基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的頻譜分析方法

李 輝

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300222）

在通信、醫(yī)學(xué)及工程等領(lǐng)域的信號(hào)處理中，基于高斯分布的噪聲模型具有廣泛的理論基礎(chǔ)，并得到了廣泛的應(yīng)用，但在許多實(shí)際應(yīng)用中，由于受自然因素（如雷電、大氣噪聲等）和人為因素（如發(fā)動(dòng)機(jī)、齒輪箱、電動(dòng)機(jī)等故障）的影響，噪聲表現(xiàn)出很強(qiáng)的脈沖沖擊特性——非高斯特性，高斯分布不能很好地刻畫此類噪聲的特性，因而基于高斯分布模型假設(shè)的信號(hào)處理方法不能有效處理非高斯脈沖沖擊信號(hào)，導(dǎo)致處理性能衰退，甚至完全失效。為了有效處理非高斯脈沖沖擊信號(hào)，許多學(xué)者開展了廣泛的研究，提出了混合高斯分布、柯西分布、t 分布和alpha 穩(wěn)定分布等方法，以有效刻畫非高斯脈沖沖擊信號(hào)，其中，alpha 穩(wěn)定分布不但滿足廣義中心極限定理，具有穩(wěn)定性，而且與工程領(lǐng)域的許多實(shí)際數(shù)據(jù)相吻合，因而得到了廣泛的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，alpha 穩(wěn)定分布的概念是Levy 于1925年在研究廣義中心極限定理時(shí)提出的，20世紀(jì)80年代，alpha 穩(wěn)定分布理論在數(shù)學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛的重視和發(fā)展[1]。但是，直到20世紀(jì)90年代，美國學(xué)者Nikias 及其研究團(tuán)隊(duì)才將alpha 穩(wěn)定分布理論推廣到信號(hào)處理領(lǐng)域，并系統(tǒng)建立了基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的信號(hào)處理框架，推動(dòng)了該理論的發(fā)展和應(yīng)用[2-7]。針對(duì)alpha 穩(wěn)定分布噪聲模型，國內(nèi)外學(xué)者提出了許多理論和方法，其中，分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量方法在通信信號(hào)處理[8-11]、工程信號(hào)處理[12-15]等領(lǐng)域得到了廣泛的關(guān)注和應(yīng)用。本文針對(duì)alpha 穩(wěn)定分布噪聲模型，提出了基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的頻譜分析方法，對(duì)幾種分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的頻譜分析結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，并用仿真信號(hào)驗(yàn)證了所提方法的正確性和有效性。

1 alpha穩(wěn)定分布

1.1 alpha穩(wěn)定分布定義

alpha 穩(wěn)定分布常用來刻畫具有脈沖沖擊特性的信號(hào)和噪聲的概率分布模型，但alpha 穩(wěn)定分布沒有顯式的概率密度公式，只能用特征函數(shù)對(duì)其進(jìn)行描述[3]。

如果隨機(jī)變量x 的特征函數(shù)滿足式（1），則稱隨機(jī)變量 x 服從 alpha 穩(wěn)定分布，記為 x～s（α，β，γ，μ），且alpha 穩(wěn)定分布由 α、β、γ 和μ等4個(gè)參數(shù)唯一確定。

式中：

式（1）中，α、β、γ 和 μ 的含義為：

（1）α 是特征指數(shù)（characteristic exponent），滿足0＜α≤2。α 是描述alpha 穩(wěn)定分布脈沖特性強(qiáng)弱的參數(shù)，α 越小，alpha 穩(wěn)定分布的脈沖特性越強(qiáng)，概率密度函數(shù) PDF 圖的拖尾厚度越厚；反之，α 越大，alpha 穩(wěn)定分布的脈沖特性越弱，概率密度函數(shù)圖的拖尾厚度越薄，當(dāng)α 參數(shù)不同時(shí)alpha 穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)PDF 如圖1所示。

