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    剛性限制法在瞬態(tài)中子輸運(yùn)計(jì)算中的應(yīng)用

    2019-07-15 12:06:36湯春桃畢光文
    原子能科學(xué)技術(shù) 2019年7期
    關(guān)鍵詞:中子通量控制棒堆芯

    湯春桃,畢光文,楊 波

    (上海核工程研究設(shè)計(jì)院有限公司,上海 200233)

    中子動(dòng)力學(xué)方程是描述核反應(yīng)堆系統(tǒng)瞬態(tài)過(guò)程中堆芯動(dòng)態(tài)特性的基本控制方程之一。目前工業(yè)級(jí)設(shè)計(jì)程序主要采用兩群瞬態(tài)中子擴(kuò)散模型求解點(diǎn)堆動(dòng)力學(xué)或三維時(shí)空動(dòng)力學(xué)方程,該方法的成功運(yùn)用在核電廠低功率物理啟動(dòng)試驗(yàn)動(dòng)態(tài)控制棒價(jià)值測(cè)量和反應(yīng)堆事故分析中發(fā)揮了關(guān)鍵作用。隨著新型反應(yīng)堆堆芯(如小型堆、超臨界水堆、鉛基堆)和新型燃料組件(如MOX燃料)的研發(fā)與設(shè)計(jì),現(xiàn)行兩群瞬態(tài)中子擴(kuò)散模型正面臨越來(lái)越多的技術(shù)挑戰(zhàn)。伴隨數(shù)值反應(yīng)堆技術(shù)的蓬勃發(fā)展與硬件計(jì)算能力的飛速提升,有必要開(kāi)展瞬態(tài)多群中子輸運(yùn)方程求解方法的研究。

    剛性限制法(SCM)利用動(dòng)態(tài)頻率變換技術(shù),實(shí)現(xiàn)中子通量密度平衡方程與緩發(fā)中子先驅(qū)核密度平衡方程的解耦,將動(dòng)力學(xué)方程中的剛性問(wèn)題淹沒(méi)在穩(wěn)態(tài)方程的求解過(guò)程中[1-2],確保在較大時(shí)間離散步長(zhǎng)情況下獲得較高的計(jì)算精度,大幅提升了計(jì)算效率。SCM已在兩群瞬態(tài)中子擴(kuò)散方程求解中獲得了廣泛應(yīng)用[3-5]。

    本文將SCM拓展應(yīng)用于求解多群瞬態(tài)特征線中子輸運(yùn)方程,在原有中子輸運(yùn)方程特征線方法(MOC)求解程序PEACH[6]的基礎(chǔ)上,增添瞬態(tài)求解功能,開(kāi)發(fā)PEACH-K程序,并通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證其精度與穩(wěn)定性。

    1 時(shí)空中子動(dòng)力學(xué)模型

    1.1 瞬態(tài)中子輸運(yùn)方程的動(dòng)態(tài)頻率變換

    時(shí)間相關(guān)的多群中子輸運(yùn)方程和緩發(fā)中子先驅(qū)核密度方程為:

    (1)

    (2)

    考慮到在反應(yīng)堆物理中通常假設(shè)裂變中子各向同性,Cm主要來(lái)自于裂變,因此式(2)中Cm假設(shè)與方向無(wú)關(guān)。

    引入以下中子通量動(dòng)態(tài)頻率ωg和緩發(fā)中子先驅(qū)核密度動(dòng)態(tài)頻率μm:

    (3)

    (4)

    (5)

    將式(3)和(5)代入式(1)、(2),再引入ωg(r,Ω,t)各向同性假設(shè),用ωg(r,t)近似替代ωg(r,Ω,t),動(dòng)力學(xué)方程變換為如下形式:

    (6)

    其中:Σ′t,g為動(dòng)態(tài)總截面;χ′g為動(dòng)態(tài)瞬發(fā)中子裂變能譜。

    式(6)的中子通量仍是各向異性的。Σ′t,g和χ′g的計(jì)算表達(dá)式如下:

    (7)

    (8)

    式(6)與穩(wěn)態(tài)中子輸運(yùn)方程具有相同的形式。在動(dòng)力學(xué)數(shù)值迭代過(guò)程中,一旦獲得動(dòng)態(tài)頻率ωg和μm后,可采用穩(wěn)態(tài)中子輸運(yùn)方程MOC對(duì)式(6)進(jìn)行求解。需要說(shuō)明的是,式(4)中的φg(r,t)為MOC最小平源近似區(qū)的標(biāo)量中子通量。

    1.2 動(dòng)態(tài)頻率的迭代更新

    式(6)是一本征值問(wèn)題。與求解穩(wěn)態(tài)中子輸運(yùn)方程類似,可引入一動(dòng)態(tài)本征值kD,這樣式(6)可轉(zhuǎn)換為:

    (9)

