利用信息技術(shù)由簡(jiǎn)到難解決問(wèn)題
——《一次函數(shù)圖像下三角形的面積》課堂實(shí)例

江蘇省蘇州高新區(qū)第五初級(jí)中學(xué)校 陸 一

一、教材分析

本節(jié)課內(nèi)容為一次函數(shù)的專(zhuān)題復(fù)習(xí)課，一次函數(shù)圖像下的三角形面積是一個(gè)?？純?nèi)容。本節(jié)課從坐標(biāo)三角形入手，利用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)地努力探索：①一條直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形；②兩條直線(xiàn)與一條坐標(biāo)軸圍成的三角形；③三條直線(xiàn)圍成的三角形的面積的一般求法（以下分別稱(chēng)第一類(lèi)三角形、第二類(lèi)三角形、第三類(lèi)三角形）。在方法的探索過(guò)程中，努力滲透數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化（歸納）思想、類(lèi)比思想以及方法優(yōu)化的思想。

二、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)技能：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)求一次函數(shù)圖像下三角形的面積。

數(shù)學(xué)思考在方法的探索過(guò)程中，滲透數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化（歸納）思想、類(lèi)比思想以及方法優(yōu)化的思想，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

解決問(wèn)題：體會(huì)解決一次函數(shù)圖像下三角形的面積的關(guān)鍵是求“關(guān)鍵點(diǎn)”的坐標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)抓住問(wèn)題主要矛盾的意識(shí)。

情感態(tài)度：在利用幾何畫(huà)板解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生主動(dòng)參與，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜地解決問(wèn)題，積累成功的經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)成功的快樂(lè)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

三、教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)1 復(fù)習(xí)回顧

如圖1，在△ABC中，我們已知哪些條件，可以求△ABC的面積？

圖1

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)簡(jiǎn)單的復(fù)習(xí)，使學(xué)生參與到課堂中?；貞浺话闱笕切蚊娣e的關(guān)鍵——三角形的底和高，復(fù)習(xí)三角形的面積公式：S三角形=×底×高。

環(huán)節(jié)2 一條直線(xiàn)與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形

在平面直角坐標(biāo)系中，我們也常常會(huì)遇到求三角形面積的問(wèn)題，如圖2的平面直角坐標(biāo)系中，只要添一條與坐標(biāo)軸不平行的直線(xiàn)，就能構(gòu)成一個(gè)三角形。讓學(xué)生來(lái)添加直線(xiàn)：學(xué)生添加任意一條與坐標(biāo)軸不平行的直線(xiàn)。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生添加直線(xiàn)y=2x-4，與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，如圖3，求△OAB的面積。

分析：這個(gè)三角形是一條直線(xiàn)與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形，為直角三角形。求解直角三角形的面積只要求得直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)，如何求兩條直角邊的長(zhǎng)，則要求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)：A（2,0），B（0，-4）。請(qǐng)學(xué)生規(guī)范求解直線(xiàn)y=2x-4與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，展示自己的解答過(guò)程。

圖2

圖3

設(shè)計(jì)意圖：在這個(gè)環(huán)節(jié)中，利用幾何畫(huà)板添加直線(xiàn)y=2x-4，學(xué)生感受從無(wú)到有的動(dòng)態(tài)過(guò)程。學(xué)生自己選擇添加直線(xiàn)，增加學(xué)生對(duì)課堂的參與度，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。本節(jié)課為一次函數(shù)的復(fù)習(xí)課，學(xué)生已經(jīng)掌握了“一次函數(shù)圖像是一條直線(xiàn)”這一基本性質(zhì)以及直線(xiàn)與直線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法。添加直線(xiàn)的問(wèn)題請(qǐng)基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生來(lái)作答，并且第一類(lèi)三角形為直角三角形，面積簡(jiǎn)單易求，照顧各個(gè)知識(shí)層面的學(xué)生，有利于實(shí)現(xiàn)每一個(gè)學(xué)生的發(fā)展。

環(huán)節(jié)3 兩條直線(xiàn)與一條坐標(biāo)軸圍成的三角形

在圖3的基礎(chǔ)上再添加一條直線(xiàn)，會(huì)出現(xiàn)怎樣的三角形呢？在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生添加直線(xiàn)y=-x+2，如圖4。問(wèn)題1：此時(shí)圖中有幾個(gè)三角形？問(wèn)題2：這些三角形的面積各是多少呢？

