淺談圓的性質(zhì)在圓錐曲線中的推廣

周仁國(guó)，陳 明，溫 藝

（1.遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，貴州遵義563006；2.正安縣第八中學(xué)，貴州遵義563400）

1 引言

圓C的半徑為r，點(diǎn)A,B在圓上，滿足條件：由垂徑定理知圓心到直線的距離即弦心距，這一性質(zhì)（以下簡(jiǎn)稱性質(zhì)）推廣到橢圓、雙曲線、拋物線中，具有相似結(jié)論，這些結(jié)論是高考的?？純?nèi)容.

2 性質(zhì)在橢圓中的推廣

2.1 猜想結(jié)論與分析

2.2 性質(zhì)在橢圓中的推廣

橢圓C上兩點(diǎn)A,B，則原點(diǎn)O到直線AB的距離

（2），由RtAOB面積關(guān)系：，將（1）（2）代入有：

設(shè)AB所在的直線：y=kx+t與橢圓交于A（x1，y1），B(x2,y2)

3 性質(zhì)在雙曲線中的推廣

3.1 雙曲線與橢圓的相似性分析

雙曲線與橢圓相似性比較，如下表：

曲線 定義 離心率焦點(diǎn)三角形面積 弦長(zhǎng)公式橢圓images/BZ_109_384_1822_401_1838.pngimages/BZ_109_1031_1825_1049_1843.png雙曲images/BZ_109_1030_1918_1047_1936.png線

設(shè)想雙曲線C上兩點(diǎn)AB，則的充要條件是：原點(diǎn)O到直線AB的距離

3.2 雙曲線推廣性質(zhì)的證明

證明與橢圓中的證明相似，要說(shuō)明的一點(diǎn)是為什么要b＞a，事實(shí)上當(dāng)b≤a時(shí)，兩漸近線垂直或所成角為銳角，雙曲線任意兩點(diǎn)（非原點(diǎn)）AB都不滿足

A（tcosa tsina），B（sina tcosa）代入有

4 性質(zhì)在拋物線中的推廣

4.1 引理

設(shè)直線i過(guò)點(diǎn)(m,0)，斜率為k，交y2=2px于A（x1，y1），B(x2,y2).聯(lián)立

（當(dāng)m＞ 0，x1、y1異號(hào)的；當(dāng)m＜ 0，x1、y1同號(hào)的，當(dāng)m=0，y1=x1=0）于是得結(jié)論

4.2 性質(zhì)推廣與證明

拋物線與橢圓及雙曲線是有區(qū)別的.設(shè)A，B是y2=2px上非原點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，弦心距的最大值dmax=2p.

此性質(zhì)的另一種表述是：A，B是y2=2px上非原點(diǎn)的兩點(diǎn)直線AB過(guò)定點(diǎn)(2p，0).

5 結(jié)語(yǔ)

圓是圓錐曲線中的特殊曲線，普通高中數(shù)學(xué)教材選修4-4(實(shí)驗(yàn))講到有關(guān)圓的伸縮變換問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是圓通過(guò)仿射變換成橢圓，因此圓的很多性質(zhì)是可推廣到橢圓的，這也是比較與類比思想方法的體現(xiàn)，結(jié)論的推廣是重要的，多年的高考也經(jīng)常見到，如2017年的高考20題是關(guān)于拋物線問(wèn)題第二問(wèn)便是推廣結(jié)論的應(yīng)用，教師在教學(xué)過(guò)程中和學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程認(rèn)真鉆研這方面的問(wèn)題，有關(guān)圓錐曲線的問(wèn)題便可迎刃而解了，希望本文對(duì)廣大同仁和高考學(xué)子有所啟示。