發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)“思維建模”能力策略摭談

董志俊 王英姿

一、問(wèn)題提出

筆者在教學(xué)中常遇到下述狀況：（1）學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題策略體現(xiàn)出“無(wú)章法”，學(xué)生在解題時(shí)的指向性與組織性不強(qiáng)；（2）學(xué)生對(duì)一些問(wèn)題的解決過(guò)程中呈現(xiàn)出“碎片化”，學(xué)生不能把相關(guān)知識(shí)有效地整合在一起，而是處于一種似懂非懂的狀態(tài)；（3）學(xué)生對(duì)一些問(wèn)題的細(xì)節(jié)處理“欠優(yōu)化”，解題時(shí)往往事倍功半，容易迷失方向，也很難體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。

以上的狀況說(shuō)明，當(dāng)學(xué)生遇到問(wèn)題時(shí)，缺乏一套相對(duì)完整的應(yīng)對(duì)策略，筆者認(rèn)為“思維建?！蹦芎芎玫亟鉀Q上面提出的問(wèn)題。

二、國(guó)內(nèi)外研究借鑒

“思維建?！钡母拍钭钤缡怯擅绹?guó)密蘇里大學(xué)的教育專家喬納森（David Jonassen）教授系統(tǒng)提出。喬納森在《技術(shù)支持的思維建模：用于概念轉(zhuǎn)變的思維工具》一書(shū)中認(rèn)為：思維建模通過(guò)思維建模工具幫助學(xué)習(xí)者具化內(nèi)部的認(rèn)知概念模型，促使學(xué)習(xí)者在建模的過(guò)程中積極地調(diào)整與修改自我的概念模型結(jié)構(gòu)，并通過(guò)多種形式的認(rèn)知呈現(xiàn)，幫助學(xué)習(xí)者豐富和拓展內(nèi)部認(rèn)知概念模型的意義。有意義的學(xué)習(xí)需要概念參與，學(xué)習(xí)的目標(biāo)就是概念的轉(zhuǎn)變與發(fā)展；對(duì)學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)，支持有意義學(xué)習(xí)最有力的策略之一是對(duì)他們所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行模型的建構(gòu)，思維工具的使用可以看作是能引發(fā)和支持概念轉(zhuǎn)變的建模工具。喬納森的這些思想在整個(gè)世界產(chǎn)生了很大的影響。

國(guó)內(nèi)目前也已有部分學(xué)者專家對(duì)思維建模的理論進(jìn)行了關(guān)注及研究。北京師范大學(xué)劉儒德在《建模：一種有效的建構(gòu)性學(xué)習(xí)方式》的文章中提出，建模作為一種建構(gòu)性學(xué)習(xí)方式，可促使學(xué)習(xí)者根據(jù)先前的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，使用所給的物件和工具，來(lái)探究當(dāng)前情境，建構(gòu)起對(duì)當(dāng)前情境的理解，并將自己的這種理解表達(dá)出來(lái)，從而可促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深層理解和靈活應(yīng)用。劉教授還具體將建模分為探究性建模和表達(dá)性建模兩種形式，并提出了關(guān)于建模的三種抽象水平，即定量、半定量和定性；他同時(shí)強(qiáng)調(diào)，在教學(xué)中，教學(xué)者可根據(jù)學(xué)生的發(fā)展水平，提供適當(dāng)?shù)闹С?，幫助學(xué)生展開(kāi)不同形式、水平的建?；顒?dòng)。此外，郭秀霞在《淺析思維建模工具對(duì)學(xué)習(xí)者思維品質(zhì)的培養(yǎng)》一文中著重對(duì)思維建模（思維建模也是一種思維工具）和思維品質(zhì)做出理論性的研討。

本文中的“思維建?！睆?qiáng)調(diào)通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)典問(wèn)題及相關(guān)知識(shí)和結(jié)論的剖析，從中提煉關(guān)鍵詞，建構(gòu)思維過(guò)程，讓學(xué)生不斷積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在遇到新問(wèn)題時(shí)，可以快速提取關(guān)鍵信息，形成有效的解決策略。

三、探析思維建模途徑

思維建模不是知識(shí)建模，是對(duì)學(xué)生知識(shí)內(nèi)化過(guò)程建立的模型。如何才能實(shí)現(xiàn)知識(shí)的最優(yōu)組合與新知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，促成學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提升，是每一位教師都值得思考的問(wèn)題。筆者對(duì)此進(jìn)行了一些探究，具體過(guò)程如下：