（2）β 是偏度參數(shù)（skewness parameter），滿足-1≤β≤1，是描述 alpha 穩(wěn)定分布偏度的參數(shù)，當(dāng) β＜0 時(shí)，alpha 穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)曲線向右傾斜；當(dāng)β ＞0 時(shí)，alpha 穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)曲線向左傾斜；當(dāng)β=0 時(shí)，alpha 穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)曲線對(duì)稱，成為對(duì)稱的alpha 穩(wěn)定分布（symmetric alpha stable distribution，SαS），β 參數(shù)不同時(shí) alpha 穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)如圖2所示。

圖1 α 參數(shù)不同時(shí)alpha 穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)

圖2 β 參數(shù)不同時(shí)alpha 穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)

（3）γ 是分散參數(shù)（dispersion parameter），滿足γ≥0，其含義與高斯分布中的方差σ 相似，描述脈沖的離散程度，γ 參數(shù)不同時(shí)alpha 穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)如圖3所示。

圖3 γ 參數(shù)不同時(shí)alpha 穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)

（4）μ 是位置參數(shù)（location parameter），滿足-∞＜μ＜∞，對(duì)于對(duì)稱的 alpha 穩(wěn)定分布，當(dāng) 0＜α＜1時(shí)，μ 為中值；當(dāng) 1＜α≤2 時(shí)，μ 為平均值，μ 參數(shù)不同時(shí)alpha 穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)如圖4所示。

alpha 穩(wěn)定分布的特征函數(shù)φ（t）與其概率密度函數(shù)PDF 是傅里葉變換對(duì)，因此可以通過計(jì)算特征函數(shù)φ（t）的傅里葉變換，得到alpha 穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)PDF。

圖4 μ 參數(shù)不同時(shí)alpha 穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)

1.2 alpha穩(wěn)定分布的主要性質(zhì)

特征函數(shù)φ（t）是分析alpha 穩(wěn)定分布的主要工具，利用式（1）可以推導(dǎo)出alpha 穩(wěn)定分布的主要性質(zhì)，并可得到對(duì)α、β、γ 和μ 4 個(gè)參數(shù)的解釋。

性質(zhì)1若x1和x2為獨(dú)立的隨機(jī)變量，且滿足xi～s（αi，βi，γi，μi），i=1，2，則x=x1+x2滿足x～s（α，β，γ，μ），且

性質(zhì)2若 x～s（α，β，γ，μ），c 為實(shí)常數(shù)，則 x +c～ s（α，β，γ，μ +c）。

性質(zhì)3若 x～s（α，β，γ，μ），當(dāng) 0＜α＜2 時(shí)，對(duì)任意實(shí)常數(shù) 0＜p＜α，存在 E[|x|p]＜∞；對(duì)任意實(shí)常數(shù) p≥α，存在E[|x|p]=∞。

性質(zhì)4若 x～s（α，β，γ，μ），當(dāng) α=2 時(shí)，對(duì)任意實(shí)常數(shù) p≥0，存在 E[|x|p]＜∞。

