基于混合基的稀疏表示響應(yīng)面構(gòu)建方法

王科峰

摘要：隨著現(xiàn)代產(chǎn)品的仿真模型求解時(shí)間也越來(lái)越長(zhǎng)，響應(yīng)面可用來(lái)替代仿真模型，減少仿真時(shí)間。稀疏表示響應(yīng)面則是利用稀疏表示的思想，尋找仿真模型在基函數(shù)上的稀疏表示，可通過(guò)較少的采樣點(diǎn)構(gòu)建高精度的稀疏表示響應(yīng)面，從而替代仿真模型，提高仿真效率。但是復(fù)雜產(chǎn)品種類(lèi)繁多，特征各異，其仿真模型很難在單一基函數(shù)上找到稀疏表示。本文將以多種多項(xiàng)式組合成的集合作為基函數(shù)集，提高基函數(shù)的表達(dá)能力，然后基于模擬退火的全局收斂思想，在給定基函數(shù)挑選個(gè)數(shù)的前提下，找到最優(yōu)的基函數(shù)組合來(lái)對(duì)仿真模型進(jìn)行稀疏表示。同時(shí)引入二分法的思想，調(diào)整構(gòu)建響應(yīng)面的基函數(shù)的個(gè)數(shù)，從而構(gòu)建一個(gè)足夠稀疏且高精度的響應(yīng)面。

關(guān)鍵詞：響應(yīng)面;稀疏表示;仿真優(yōu)化

中圖分類(lèi)號(hào)：TP393 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2019）15-0277-02

面對(duì)機(jī)電產(chǎn)品市場(chǎng)的激烈競(jìng)爭(zhēng)，制造企業(yè)必須不斷地提高其設(shè)計(jì)效率，同時(shí)保證產(chǎn)品質(zhì)量，以滿(mǎn)足多元化的市場(chǎng)需求。對(duì)于復(fù)雜機(jī)電產(chǎn)品 （如飛機(jī)、汽車(chē)以及船舶等） 的設(shè)計(jì)，其本質(zhì)上是一個(gè)涉及多學(xué)科、多目標(biāo)以及“昂貴”仿真的優(yōu)化過(guò)程[1]，例如，有限元分析 、計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)分析以及多體動(dòng)力學(xué)仿真等。但是隨著產(chǎn)品設(shè)計(jì)越來(lái)越復(fù)雜，仿真模型的復(fù)雜度和規(guī)模也不斷增加，仿真分析的時(shí)間進(jìn)一步拉長(zhǎng)。

針對(duì)復(fù)雜產(chǎn)品的仿真模型計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)、效率低等問(wèn)題，可以用響應(yīng)面或代理模型的方法來(lái)替代計(jì)算密集的仿真模型，從而大大降低仿真優(yōu)化時(shí)間，縮短產(chǎn)品的研發(fā)周期。常用的響應(yīng)面模型有：多項(xiàng)式響應(yīng)面、kriging響應(yīng)面、徑向基函數(shù)響應(yīng)面，支持向量機(jī)等。通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真采樣，尋找設(shè)計(jì)變量和響應(yīng)值之間的內(nèi)在關(guān)系，即可構(gòu)建響應(yīng)面來(lái)代替復(fù)雜的仿真模型。同時(shí)，響應(yīng)面是基于采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)構(gòu)造的，而采樣點(diǎn)的估值彼此獨(dú)立，所以可通過(guò)并行計(jì)算進(jìn)行仿真分析，快速得到其響應(yīng)值，因此響應(yīng)面方法可以極大地提高機(jī)電產(chǎn)品的優(yōu)化設(shè)計(jì)效率。越復(fù)雜的響應(yīng)面所需的采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，調(diào)用仿真模型進(jìn)行采樣的次數(shù)也更多。為了進(jìn)一步提高仿真優(yōu)化效率，引入稀疏表示理論。