    其中,動(dòng)態(tài)參數(shù)Σ′t,g和χ′g是動(dòng)態(tài)頻率的函數(shù)。迭代收斂時(shí),kD等于1。利用式(4)和(9)可對(duì)ωg進(jìn)行更新。然而式(9)求解的本征函數(shù)只是中子通量分布而非中子通量幅度。在缺乏中子通量幅度的情況下,動(dòng)態(tài)頻率則無(wú)法有效更新。為克服此問(wèn)題,將動(dòng)態(tài)頻率分解為形狀頻率和幅度頻率兩部分:

    ωg(r,t)=ωs,g(r,t)+ωt(t)

    (10)

    μm(r,t)=μs,m(r,t)+ωt(t)

    (11)

    其中,形狀頻率ωs,g、μs,m與位置、時(shí)間相關(guān),而幅度頻率ωt僅與時(shí)間相關(guān),具備全局屬性。

    形狀頻率根據(jù)本征函數(shù)進(jìn)行更新,幅度頻率根據(jù)本征值進(jìn)行更新。在迭代過(guò)程中,如果式(9)中的kD不等于1,那么可在動(dòng)態(tài)頻率的基礎(chǔ)上增加一定的修正量Δωt,使得kD接近于1,此時(shí)要求以下關(guān)系成立:

    (12)

    令:

    (13)

    利用一階泰勒展開(kāi),得到:

    γg(ωt)+γ′g(ωt)·Δωt

    (14)

    其中,γ′g(ωt)=dγg(ωt)/dωt。將式(13)和(14)代入式(12)可得:

    (15)

    選取1組權(quán)重函數(shù)向量W,采用剩余權(quán)重法對(duì)式(15)進(jìn)行能量和空間積分,可得:

    (16)

    其中:

    (17)

    l*=

    (18)

    至此,中子通量的動(dòng)態(tài)頻率可根據(jù)式(4)、(10)和(16)進(jìn)行更新,緩發(fā)中子先驅(qū)核密度的動(dòng)態(tài)頻率可根據(jù)式(5)和(11)進(jìn)行更新。針對(duì)權(quán)重函數(shù)向量W,在兩群瞬態(tài)中子擴(kuò)散方程求解時(shí),建議選用共軛通量分布函數(shù);在多群瞬態(tài)中子輸運(yùn)方程求解時(shí),由于共軛通量分布函數(shù)需通過(guò)求解共軛方程才能獲得,影響計(jì)算效率,建議選用裂變率分布函數(shù)。

    1.3 緩發(fā)中子先驅(qū)核密度的求解

    緩發(fā)中子先驅(qū)核密度采用解析法求解。在獲得tn時(shí)刻的先驅(qū)核密度Cm(r,tn)后,將式(2)在tn~tn+1時(shí)間范圍內(nèi)積分,可得tn+1時(shí)刻的先驅(qū)核密度Cm(r,tn+1):

    Cm(r,tn+1)=Cm(r,tn)·e-λmΔtn+e-λmΔtn·

    (19)

    其中,Δtn=tn+1-tn。

    F(r,t)=F(r,tn)+

    (20)

    根據(jù)式(19)和(20)可解得:

    (21)

    這樣,通過(guò)數(shù)值迭代求解獲得新的中子通量密度后,即可根據(jù)式(21)有效地更新緩發(fā)中子先驅(qū)核密度。

    1.4 數(shù)值迭代流程

    在穩(wěn)態(tài)中子輸運(yùn)方程MOC求解程序PEACH的基礎(chǔ)上,根據(jù)上述動(dòng)力學(xué)模型,開(kāi)發(fā)了動(dòng)力學(xué)求解程序PEACH-K,數(shù)值迭代流程如圖1所示。

    圖1 PEACH-K程序動(dòng)力學(xué)模型的數(shù)值迭代流程

    2 數(shù)值驗(yàn)證

    國(guó)際上現(xiàn)有瞬態(tài)基準(zhǔn)問(wèn)題多用于驗(yàn)證基于組件均勻化和少群擴(kuò)散近似的動(dòng)力學(xué)模型,鮮有針對(duì)瞬態(tài)中子輸運(yùn)方程的非均勻多群?jiǎn)栴}。為此,OECD/NEA于2016年發(fā)布了基準(zhǔn)題C5G7-TD[7-8],含二維和三維,本文基于該基準(zhǔn)題(二維)對(duì)PEACH-K程序進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。

    2.1 C5G7-TD基準(zhǔn)題描述

    C5G7-TD基于OECD/NEA于2001年發(fā)布的基準(zhǔn)題C5G7-MOX改造而來(lái),用于瞬態(tài)非均勻輸運(yùn)模型驗(yàn)證。該問(wèn)題堆芯由UO2燃料組件和MOX燃料組件混合裝載,共計(jì)16盒燃料組件,呈1/8對(duì)稱,具有強(qiáng)泄漏、組件間能譜差異大、非均勻性強(qiáng)等特點(diǎn)。圖2示出該問(wèn)題的1/4堆芯裝載圖,其中每個(gè)組件的幾何尺寸為21.42 cm×21.42 cm,水反射層的寬度也為21.42 cm。該問(wèn)題所使用的UO2和MOX組件均為17×17的元件排列方式,其中UO2組件內(nèi)只有一種富集度的燃料元件棒,而每個(gè)MOX組件內(nèi)則都有3種含量不同的MOX燃料柵元,詳見(jiàn)文獻(xiàn)[7-8]。