1.挖掘關(guān)鍵詞，形成知識(shí)鏈。

數(shù)學(xué)是一門(mén)非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，每一個(gè)字、每一詞都有確切的含義。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要“字斟句酌”，將每一個(gè)字、每一詞的意義講清楚。例如，在教學(xué)“函數(shù)”概念時(shí)，通過(guò)對(duì)“非空”“任意”“唯一”等幾個(gè)關(guān)鍵詞的分析，能進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解。

提煉關(guān)鍵詞除了可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)謹(jǐn)性，也可以讓學(xué)生構(gòu)建問(wèn)題解決的知識(shí)鏈。學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)和做練習(xí)題時(shí)，首先要進(jìn)行讀文、讀圖。在讀的過(guò)程中要找關(guān)鍵詞，把所找到的關(guān)鍵詞進(jìn)行勾畫(huà)、批注。這一步可操作性強(qiáng)，通過(guò)長(zhǎng)期落實(shí)，學(xué)生自主閱讀能力自然提高。關(guān)鍵詞的提煉是思維建模的前提，學(xué)生整合以往所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從知識(shí)、方法和思想三個(gè)維度去探索問(wèn)題的解決方案。具體如圖1所示。

2.剖析經(jīng)典，設(shè)計(jì)題組。

美國(guó)科學(xué)哲學(xué)家?guī)於髡J(rèn)為學(xué)生正是通過(guò)學(xué)習(xí)范例，通過(guò)做習(xí)題等活動(dòng)來(lái)掌握一門(mén)科學(xué)知識(shí)及其方法，沒(méi)有范例，科學(xué)知識(shí)就不能清楚地表達(dá)出來(lái)。設(shè)計(jì)題組是思維建模的關(guān)鍵。題組是具有內(nèi)在聯(lián)系的一組習(xí)題，一般先易后難，問(wèn)題背景可以不同，但核心知識(shí)是相同的。思維建模需經(jīng)歷“感知—感受—感悟”一系列過(guò)程，在題組設(shè)計(jì)上充分考慮學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，切合教學(xué)實(shí)際。在課堂實(shí)施中要注重學(xué)生的主體性和教師的主導(dǎo)性，讓學(xué)生積極主動(dòng)參與教與學(xué)的全過(guò)程，從而促成各個(gè)層次學(xué)生思維的發(fā)展。

例如，在人教版高中數(shù)學(xué)必修二中有如下3道習(xí)題。

（3）已知點(diǎn) M（x，y）與兩定點(diǎn) M1，M2的距離之比是一個(gè)正數(shù)m，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形。（考慮m=1和m≠1兩種情形）（P144）

以上3道題都涉及平面到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比是不等于1的正常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，其共同的數(shù)學(xué)背景就是經(jīng)典的軌跡——阿波羅尼斯圓。教學(xué)中可以在分析三道題目共性的基礎(chǔ)上，歸納引出阿波羅尼斯圓，并設(shè)計(jì)如下兩個(gè)引申習(xí)題。

問(wèn)題 1：已知平面向量 a，b，c 滿足|a|=3，b+c=2a，且|b|=|b-c|，若對(duì)每一個(gè)確定的向量b，記|b-ta|（t∈R）的最小值為dmin，則b變化時(shí)，dmin的最大值為_(kāi)______。

問(wèn)題2：四棱錐P－ABCD滿足AD⊥平面PAB，BC ⊥ 平 面 PAB，AD ＝4，BC ＝8，AB ＝6，∠APD＝∠CPB則四棱錐P－ABCD的體積最大值為_(kāi)______。

設(shè)計(jì)類似題組，能讓學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)經(jīng)典題型和知識(shí)點(diǎn)的歸類，可提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維建模能力。

3.理清思維脈絡(luò)，構(gòu)建邏輯框圖。

學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程是一個(gè)建構(gòu)的過(guò)程，在數(shù)學(xué)認(rèn)知方面需要培養(yǎng)建構(gòu)思維，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、定理、公式、命題以及蘊(yùn)涵其中的思想方法。為此，提升學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)思維建模能力的第3個(gè)策略，是幫助學(xué)生形成邏輯框圖，理順解題思路與策略。

（圖2）

在教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)關(guān)鍵詞“垂直”，縱橫鏈接相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)建解題邏輯框圖。如圖3。

綜上，數(shù)學(xué)思維建模能力的提升是一個(gè)逐步的過(guò)程。學(xué)生的思維建模有助于學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的目標(biāo)。

（圖3）