性質(zhì)5當(dāng)且僅當(dāng)偏度參數(shù) β=0 時(shí)，x～s（α，β，γ，μ）是關(guān)于 μ 對(duì)稱的。

由性質(zhì)3 和性質(zhì)4 可知：

（1）當(dāng)0＜α≤1時(shí)，alpha 穩(wěn)定分布只存在分?jǐn)?shù)低階矩（p＜α），不存在一階矩、二階矩和高階矩。

（2）當(dāng)1＜α＜2時(shí)，alpha 穩(wěn)定分布存在分?jǐn)?shù)低階矩（p＜α）和一階矩，不存在二階矩和高階矩。

（3）當(dāng)α=2時(shí)，alpha 穩(wěn)定分布存在分?jǐn)?shù)低階矩（p＜α）、一階矩、二階矩和高階矩。

2 分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量

根據(jù)alpha 穩(wěn)定分布的性質(zhì)，對(duì)于服從alpha 穩(wěn)定分布的隨機(jī)變量 x，當(dāng) 0＜α＜2 時(shí)，隨機(jī)變量 x 的二階及二階以上的高階統(tǒng)計(jì)量都是不存在的，因此基于二階統(tǒng)計(jì)量的傳統(tǒng)信號(hào)處理方法（如功率譜），在處理服從alpha 穩(wěn)定分布的信號(hào)時(shí)，將導(dǎo)致性能衰退，甚至失效，而基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的信號(hào)處理方法是分析alpha 穩(wěn)定分布信號(hào)的有效工具之一。分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量主要包括分?jǐn)?shù)低階矩、共變、分?jǐn)?shù)低階相關(guān)、分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差、相位分?jǐn)?shù)低階矩和相位分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差。

2.1 分?jǐn)?shù)低階矩

若隨機(jī)變量x～SαS，且滿足 0＜α≤2，則其分?jǐn)?shù)低階矩（fractional lower order moment，F(xiàn)LOM）E[|x|p]定義為：

式中：Γ（·）為伽馬函數(shù)，即：

2.2 共變

若隨機(jī)變量x 和y 服從聯(lián)合對(duì)稱SαS 分布，且滿足 1＜α≤2，則隨機(jī)變量x 和 y 的共變?yōu)椋?/p>

式中：γy為隨機(jī)變量y 的分散參數(shù)，若y 為實(shí)數(shù)，則y＜p＞=|y|psign（y），若 y 為復(fù)數(shù)，則 y＜p＞=|y|p-1y*，（·）*為共軛運(yùn)算符。

2.3 分?jǐn)?shù)低階相關(guān)

若隨機(jī)變量x 和y 服從聯(lián)合對(duì)稱SαS 分布，且滿足1＜α≤2，則隨機(jī)變量 x 和 y 的分?jǐn)?shù)低階相關(guān)（fractional lower order correlation，F(xiàn)LOC）為：

從式（8）可知：當(dāng)p=2 時(shí)，分?jǐn)?shù)低階相關(guān)變?yōu)閭鹘y(tǒng)的自相關(guān)函數(shù)。

2.4 分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差

若隨機(jī)變量x 和y 服從聯(lián)合對(duì)稱SαS 分布，且滿足0＜α≤2，則隨機(jī)變量x 和y 的分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差（fractional lower order covariance，F(xiàn)LOC）為：

2.5 相位分?jǐn)?shù)低階矩

若隨機(jī)變量 x～SαS，且滿足 0＜α≤2，則隨機(jī)變量x的相位分?jǐn)?shù)低階矩（phased fractional lower order moment，PFLOM）為：

2.6 相位分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差

若隨機(jī)變量x 和y 服從聯(lián)合對(duì)稱SαS 分布，且滿足0＜α≤2，則隨機(jī)變量x 和y 的相位分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差（phased fractional lower order covariance，PFLOC）為：

3 基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的頻譜分析方法

根據(jù)傳統(tǒng)的信號(hào)分析理論，若信號(hào)x 服從高斯分布規(guī)律，則其自相關(guān)函數(shù)Rx（τ）及功率譜Sx（f）為傅里葉變換對(duì)，即：

圖5 余弦信號(hào)與alpha 穩(wěn)定分布噪聲的合成信號(hào)及其頻譜

當(dāng)信號(hào)x 不服從高斯分布規(guī)律，如服從alpha穩(wěn)定分布時(shí)，由于信號(hào)x 的二階統(tǒng)計(jì)量不存在，因而不能用傳統(tǒng)的功率譜對(duì)其進(jìn)行頻譜分析。從前面分析可知：分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量是處理alpha 穩(wěn)定分布信號(hào)和噪聲的有力工具，因此基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的頻譜分析步驟為：

（1）計(jì)算信號(hào)x（t）的分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量。

（2）計(jì)算信號(hào)x（t）分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的傅里葉變換。