分析：直線(xiàn)y=-x+2與直線(xiàn)y=2x-4交于點(diǎn)A(2，0)，直線(xiàn)y=-x+2交y軸于點(diǎn)C(0，2)，此時(shí)圖中共有三個(gè)三角形，分別為△OCA、△OAB、△ABC。對(duì)于△OCA與△OAB是第一類(lèi)三角形，學(xué)生能很容易地求出。對(duì)于△ABC，首先分析△ABC的特點(diǎn)：是由兩條直線(xiàn)與一條坐標(biāo)軸圍成的一般三角形。在課堂討論以及總結(jié)中，兩種方法可以求△ABC的面積：

間接法：S△ABC=S△OCA+S△OAB；

直接法：求△ABC的底和高，然后再利用三角形的面積公式S三角形=×底×高，求△ABC的面積。那么以△ABC的哪一邊為底呢？高又是哪一條線(xiàn)段呢？學(xué)生根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，選擇BC為底，則OA為高。如何求BC、OA的長(zhǎng)？只需要分別已知點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，A(2，0)，B（0，-4），C(0，2)，所以BC=6，OA=2，所以

圖4

圖5

配套練習(xí)：如圖5，將直線(xiàn)y=-x+2向下平移3個(gè)單位，分別與x軸，y軸交于D,E兩點(diǎn)，與直線(xiàn)y=2x-4交于點(diǎn)F。此時(shí)圖5中有幾個(gè)三角形，它們的面積分別是多少？

分析：隨著直線(xiàn)的運(yùn)動(dòng)，圖5中第二類(lèi)三角形變得更為一般，但是要求三角形的面積仍然要求“關(guān)鍵點(diǎn)”的坐標(biāo)。學(xué)生討論圖5中有幾個(gè)三角形時(shí)，在前面對(duì)三角形類(lèi)型的鋪墊，較容易地通過(guò)三角形的類(lèi)別來(lái)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)三角形的個(gè)數(shù)。通過(guò)觀(guān)察、學(xué)生更愿意用直接法來(lái)求解。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)在圖3中再添一條直線(xiàn)，形成第二類(lèi)三角形，在這個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程中，學(xué)生巧妙地添加了一條與第一條直線(xiàn)在x軸上有公用交點(diǎn)的直線(xiàn)，有利于學(xué)生對(duì)一次函數(shù)相關(guān)概念的復(fù)習(xí)回顧，這是“直接給出一條直線(xiàn)”沒(méi)有辦法達(dá)到的。在利用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)添加直線(xiàn)的過(guò)程中，學(xué)生對(duì)于三角形的變化更加直觀(guān)清晰，有利于學(xué)生對(duì)求解三角形面積方法的探索與總結(jié)。在配套練習(xí)當(dāng)中，“有幾個(gè)三角形”，學(xué)生很好地掌握分類(lèi)討論的思想，求解第二類(lèi)三角形面積的時(shí)候，體現(xiàn)方法優(yōu)化的思想。

環(huán)節(jié)4 三條直線(xiàn)圍成的三角形

1.其中一邊與坐標(biāo)軸平行

在圖5的基礎(chǔ)上，添加一條過(guò)（4,0）平行于y軸的直線(xiàn)，與直線(xiàn)y=2x-4、直線(xiàn)y=-x-1分別交于點(diǎn)G、點(diǎn)H，如圖6。圖6中除了第一類(lèi)、第二類(lèi)三角形，還有沒(méi)有其他類(lèi)型的三角形？如果有，這個(gè)三角形的面積如何求？

分析：△GHF是不屬于第一、二兩類(lèi)的第三類(lèi)三角形，它是由三條直線(xiàn)圍成的三角形，并且有一條直線(xiàn)（一條邊）平行于y軸。求△GHF的面積，學(xué)生與第二類(lèi)三角形進(jìn)行類(lèi)比。用直接法來(lái)求解，選擇平行于y軸的邊GH為底，過(guò)點(diǎn)F作GH邊的高FP，如圖7，求GH以及FP的長(zhǎng)，關(guān)鍵求F、G、H三點(diǎn)的坐標(biāo)（過(guò)程略），F(xiàn)（1，-2）、G（4，-5）、H（4，4），所以GH=9，F(xiàn)P=3，所以

