張麗娟,王福昌,莊需芹,靳志同
(防災(zāi)科技學(xué)院,河北 三河 065201)
數(shù)學(xué)模型作為研究傳染病流行的規(guī)律方面起了很重要的作用,近年來(lái),出現(xiàn)較多的數(shù)學(xué)模型,應(yīng)用于流行病學(xué)的研究。對(duì)于動(dòng)力學(xué)模型的研究,也有很多成果出現(xiàn),但是對(duì)流動(dòng)人口對(duì)傳染病的傳播規(guī)律的影響,目前研究的相當(dāng)少,成果也很少見[1]。Brauer等關(guān)于SIS模型有了一些結(jié)果[2];Michael等建立了帶流動(dòng)人口的SEI模型并進(jìn)行了討論[3]。本文主要綜合考慮了H1N1流感的傳播特征,討論了帶流動(dòng)人口和潛伏期和標(biāo)準(zhǔn)傳染率的傳染病的傳播特征。并采用LaSalle不變?cè)?,和Liapunuove方法討論了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定條件,給出了閘值R0。
將某人群分為易感者S(t),潛伏者E(t),染病者I(t)和移除者R(t),總?cè)丝跒镹(t), 在整個(gè)研究過(guò)程中加入了流動(dòng)人口A(t)作為影響因素,因?yàn)閷?duì)于H1N1流感來(lái)說(shuō), 流動(dòng)人口在傳染過(guò)程中的作用至關(guān)重要,并成為傳播過(guò)程中至關(guān)重要的因素。帶人口流動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析流程見以下的框圖:
假設(shè)所有移入者均為易感者,對(duì)與H1N1流感來(lái)說(shuō)則認(rèn)為對(duì)于某一地區(qū)來(lái)說(shuō),由于對(duì)外來(lái)人口的防控措施比較好,感染者均被隔離處理。圖中A為常數(shù)流動(dòng)人口,γ為恢復(fù)率,d為自然死亡率,α為因病死亡率,ε為潛伏期到染病期的轉(zhuǎn)化率,采用標(biāo)準(zhǔn)感染率。由傳染過(guò)程圖得到微分方程為:
(1)
上式的加和為N=S+E+I+R,得到
N′=A-dN-αI
(2)
(3)
定理1:(1)若R0≤1,則P0是唯一的平衡點(diǎn),并且它是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的;
證明:令:L=εE+(ε+d)I則有:
接下來(lái)簡(jiǎn)要證明地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,采用的方法是Smith[5],Li,Muldowney[6],Meng Fan,Michael Y. Li[7]的基本理論。
定理2:若R0>1,則唯一的地方病平衡點(diǎn)P*是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。
在證明此定理之前,先看一個(gè)引理。
所以對(duì)于任何一經(jīng)過(guò)λS=γ的解在有限時(shí)間內(nèi)會(huì)一直在直線上方,
二階Jacobian第二加性復(fù)合矩陣J[2]為
(4)
(5)
由(1)得:
(6)
(7)