高中數(shù)學(xué)素養(yǎng)怎樣落實(shí)在分析和解決問題的能力上

陜西省岐山縣岐山高級中學(xué)(722400)楊宗敏

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(17 版)將數(shù)學(xué)科核心素養(yǎng)細(xì)化成數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析五方面,這些核心素養(yǎng)各有側(cè)重又相互交融,最終都要體現(xiàn)在學(xué)生分析問題解決問題的能力上.數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升了,分析解決問題的能力隨之提升,同時(shí),在分析解決問題的過程中,也能鍛煉提升數(shù)學(xué)素養(yǎng),本文以分析解決問題為切入點(diǎn),談一下數(shù)學(xué)素養(yǎng)怎么樣落實(shí)到解題上.

分析和解決問題的能力是指能閱讀、理解對問題進(jìn)行陳述的材料;能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決問題,包括解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題,并能用數(shù)學(xué)語言正確地加以表述.它是邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力等基本數(shù)學(xué)能力的綜合體現(xiàn).由于高考數(shù)學(xué)科的命題原則是在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上,注重對數(shù)學(xué)思想和方法的考查,注重?cái)?shù)學(xué)能力的考查,強(qiáng)調(diào)了綜合性.這就對考生分析和解決問題的能力提出了更高的要求,也使試卷的題型更新,更具有開放性.縱觀近幾年的高考,學(xué)生在這一方面失分都普遍存在,這就要求我們教師在平時(shí)教學(xué)中既要培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng),又要注重分析和解決問題能力的培養(yǎng),以減少在這一方面的失分.

1、分析和解決問題能力的組成

1.1.審題能力

審題是對條件和問題進(jìn)行全面認(rèn)識,對與條件和問題有關(guān)的全部情況進(jìn)行分析研究,它是如何分析和解決問題的前提.審題能力主要是指充分理解題意,把握住題目本質(zhì)的能力; 分析、發(fā)現(xiàn)隱含條件以及化簡、轉(zhuǎn)化已知和所求的能力.要快捷、準(zhǔn)確在解決問題,掌握題目的數(shù)形特點(diǎn)、能對條件或所求進(jìn)行轉(zhuǎn)化和發(fā)現(xiàn)隱含條件是至關(guān)重要的.

例1已知求tanαtanβ的值.

分析怎樣利用已知的二個(gè)等式? 初看好象找不出條件和結(jié)論的聯(lián)系.只好從未知tanαtanβ入手,當(dāng)然,首先想到的是把tanα、tanβ分別求出,然后求出它們的乘積,這是個(gè)辦法,但是不好求;于是可考慮將tanαtanβ寫成,轉(zhuǎn)向求sinαsinβ、cosαcosβ.令x=cosαcosβ,y= sinαsinβ,于 是從方程的觀點(diǎn)看,只要有x、y的二元一次方程就可求出x、y.于是轉(zhuǎn)向求x+y= cos(α-β),x-y= cos(α+β).這樣把問題轉(zhuǎn)化為下列問題:已知②,求cos(α+β)、cos(α-β)的值.①2+ ②2得得這樣問題就可以解決.

從剛才的解答過程中可以看出,解決此題的關(guān)鍵在于挖掘所求和條件之間的聯(lián)系,這需要一定的審題能力.由此可見,審題能力應(yīng)是分析和解決問題能力的一個(gè)基本組成部分.

1.2 合理應(yīng)用知識、思想、方法解決問題的能力

高中數(shù)學(xué)知識包括函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等內(nèi)容;數(shù)學(xué)思想包括數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想、分類與討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化等;數(shù)學(xué)方法包括待定系數(shù)法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、配方法等基本方法.只有理解和掌握數(shù)學(xué)基本知識、思想、方法,才能解決高中數(shù)學(xué)中的一些基本問題,而合理選擇和應(yīng)用知識、思想、方法可以使問題解決得更迅速、順暢.

例2設(shè)函數(shù)其中a ＞0.

(I)解不等式f(x)≤1;

(II)求a的取值范圍,使函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是單調(diào)函數(shù).

解(I)不等式f(x)≤1 即由此得1 ≤1+ax,即ax≥0,其中常數(shù)a ＞0.所以,原不等式等到價(jià)于

(II)在區(qū)間[0,+∞)上任取x1,x2,使得x1＜

(i)當(dāng)a≥1 時(shí),因?yàn)樗杂謝1- x2＜0,所以f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2),所以,當(dāng)a≥1 時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).

