某類解析函數(shù)的Fekete-Szeg? 不等式

牛瀟萌

(赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

1 引言

的函數(shù)類的全體.用S?表示星象函數(shù)類，用C 表示近于凸函數(shù)類，S?和C 都是S 的子類.

定義1.1[1]設(shè)函數(shù)f(z)與g(z)在U 內(nèi)解析，如果存在U 內(nèi)滿足的解析函數(shù)ω(z)，滿足g(z)＝f(ω(z))，稱為g(z)從屬于f(z)，記為g(z)pf(z).

設(shè)-1 ≤B ＜A ≤1，用P(A，B)表示在U 內(nèi)解析并且滿足條件的所有函數(shù)的全體.顯然P(1，-1) ＝P 為熟知的正實(shí)部函數(shù)類.

1933 年， Fekete 和Szeg? 在文獻(xiàn)[2] 中提出了函數(shù)族S 上的系數(shù)泛函的準(zhǔn)確估計(jì)， 近些年來，許多作者研究了不同解析函數(shù)類上的Fekete-Szeg? 問題.如文獻(xiàn)[3-13] 分別引入了一些特殊解析函數(shù)類， 并討論了其Fekete-Szeg? 不等式問題.

劉名生在文獻(xiàn)[14]中給出了如下函數(shù)類.

定義1.2[14]設(shè)f(z)∈S，α ＞0，λ≥0，-1 ≤B ＜A ≤1，若存在g(z)∈S?，使得

則稱f(z)∈B(λ，α，A，B，g(z)). 子類B(1，α，1，-1，z)是Bazilevic 函數(shù)類的子類.

定義1.3[15]設(shè)f(z)∈S，α ＞0，λ≥0，σ ＜1，若

則稱f(z)∈Ρ(λ，α，σ). 顯然B(λ，α，1 -2σ，-1，z) ＝Ρ(λ，α，σ).

劉名生在文獻(xiàn)[14]中研究函數(shù)類B(λ，α，A，B，g(z))，得到其從屬關(guān)系，包含關(guān)系，偏差定理等.但是關(guān)于函數(shù)類B(λ，α，A，B，g(z))的Fekete-Szeg? 不等式還尚未研究過. 本文將給出B(λ，α，A，B，g(z))的Fekete-Szeg? 不等式，進(jìn)一步給出Ρ(λ，α，σ)的Fekete-Szeg? 不等式.

2 主要結(jié)論

為了證明B(λ，α，A，B，g(z))的Fekete-Szeg? 不等式，需要如下引理.

引理2.1[16]設(shè)ω(z) ＝c1z ＋c2z2＋…在U 內(nèi)解析，且，則有.

引理2.2[17]設(shè)p(z) ＝1 ＋p1z ＋p2z2＋…∈P，則有

其中，

證明 設(shè)f(z)∈B(λ，α，A，B，g(z))，則存在，使得

整理得

由Taylor 展開式并比較(2)式兩邊zα＋1z 和zα＋1z2兩項(xiàng)的系數(shù)可得

令p1＝2leiβ，0 ≤l ≤1，則由引理2.2 可知

而

由引理2.1 可知

令c1＝reiθ，0 ≤r ≤1，則

因?yàn)閎2＝p1＝2leiβ，c1＝reiθ，所以有

所以

其中

最后一個(gè)不等式成立的條件如下:

又因?yàn)閤≥0，經(jīng)簡單計(jì)算可得

從而

由(1)的證明可知

從而

當(dāng)μ ≤μ1時(shí)，不存在極值函數(shù).

經(jīng)簡單計(jì)算可知

其中

令

易知，F(xiàn)(A-B)是(A-B)的一次函數(shù).

因?yàn)镕(A-B)是(A-B)的一次函數(shù)，所以當(dāng)0 ≤(A-B)≤2 時(shí)，F(xiàn)(A-B)≥0，從而G(x1)≤α ＋2λ ＋A -B.對于0 ≤t ≤1，有

當(dāng)b2＝0，b3＝1，c1＝0，c2＝1 時(shí)等號成立.

由于B(λ，α，1 -2σ，-1，z) ＝Ρ(λ，α，σ)， 在定理2.1 中取A ＝1 -2σ，B ＝-1，g(z) ＝z，可得如下推論.

其中，