落實(shí)小學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)的途徑：加強(qiáng)學(xué)科內(nèi)涵素養(yǎng)培養(yǎng)

蒙惠芳 符方健 陳振華

[摘? ? ? ? ? ?要]? 統(tǒng)計(jì)與概率是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中唯一研究不確定現(xiàn)象的內(nèi)容。但是由于許多老師的統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)科知識(shí)不扎實(shí)，加上一些陳舊思想的影響，導(dǎo)致本領(lǐng)域內(nèi)容的教學(xué)難以達(dá)到新課標(biāo)的要求。以通俗易懂的語(yǔ)言簡(jiǎn)述概率統(tǒng)計(jì)的基本學(xué)科知識(shí)，使小學(xué)數(shù)學(xué)教師能站在更高層面理解統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容，提高統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容的教學(xué)實(shí)效。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 義務(wù)教育;新課程標(biāo)準(zhǔn);概率統(tǒng)計(jì);學(xué)科知識(shí)

[中圖分類(lèi)號(hào)]? G623.5? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2019）10-0046-02

統(tǒng)計(jì)與概率是小學(xué)教材中的四大學(xué)習(xí)領(lǐng)域之一，但小學(xué)教師對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率的理解程度如何呢？本人多次深入小學(xué)聽(tīng)課或擔(dān)任比賽課評(píng)委，并與小學(xué)數(shù)學(xué)教師座談，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題多多，一些教師面對(duì)概率問(wèn)題的理解時(shí)，僅看到隨機(jī)事件的表面，沒(méi)看到實(shí)質(zhì)，沒(méi)看到隱藏在內(nèi)面的規(guī)律性。新課程標(biāo)準(zhǔn)的十個(gè)核心概念中提出要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用能力，但如果老師對(duì)隨機(jī)性的內(nèi)涵都理解不深，如何開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)呢？如何培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用能力等核心素養(yǎng)呢？本文將結(jié)合概率統(tǒng)計(jì)學(xué)科理論知識(shí)，談?wù)勑W(xué)階段統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)問(wèn)題，以饗讀者。

一、正確認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)與概率的關(guān)系

統(tǒng)計(jì)與概率兩者關(guān)系如何呢？統(tǒng)計(jì)是以概率為基礎(chǔ)，還是概率以統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)呢？新課標(biāo)修訂后，學(xué)生在第一階段不再學(xué)習(xí)概率，僅學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)內(nèi)容，主要理由是在基礎(chǔ)教育階段統(tǒng)計(jì)的重要性是大于概率的，正是基于此，大多數(shù)小學(xué)教師認(rèn)為概率是以統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)的。實(shí)際上，當(dāng)前正邁向人工智能時(shí)代，人工智能就是要對(duì)歷史隨機(jī)大數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，找出大量隨機(jī)數(shù)據(jù)隱藏的內(nèi)在規(guī)律，以概率說(shuō)明隨機(jī)數(shù)據(jù)發(fā)生的可能性大小，從而作出決策。因此，對(duì)大數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)，需要利用概率理論知識(shí)進(jìn)行推斷分析，沒(méi)有概率理論知識(shí)為基礎(chǔ)，是無(wú)法對(duì)大量隨機(jī)數(shù)據(jù)做出科學(xué)判斷的，因此統(tǒng)計(jì)是以概率為基礎(chǔ)的。在小學(xué)階段，因?yàn)槲覀兩婕暗臄?shù)據(jù)是少量的，因此還沒(méi)體現(xiàn)出概率在統(tǒng)計(jì)分析中的作用。綜上可見(jiàn)，正確認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)與概率的關(guān)系，對(duì)課堂教學(xué)具有非常積極的意義和作用。