(ii)當(dāng)0＜a ＜1 時(shí),在區(qū)間[0,+∞)上存在兩點(diǎn)滿足f(x1)=f(x2)= 1,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上不是單調(diào)函數(shù).

綜上,當(dāng)且僅當(dāng)a≥1 時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是單調(diào)函數(shù).

在上述的解答過程中可以看出,本題主要考查不等式的解法、函數(shù)的單調(diào)性等基本知識,解決本問題除概念清析外,還要具備會用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,具備邏輯推理能力.

1.3 數(shù)學(xué)建模能力

近幾年來,在高考數(shù)學(xué)試卷中,都有幾道實(shí)際應(yīng)用問題,這給學(xué)生的分析和解決問題的能力提出了挑戰(zhàn).而數(shù)學(xué)建模能力是解決實(shí)際應(yīng)用問題的重要途徑和核心.

例3下圖為一臺冷軋機(jī)的示意圖.冷軋機(jī)由若干對軋輥組成,帶鋼從一端輸入,經(jīng)過各對軋輥逐步減薄后輸出.

圖1

(I)輸入帶鋼的厚度為α,輸出帶鋼的厚度為β,若每對軋輥的減薄率不超過r0.問冷軋機(jī)至少需要安裝多少對軋輥? (一對軋輥減薄率 =

(II)已知一臺冷軋機(jī)共有4 對減薄率為20%的軋輥,所有軋輥周長為1600mm.若第k對軋輥有缺陷,每滾動(dòng)一周在帶鋼上壓出一個(gè)疵點(diǎn),在冷軋機(jī)輸出的帶鋼上,疵點(diǎn)的間距為Lk.為了便于檢修,請計(jì)算L1、L2、L3并填入下表(軋鋼過程中,帶鋼寬度為變,且不考慮損耗).

軋輥序號k 1 2 3 4疵點(diǎn)間距Lk (單位:mm)1600

解厚度為α的帶鋼經(jīng)過減薄率均為r0的n對軋輥后厚度為α(1-r0)n.為使輸出帶鋼的厚度不超過β,冷軋機(jī)的軋輥數(shù)(以對為單位)應(yīng)滿足α(1-r0)n≤β,即由于對上式兩端取對數(shù),得由于lg(1-r0)＜0,所以因此,至少需要安裝不小于的整數(shù)對軋輥.

(II)第k對軋輥出口處疵點(diǎn)間距離為軋輥周長,在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積為1600· α(1- r)k ·寬度(其中r= 20%),而在冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積為Lk · α(1- r)4·寬度.因?qū)挾认嗟?且無損耗,由體積相等得1600· α(1- r)k=Lk · α(1- r)4(r= 20%),即Lk= 1600·0.8k-4.由此得L3= 2000(m m),L2= 2500(m m),L1=3125(m m).填表如下:

軋輥序號k 1 2 3 4疵點(diǎn)間距Lk (單位:mm)3125 2500 2000 1600

評述(I)題是一個(gè)常見的等比數(shù)列模型問題,即平均變化率類型,要解決該問題關(guān)鍵是理解題中“若每對軋輥的減薄率不超過r0”的含義; (II)題若通過合理聯(lián)想,帶鋼從第k對軋輥出口處兩疵點(diǎn)間的距離和冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間的距離的關(guān)系,由于在此過程中,兩疵點(diǎn)間的鋼板體積相等,故是一等體積幾何模型問題,可列式:1600·α(1-r)k·寬度=Lk·α(1-r)4·寬度..

在該題的解答中,學(xué)生若沒有一定的數(shù)學(xué)建模能力,正確解決此題實(shí)屬不易.因此,建模能力是分析和解決問題能力不可或缺的一個(gè)組成部分.

2、培養(yǎng)和提高分析和解決問題能力的策略

2.1.重視通性通法教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生概括、領(lǐng)悟常見的數(shù)學(xué)思想與方法

數(shù)學(xué)思想較之?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,有更高的層次和地位.它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中,它是一種數(shù)學(xué)意識,屬于思維的范疇,用以對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、處理和解決.數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn),具有模式化與可操作性的特征,可以作為解題的具體手段.只有對數(shù)學(xué)思想與方法概括了,才能在分析和解決問題時(shí)得心應(yīng)手;只有領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思想與方法,書本的、別人的知識技巧才會變成自已的能力.

