖1 圓孔空心板

圖2 四邊簡支空心板

對于四邊簡支的矩形薄板，其邊界條件為：

在豎向荷載q 作用下，Navier 將w 展開為雙重Fourier三角級數(shù)：其中：m和n為正整數(shù)，Amn為待定系數(shù)，顯然這種形式的w的表達式滿足式（2） 的所有邊界條件。聯(lián)立式（1） 和式（3） 得

在豎向荷載q作用下，可將q和Cmn展開為雙重Fourier三角級數(shù)：

再將式（5） 和式（6） 代入式（4） 可得

其中：m，n 為奇數(shù)。

將Amn代入式（3），即可得到w的表達式，再將w的表達式代入式（7），即可求得內(nèi)力。

當(dāng)四邊簡支板在豎向均布荷載q0作用下，任意點（x，y） 處的撓度和內(nèi)力的表達式為

應(yīng)用上述公式，可以計算出四邊簡支正交各向同性實心板中任意點的撓度和內(nèi)力。但是用來求解彎矩和剪力時，收斂較慢，需要取二三十項。

2 正交各向異性圓孔空心板

圓孔板的正交各向異性表現(xiàn)在兩個方向的宏觀泊松比的不同，即：可以將圓孔空心板作為正交各向異性實心板計算，只是宏觀彈性模量要做如下調(diào)整：

根據(jù)彈性力學(xué)可知圓孔空心板在垂直于圓孔方向，即橫向處于平面受力狀態(tài)，宏觀泊松比不會發(fā)生變化，和原來未開孔的實心板是相同的，即μv=μ0

通過基于變分原理的Rayleigh-Ritz 法的推導(dǎo)，可以得出正交各向異性混凝土空心板的內(nèi)力和撓度與各向同性實心板比值為：

其中：w、Mx、My 為各向異性圓孔空心板的跨中撓度和內(nèi)力。

3 算例

一混凝土圓孔空心板，混凝土彈性模量E0=3.25×104MPa，泊松比μ0=μv=0.2，跨度為a=b=12m，板厚H 為300mm，承受豎向均布荷載q=10.0kN/m2，孔洞直徑D=200mm，孔洞間距

根據(jù)式（14） 和式（15） 得出，Ev=2.81×104MPa，Eh=2.51×104MPa，μh=0.179。

根據(jù)式（11） 和式（12） 和式（13） 得出，w0=11.06mm，Mx0=63673.85N-m/m，My0=63673.85N-m/m。

Mx=1.0387Mx0=1.0387×63673.85=66138N-m/m比有限元計算值65991 大0.2%；

My=0.9444My0=0.9444×63673.85=60133N-m/m比有限元計算值59673 大0.8%；

w=1.2281wx0=1.2281×11.06=13.58mm比有限元計算值13.57mm 大0.07%

由此可見跨中的內(nèi)力、撓度誤差均很小，采用二重Fourier 三角級數(shù)和Rayleigh-Ritz 法求解正交各向異性四邊簡支板的方法具有相當(dāng)高的精度，滿足工程設(shè)計的要求。

4 結(jié)語

本文采用二重Fourier 三角級數(shù)和Rayleigh-Ritz 法推導(dǎo)的計算公式，可以方便地計算出正交各向異性混凝土圓孔空心板的內(nèi)力和撓度，進而可以根據(jù)混凝土理論進行板的抗裂、承載能力和撓度的計算。該方法概念清晰、計算方便，精度高，可以滿足工程設(shè)計的要求，值得我們大力推廣。

二重Fourier 三角級數(shù)形式的解具有很高的理論價值，方法簡單方便。雖然撓度、力矩和剪力的級數(shù)都是收斂的，但是收斂比較緩慢，應(yīng)用重三角級數(shù)求解撓度需取十多項，求內(nèi)力需取二三十項。借助office 2003 中Excel 進行計算，可以大大的減少計算量。