二、整體認(rèn)識(shí)事件

常言道，要給人一點(diǎn)水，自己必須有一桶水。小學(xué)教師對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)，不能僅僅憑經(jīng)驗(yàn)、憑感覺(jué)，對(duì)教學(xué)教材上的內(nèi)容要有一定的學(xué)科知識(shí)支撐。從事小學(xué)概率的教學(xué)，必須對(duì)事件概念有全面的認(rèn)識(shí)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，隨機(jī)事件就是試驗(yàn)時(shí)可能產(chǎn)生的結(jié)果。不可再分的結(jié)果稱(chēng)為基本事件，基本事件對(duì)應(yīng)試驗(yàn)的具體結(jié)果，基本事件不可能同時(shí)發(fā)生，基本事件發(fā)生的可能性是相等的，也稱(chēng)為等可能性;由二個(gè)（含二個(gè)）以上的基本事件復(fù)合而成的結(jié)果稱(chēng)為復(fù)合事件，復(fù)合事件可以分解為多個(gè)基本事件，復(fù)合事件是可以同時(shí)發(fā)生的。注意到，事件概念中加了“可能”二字。因?yàn)椋怕式y(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是在試驗(yàn)之前對(duì)某個(gè)結(jié)果在試驗(yàn)中以多大可能性出現(xiàn)做預(yù)測(cè)，根據(jù)出現(xiàn)的可能性大小來(lái)指導(dǎo)決策的，也就是它是站在試驗(yàn)之前來(lái)考量的。如果站在試驗(yàn)之后去考量，那么只有兩種結(jié)果：要么發(fā)生（稱(chēng)為必然事件，概率為1），要么不發(fā)生（稱(chēng)為不可能事件，概率為0），這兩種情況都屬于確定性現(xiàn)象，沒(méi)有研究的必要。譬如以彩票開(kāi)獎(jiǎng)為例，假設(shè)昨天（假設(shè)是11日）已開(kāi)出的四字彩大獎(jiǎng)號(hào)碼為1234。今天（12日）來(lái)說(shuō)，昨天11日開(kāi)的七星彩大獎(jiǎng)號(hào)碼為1234的概率為1（已開(kāi)出，成為必然事件），但如果是站在10日前天來(lái)預(yù)測(cè)，昨天11日開(kāi)的四字彩大獎(jiǎng)號(hào)碼為1234的概率為1/10000（隨機(jī)事件）。顯然，11日開(kāi)什么碼，只有在11日開(kāi)獎(jiǎng)之前去預(yù)測(cè)才有價(jià)值，12日去研究就沒(méi)有意義了。特別的由所有基本事件復(fù)合而成的復(fù)合事件是必然發(fā)生的，是必然事件。

三、正確認(rèn)識(shí)概率概念與意義

概率是用來(lái)刻畫(huà)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標(biāo)。隨機(jī)事件具有兩面性：表面上的偶然性與內(nèi)部蘊(yùn)涵著的必然性。在表面上是偶然性起作用的地方，這種偶然性始終受到內(nèi)部隱藏著的規(guī)律支配，而問(wèn)題只在于發(fā)現(xiàn)這種規(guī)律。實(shí)際上，在相同條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)時(shí)，其隨機(jī)事件的內(nèi)部規(guī)律性是可以呈現(xiàn)出來(lái)的，概率統(tǒng)計(jì)的主要任務(wù)就是用數(shù)學(xué)的理論和方法揭示并研究隨機(jī)現(xiàn)象的這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。注意到：隨機(jī)事件的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性是在相同條件下進(jìn)行大量試驗(yàn)時(shí)才逐漸體現(xiàn)出來(lái)的，這從概率的統(tǒng)計(jì)定義及伯努利定理更能深刻認(rèn)識(shí)。

定義1：設(shè)隨機(jī)事件A在那次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生了k次，則比值k/n稱(chēng)為事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率。

定義2：在一組不變的條件下，重復(fù)作n次試驗(yàn)，設(shè)事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了k次。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)，如果頻率k/n穩(wěn)定地在某一常數(shù)p的附近擺動(dòng)，則稱(chēng)此常數(shù)p為事件A發(fā)生的概率，記為P（A）=p.稱(chēng)此概率為隨機(jī)事件A的統(tǒng)計(jì)概率。