為了驗(yàn)證該方法的正確性和有效性，假設(shè)信號(hào)x（t）為：

式中：A 為余弦信號(hào)的幅值；θ0為初始相位；n（t）為alpha穩(wěn)定分布噪聲。取A=1，θ0=0，f=50 Hz，采樣頻率fs=1 000 Hz，采樣時(shí)間 1 s。

余弦信號(hào)與alpha 穩(wěn)定分布噪聲的合成信號(hào)及其頻譜如圖5所示。

合成信號(hào)的廣義信噪比為GSNR=-5，從圖5（c）很難看出合成信號(hào)中的周期性信號(hào)成分。從圖5（d）中也難以識(shí)別頻率為50 Hz 的周期成分。合成信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)及其頻譜如圖6所示。由于alpha 穩(wěn)定分布噪聲的二階統(tǒng)計(jì)量不存在，從圖6（a）中看不出周期性的變化波形，而從圖6（b）中也難以有效識(shí)別頻率為50 Hz 的周期成分。因此，驗(yàn)證了基于二階統(tǒng)計(jì)量的信號(hào)分析方法，在處理alpha 穩(wěn)定分布信號(hào)時(shí)造成性能衰退或失效，因而傳統(tǒng)的信號(hào)處理方法難以有效提取alpha 穩(wěn)定分布噪聲中的周期信號(hào)成分。

圖6 合成信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)及其頻譜

為有效識(shí)別合成信號(hào)中的頻譜成分，按本文提出的方法，先計(jì)算合成信號(hào)x（t）的分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量，合成信號(hào)x（t）的共變、分?jǐn)?shù)低階相關(guān)、分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差、相位分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差，合成信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量如圖7所示。

對(duì)比圖6和圖7可以看出，由于合成信號(hào)不存在二階統(tǒng)計(jì)量，因此傳統(tǒng)的自相關(guān)分析難以提取合成信號(hào)中的周期成分，而分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量能從alpha 穩(wěn)定分布噪聲下，提取合成信號(hào)中的周期成分。同時(shí)，從圖7還可以看出，分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差和相位分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差比共變或分?jǐn)?shù)低階相關(guān)的降噪性能更好，圖7（c）和圖7（d）比圖7（a）和圖7（b）中的周期性信號(hào)成分更明顯。

合成信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的傅里葉變換如圖8所示。從圖8可以看出，在頻率50 Hz 處存在明顯的峰值，因此基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的頻譜分析方法能從alpha 穩(wěn)定分布噪聲下，有效提取頻率為50 Hz 的成分。對(duì)比圖8（c）、圖8（d）和圖8（a）、圖8（b）可以看出，基于分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差和相位分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差的傅里葉變換比基于共變和分?jǐn)?shù)低階相關(guān)的傅里葉變換的降噪性能更好，因而基于分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差和相位分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差的頻譜分析方法能更好地從alpha 穩(wěn)定分布噪聲下提取噪聲信號(hào)中的頻率成分。

圖7 合成信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量

圖8 合成信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的傅里葉變換

4 結(jié) 語

由于alpha 穩(wěn)定分布信號(hào)的二階統(tǒng)計(jì)量不存在，因而基于二階統(tǒng)計(jì)量的傳統(tǒng)頻譜分析方法，難以有效處理alpha 穩(wěn)定分布信號(hào)，而基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的信號(hào)分析方法是處理alpha 穩(wěn)定分布信號(hào)的有力工具，基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的信號(hào)分析方法，能有效識(shí)別alpha 穩(wěn)定分布噪聲下的周期性頻率成分。本文通過理論分析和仿真信號(hào)，驗(yàn)證了基于分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差和相位分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差的頻譜分析方法具有更好的alpha 穩(wěn)定分布噪聲抑制能力，能更好地從alpha 穩(wěn)定分布噪聲下提取噪聲信號(hào)中的頻率成分，成為分析alpha 穩(wěn)定分布信號(hào)的有力工具。