每一種數(shù)學(xué)思想與方法都有它們適用的特定環(huán)境和依據(jù)的基本理論,如分類討論思想可以分成:(1)由于概念本身需要分類的,象等比數(shù)列的求和公式中對公比q的分類和直線方程中對斜率k的分類等;(2)同解變形中需要分類的,如含參問題中對參數(shù)的討論、解不等式組中解集的討論等.又如數(shù)學(xué)方法的選擇,二次函數(shù)問題常用配方法,含參問題常用待定系數(shù)法等.因此,在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)重視通性通法,淡化特殊技巧,使學(xué)生認(rèn)識一種“思想”或“方法”的個(gè)性,即認(rèn)識一種數(shù)學(xué)思想或方法對于解決什么樣的問題有效.從而培養(yǎng)和提高學(xué)生合理、正確地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法分析和解決問題的能力.

2.2.加強(qiáng)應(yīng)用題的教學(xué),提高學(xué)生的模式識別能力

高考是注重能力的考試,特別是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法分析問題和解決問題的能力,更是考查的重點(diǎn),而高考中的應(yīng)用題就著重考查這方面的能力,這從新版的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》與《考試說明》中對能力的要求的區(qū)別可見一斑.

數(shù)學(xué)是充滿模式的,就解應(yīng)用題而言,對其數(shù)學(xué)模式的識別是解決它的前提.由于高考考查的都不是原始的實(shí)際問題,命題者對生產(chǎn)、生活中的原始問題的設(shè)計(jì)加工使每個(gè)應(yīng)用題都有其數(shù)學(xué)模型.如1997年的“運(yùn)輸成本問題”為函數(shù)與均值不等式;1998年的“污水池問題”為函數(shù)、立幾與均值不等式; 1999年的“減薄率問題”是數(shù)列、不等式與方程;2000年的“西紅柿問題”是分段式的一次函數(shù)與二次函數(shù)等等.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,不但要重視應(yīng)用題的教學(xué),同時(shí)要對應(yīng)用題進(jìn)行專題訓(xùn)練,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、歸納各種應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型,這樣學(xué)生才能有的放矢,合理運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法分析和解決實(shí)際問題.

2.3.適當(dāng)進(jìn)行開放題和新型題的訓(xùn)練,拓寬學(xué)生的知識面

要分析和解決問題,必先理解題意,才能進(jìn)一步運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決問題.近年來,隨著新技術(shù)革命的飛速發(fā)展,要求數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)出更高數(shù)學(xué)素養(yǎng)、具有更強(qiáng)的創(chuàng)新能力的人才,這一點(diǎn)體現(xiàn)在高考上就是一些新背景題、開放題的出現(xiàn),更加注重了能力的考查.由于開放題的特征是題目的條件不充分,或沒有確定的結(jié)論,而新背景題的背景新,這樣給學(xué)生在題意的理解和解題方法的選擇上制造了不少的麻煩,導(dǎo)致失分率較高.如1999年理科的第16 題,學(xué)生由于對“壟”和“減薄率不超過r0”不理解而不知所措;因此,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)進(jìn)行開放題和新型題的訓(xùn)練,拓寬學(xué)生的知識面是提高學(xué)生分析和解決問題能力的必要的補(bǔ)充.

2.4.重視解題的回顧總結(jié)

在數(shù)學(xué)解題過程中,解決問題以后,再回過頭來對自己的解題活動(dòng)加以回顧與探討、分析與研究,是非常必要的一個(gè)重要環(huán)節(jié).這是數(shù)學(xué)解題過程的最后階段,也是對提高學(xué)生分析和解決問題能力最有意義的階段.

解題教學(xué)的目的并不單純?yōu)榱饲蟮脝栴}的結(jié)果,真正的目的是為了提高學(xué)生分析和解決問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神,而這一教學(xué)目的恰恰主要通過回顧解題的教學(xué)來實(shí)現(xiàn).所以,在數(shù)學(xué)教學(xué)中要十分重視解題的回顧總結(jié),與學(xué)生一起對解題的結(jié)果和解法進(jìn)行細(xì)致的分析,對解題的主要思想、關(guān)鍵因素和同一類型問題的解法進(jìn)行概括,可以幫助學(xué)生從解題中總結(jié)出數(shù)學(xué)的基本思想和方法加以掌握,并將它們用到新的問題中去,成為以后分析和解決問題的有力武器.