稀疏表示理論[3]指的是將函數(shù)（或信號(hào)）投影到基函數(shù)空間時(shí)，大部分基函數(shù)系數(shù)的量級(jí)很小，只有少數(shù)幾個(gè)基函數(shù)系數(shù)的量級(jí)較大，也就是說(shuō)使用少量的基函數(shù)即可完全重構(gòu)該函數(shù)（或信號(hào)）。類(lèi)似地，可以把仿真模型看作源模型，選擇一組合適的基函數(shù)，使得黑箱函數(shù)在這組基函數(shù)下具有稀疏表達(dá)。一方面，可以根據(jù)采樣點(diǎn)的多少適當(dāng)增減基函數(shù)的數(shù)目，以增強(qiáng)基函數(shù)對(duì)源模型的表達(dá)能力;另一方面，利用稀疏表達(dá)理論，剔除冗余的基函數(shù)，防止產(chǎn)生過(guò)擬合現(xiàn)象。這樣，便可以為源模型構(gòu)造一個(gè)更加精確的逼近模型。范才彬等[4]基于稀疏表示理論提出稀疏表示響應(yīng)面，只選取少量對(duì)描述設(shè)計(jì)變量和響應(yīng)值之間的關(guān)系有重要作用的基函數(shù)來(lái)構(gòu)建響應(yīng)面，因此，計(jì)算基函數(shù)系數(shù)所需的采樣點(diǎn)也相應(yīng)減少，同時(shí)在一定程度上減少了過(guò)擬合現(xiàn)象，提高響應(yīng)面的精度。但是稀疏表示響應(yīng)面采用單一多項(xiàng)式作為基函數(shù)，這使得一些特征復(fù)雜多樣的仿真模型很難在單一基函數(shù)上找到其稀疏表示。

因此，本文將多種多項(xiàng)式進(jìn)行組合，得到混合基函數(shù)集，以混合基函數(shù)集的所有多項(xiàng)式作為基函數(shù)，使得基函數(shù)的特征更加豐富，提高響應(yīng)面對(duì)復(fù)雜仿真模型的逼近能力。利用模擬退火的全局收斂特性，不斷挑選用于構(gòu)建響應(yīng)面的基函數(shù)，使得不斷有新的基函數(shù)用于構(gòu)建響應(yīng)面。在給定基函數(shù)挑選個(gè)數(shù)[S]的情況下，找出構(gòu)建的響應(yīng)面的預(yù)測(cè)精度最高的[S]個(gè)基函數(shù)組合。同時(shí)，由于仿真模型在基函數(shù)集上的稀疏度未知，在挑選基函數(shù)的時(shí)候引入二分法的思想，不斷調(diào)整挑選基函數(shù)的個(gè)數(shù)，以達(dá)到構(gòu)建一個(gè)高稀疏、高精度的響應(yīng)面的目的。

1稀疏表示響應(yīng)面的數(shù)學(xué)模型

2響應(yīng)面構(gòu)建

本文所述方法利用了二分法和模擬退火的思想，模擬退火旨在給定基函數(shù)挑選個(gè)數(shù)[S]的情況下，找出構(gòu)建的響應(yīng)面的預(yù)測(cè)精度最高的[S]個(gè)基函數(shù)組合。同時(shí)，由于稀疏度未知，在外循環(huán)利用二分法的思想，適當(dāng)?shù)販p少或增加挑選個(gè)數(shù)[S]，使得構(gòu)建的稀疏表示響應(yīng)面既足夠稀疏又具有較高的精度。

由二分法得到最優(yōu)基函數(shù)組合[Abest]之后，使用最小二乘法計(jì)算基函數(shù)的系數(shù)[β]，最終得到稀疏表示響應(yīng)面如下：

本文提出了一種基于模擬退火的稀疏表示響應(yīng)面的構(gòu)建方法，利用模擬退火和二分法的思想，找到仿真模型在混合基上的稀疏表示，從而構(gòu)建一個(gè)高精度的稀疏表示響應(yīng)面。對(duì)于在單一基上無(wú)法精確逼近的復(fù)雜仿真模型，本文所提的構(gòu)建方法將有一定的參考意義。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張萌，陳曉云.基于稀疏表示模型的顯著目標(biāo)檢測(cè)[J].福建大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2019，4（7）.

【通聯(lián)編輯：光文玲】