圖6

圖7

設(shè)計(jì)意圖：從兩條直線(xiàn)與一條坐標(biāo)軸圍成的三角形過(guò)渡到三條直線(xiàn)圍成的三角形，如果這個(gè)三角形的三邊均不具有特殊性，那么學(xué)生建立起方法上的聯(lián)系就比較困難。所以選擇添加一條與y軸平行的直線(xiàn)，不至于與第二類(lèi)三角形脫節(jié)，有利于學(xué)生進(jìn)行方法上的類(lèi)比遷移。

2.三邊都不平行于坐標(biāo)軸

在圖5的基礎(chǔ)上，請(qǐng)學(xué)生添加一條不平行于坐標(biāo)軸的一條直線(xiàn)，實(shí)現(xiàn)從4.1的特殊到一般的轉(zhuǎn)化。實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生添加了直線(xiàn)y=-4x+11，與直線(xiàn)y=2x-4、直線(xiàn)y=-x-1分別交于點(diǎn)M、點(diǎn)H，如圖8。圖中有幾個(gè)三角形？它們的面積分別是多少？

分析：這個(gè)三角形是由三條直線(xiàn)圍成的三角形，是一般的三角形。圖中有幾個(gè)三角形，通過(guò)分類(lèi)談?wù)摰姆椒ê苋菀渍页鰜?lái)。對(duì)于求△MFH的面積，在之前的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生已經(jīng)掌握用“割補(bǔ)法”求三角形的面積。通過(guò)以上探究，學(xué)生自由討論，得到如下的方法：

圖8

（1）過(guò)M點(diǎn)作一條平行于y軸的直線(xiàn)，將△MFH割成兩個(gè)4.1中的三角形，通過(guò)求“關(guān)鍵點(diǎn)”的坐標(biāo)，利用公式求三角形的面積。

（2）過(guò)F點(diǎn)作平行于x軸的直線(xiàn)。

（3）過(guò)H點(diǎn)作一條平行于y軸的直線(xiàn)。

（4）分別過(guò)M點(diǎn)作一條平行于x軸的直線(xiàn)，過(guò)F點(diǎn)作平行于y軸的直線(xiàn)，過(guò)H點(diǎn)作一條平行于y軸的直線(xiàn)和一條平行于x軸的直線(xiàn)，補(bǔ)成矩形。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)直線(xiàn)添加以及變化，從特殊簡(jiǎn)單的三角形到一般復(fù)雜的三角形，這一第三類(lèi)三角形以前面的三角形面積求解方法為基礎(chǔ)，通過(guò)“割”或“補(bǔ)”的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并在一題多解中，滲透方法優(yōu)化的思想。

四、教學(xué)感悟

在本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)幾何畫(huà)板，動(dòng)態(tài)的實(shí)現(xiàn)平面直角坐標(biāo)系中三角形的從無(wú)到有，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，即從特殊到一般的過(guò)程，照顧各個(gè)知識(shí)層面的學(xué)生，有利于實(shí)現(xiàn)每一個(gè)學(xué)生的發(fā)展。學(xué)生自己添加直線(xiàn)，大大提高了學(xué)生對(duì)于課堂的參與度以及學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。

就本節(jié)課的知識(shí)內(nèi)容而言，在第一、第二兩類(lèi)三角形面積求法的探索中，凸顯兩類(lèi)特殊點(diǎn)（直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)以及兩直線(xiàn)的交點(diǎn)）的作用，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，積累成功的經(jīng)驗(yàn)，并把這些成功的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)遷移到后續(xù)問(wèn)題的解決中。在方法的探索過(guò)程中，努力滲透數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化（歸納）思想、類(lèi)比思想以及方法優(yōu)化的思想。對(duì)于第三類(lèi)三角形面積的求法，這里做一些探索和積累，為九年級(jí)二次函數(shù)背景下三角形面積最值的解決埋下伏筆，打下一定的基礎(chǔ)。