    圖2 二維C5G7-TD基準(zhǔn)題堆芯布置

    圖3 TD0~2下控制棒的移動(dòng)

    C5G7-TD基準(zhǔn)題基于不同的反應(yīng)性引入方式,共設(shè)計(jì)了4種算例,針對(duì)每種算例又設(shè)計(jì)了多項(xiàng)分支工況。其中,前3種算例(TD0~2)采用控制棒引入反應(yīng)性,第4種算例(TD3)采用慢化劑密度變化引入反應(yīng)性。針對(duì)控制棒引入反應(yīng)性的方式,圖3示出了TD0~2下控制棒插入份額隨時(shí)間的變化曲線。算例TD0和TD1分別設(shè)計(jì)了5項(xiàng)分支工況,算例TD2設(shè)計(jì)了3項(xiàng)分支工況,對(duì)應(yīng)不同的控制棒組定義(表1)。針對(duì)慢化劑密度變化引入反應(yīng)性的方式,圖4示出了TD3各分支工況堆芯平均慢化劑密度隨時(shí)間的變化曲線,圖4中ω表示慢化劑密度隨時(shí)間變化與初始工況(零時(shí)刻)的比例關(guān)系。

    表1 TD0~2分支計(jì)算中控制棒組移動(dòng)定義

    圖4 TD3堆芯平均慢化劑密度的變化

    2.2 基準(zhǔn)題數(shù)值結(jié)果

    C5G7-TD基準(zhǔn)題的參考解目前還在搜集和整理階段,本文采用NECP-X程序[9]作為比較基準(zhǔn),該程序采用預(yù)測(cè)-修正準(zhǔn)靜態(tài)的動(dòng)力學(xué)求解方法。針對(duì)本基準(zhǔn)題在前2 s反應(yīng)性變化較劇烈的特點(diǎn),NECP-X程序0~2 s采用的時(shí)間步長(zhǎng)為0.025 s,2~2.5 s采用的時(shí)間步長(zhǎng)為0.05 s,2.5~3 s采用的時(shí)間步長(zhǎng)為0.1 s,3~10 s采用的時(shí)間步長(zhǎng)為0.5 s,而PEACH-K程序在全時(shí)間區(qū)域內(nèi)時(shí)間步長(zhǎng)均采用0.25 s。圖5~8示出各算例堆芯歸一化功率水平的變化??傮w來(lái)看,PEACH-K與NECP-X程序結(jié)果符合非常好,TD1~3的堆芯歸一化功率水平的相對(duì)偏差均在1%以內(nèi),表明PEACH-K程序在大時(shí)間步長(zhǎng)下仍具有很高的計(jì)算精度。

    針對(duì)TD0,控制棒采用階躍反應(yīng)性引入方式,在個(gè)別拐點(diǎn)處(如TD0-1、TD0-4和TD0-5在2 s附近)由于控制棒價(jià)值太大引起了劇烈的功率突變幅度,PEACH-K與NECP-X程序的堆芯歸一化功率水平的最大相對(duì)偏差在2%以內(nèi)。在工程實(shí)際中,控制棒大幅度階躍提升是不太可能出現(xiàn)的。

    a——TD0-1;b——TD0-2;c——TD0-3;d——TD0-4;e——TD0-5圖5 TD0堆芯歸一化功率水平的變化

    a——TD1-1;b——TD1-2;c——TD1-3;d——TD1-4;e——TD1-5圖6 TD1堆芯歸一化功率水平的變化

    a——TD2-1;b——TD2-2;c——TD2-3圖7 TD2堆芯歸一化功率水平的變化

    a——TD3-1;b——TD3-2;c——TD3-3;d——TD3-4圖8 TD3堆芯歸一化功率水平的變化

    3 結(jié)論

    本文介紹了剛性限制法在瞬態(tài)中子輸運(yùn)計(jì)算中的應(yīng)用。采用OECD/NEA發(fā)布的C5G7-TD基準(zhǔn)題對(duì)采用剛性限制法的PEACH-K程序進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證,結(jié)果表明PEACH-K程序在大時(shí)間步長(zhǎng)下仍具有很高的計(jì)算精度,剛性限制法可用于非均勻輸運(yùn)瞬態(tài)計(jì)算。

    感謝美國(guó)西屋公司退休專家趙榮安博士在剛性限制法研究方面的鼓勵(lì)。感謝西安交通大學(xué)劉宙宇博士提供C5G7-TD基準(zhǔn)題NECP-X程序的對(duì)比結(jié)果。

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