由此可見(jiàn)，伯努利定理從理論上闡明了頻率的穩(wěn)定性：只要隨機(jī)試驗(yàn)的次數(shù)n充分大，事件A出現(xiàn)的頻率k/n與事件發(fā)生的概率P無(wú)限的接近，這就是統(tǒng)計(jì)概率的理論基礎(chǔ)。定義和定理為小學(xué)的驗(yàn)證性試驗(yàn)提供了方法論：試驗(yàn)時(shí)得到的實(shí)際是事件A發(fā)生的頻率，只有進(jìn)行很多很多次實(shí)驗(yàn)時(shí)，頻率才接近概率。關(guān)于扔一個(gè)硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的頻率情況，歷史上曾經(jīng)有幾位著名的數(shù)學(xué)家做了試驗(yàn)，結(jié)果如下：

由此可見(jiàn)，扔一個(gè)硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的頻率情況，要進(jìn)行成千上萬(wàn)次的試驗(yàn)其規(guī)律才呈現(xiàn)出來(lái)，才發(fā)現(xiàn)正面向上的頻率在1/2周?chē)▌?dòng)不大，因此1/2代表正面向上的概率。關(guān)于小學(xué)生課堂上每個(gè)學(xué)生少量的試驗(yàn)，是不足以發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律的。課堂上，可以通過(guò)逐步把部分學(xué)生的試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)數(shù)目累加起來(lái)，當(dāng)學(xué)生的人數(shù)逐步增多，試驗(yàn)的總次數(shù)逐漸增大時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)正面向上的頻率在1/2周?chē)鷶[動(dòng)的幅度越來(lái)越小，這時(shí)才水到渠成地讓學(xué)生知道扔一個(gè)硬幣，正、反面向上的機(jī)會(huì)是一樣大的。

作為一名小學(xué)老師，對(duì)可能性大小的判斷，不能只通過(guò)做試驗(yàn)來(lái)去認(rèn)識(shí)，實(shí)際上，小學(xué)研究的概率是理論概率，試驗(yàn)屬于驗(yàn)證性的試驗(yàn)，但課堂上的少量試驗(yàn)是驗(yàn)證不出來(lái)的。因此，小學(xué)教師應(yīng)對(duì)理論概率有深入的理解，才能駕馭課堂試驗(yàn)的開(kāi)展，才能因勢(shì)利導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新意識(shí)。小學(xué)研究的是簡(jiǎn)單事件的概率問(wèn)題，它實(shí)際上就是古典概型的概率。

定義3.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)具有下面兩個(gè)特性：

（1）有限性：只有有限個(gè)不同的基本事件;

（2）等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性均等。

則稱(chēng)這種隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑楣诺涓判?。在古典概型的隨機(jī)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A發(fā)生的概率為

例2.隨機(jī)扔一個(gè)硬幣，求正面向上的概率。

解：隨機(jī)扔一個(gè)硬幣，基本事件為{正面向上}，{反面向上}，共有2個(gè)，其中{正面向上}是其中的一個(gè)，因此P=1/2.

例3.隨機(jī)扔2個(gè)硬幣，求兩個(gè)正面都向上的概率。

解：隨機(jī)扔2個(gè)硬幣，基本事件由（正、正）、（正、反）（反、正）（反、反）共四個(gè)，其中（正、正）占其中一個(gè)，因此兩個(gè)正面都向上的概率為1/4.

如果求出現(xiàn)一正一反的概率，則P=2/4=1/2.

四、結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)我們多次深入小學(xué)對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容的教學(xué)調(diào)研，發(fā)現(xiàn)許多老師對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容的理解錯(cuò)誤百出，深表痛心。本著對(duì)基礎(chǔ)教育的一片責(zé)任心，本文從統(tǒng)計(jì)與概率的學(xué)科知識(shí)方面給老師“補(bǔ)補(bǔ)短”，期望老師能科學(xué)對(duì)待統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)，正確理解事件與概率，培養(yǎng)學(xué)生打破確定性思維，能用隨機(jī)思想正確分析簡(jiǎn)單的不確定現(xiàn)象，達(dá)到新課標(biāo)要求。

參考文獻(xiàn)：

[1]王元.高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].人民教育出版社，2010.

[2]趙冬雪.探討新課標(biāo)理念下小學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)[J].中國(guó)校外教育，2018（23）.

◎編輯 張 慧