嵌入SMA絲的復(fù)合材料軸的剛度與變形特性研究

張曉梅,趙仰生,任勇生,趙 奇

(1.山西煤炭職業(yè)技術(shù)學(xué)院,太原 030031;2.山東科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院,山東 青島 266590)

復(fù)合材料的比強(qiáng)度、比剛度和阻尼比傳統(tǒng)金屬材料要高,這不僅可以減輕重量,同時(shí)還能減少結(jié)構(gòu)的振動(dòng),因而在飛機(jī)、船舶等對(duì)承載重量要求苛刻的領(lǐng)域內(nèi)軸的設(shè)計(jì)中,具有廣闊的應(yīng)用前景。

但由于纖維復(fù)合材料力學(xué)性能的各向異性,在復(fù)合材料軸的軸向拉伸、橫向彎曲以及扭轉(zhuǎn)之間存在明顯的耦合。

形狀記憶合金(shape memory alloy-SMA)是一類(lèi)應(yīng)用廣泛的智能材料。利用溫度誘發(fā)SMA馬氏體相變以改善復(fù)合材料板和梁結(jié)構(gòu)的剛度特性和變形特性的研究,已經(jīng)獲得了一些重要的進(jìn)展[1]。然而,將SMA埋入普通纖維復(fù)合材料軸,研究SMA馬氏體相變對(duì)復(fù)合材料軸的剛度特性和變形特性的影響,是一個(gè)全新的嘗試,迄今為止,國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究的報(bào)道還很少見(jiàn)到[2-3]。

Sawhney和Jain[2]制備一個(gè)埋入SMA絲的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料軸并且對(duì)其進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。在理論研究方面, Baz和Chen[3]基于有限元數(shù)值方法分析了具有SMA絲的復(fù)合材料實(shí)心驅(qū)動(dòng)軸的靜力學(xué)和溫度效應(yīng)。研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)SMA絲發(fā)生溫度誘發(fā)馬氏體相變時(shí),軸的扭轉(zhuǎn)剛度可以得到明顯的提高。但是我們也注意到,在上述研究中,有關(guān)回復(fù)應(yīng)力等描述SMA絲特性的重要力學(xué)參數(shù)主要出自一些有限的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),此外,在力學(xué)建模過(guò)程中僅限于實(shí)心軸而不涉及空心復(fù)合材料軸的情形。

本文針對(duì)具有簡(jiǎn)支邊界的復(fù)合材料薄壁軸,進(jìn)行靜力學(xué)建模與變形特性分析?；谧兎譂u進(jìn)法(Variational Asymptotic Method-VAM)[4]描述復(fù)合材料薄壁軸的截面特性。在建模過(guò)程中,基于文獻(xiàn)[4]位移和應(yīng)變的表達(dá)式,進(jìn)一步引入了剪切變形的影響。基于虛功原理推導(dǎo)出復(fù)合材料薄壁軸的偏微分靜平衡方程組。采用Galerkin法計(jì)算和分析了薄壁復(fù)合材料薄壁軸的變形特性。通過(guò)數(shù)值計(jì)算揭示了SMA絲的含量、初始應(yīng)變、溫度、鋪層角以及旋轉(zhuǎn)速度對(duì)復(fù)合材料軸等效抗彎剛度的和靜變形特性的影響。

1 靜力平衡方程的建立

長(zhǎng)度為L(zhǎng)埋入SMA纖維的復(fù)合材料薄壁軸如圖1所示。為了對(duì)其進(jìn)行力學(xué)分析與建模,采用慣性坐標(biāo)系(x,y,z)和局部坐標(biāo)系(x,s,ξ),假定環(huán)向坐標(biāo)s正方向?yàn)楸”谳S中面切線(xiàn)逆時(shí)針?lè)较?徑向坐標(biāo)ξ正方向?yàn)楸”谳S中面法線(xiàn)方向。

圖1 圓截面復(fù)合材料薄壁軸Fig.1 Composite thin-walled shaft of a circular cross section

將文獻(xiàn)[4]的建模思想做進(jìn)一步擴(kuò)展,在計(jì)入橫向剪切變形的情況下,假定薄壁軸橫截面任意一點(diǎn)沿著x,y,z方向的位移,取如下形式

u1(x,y,z)=U1(x)-y(s)θy(x)-z(s)θz(x)+g(s,x)

u2(x,y,z)=U2(x)-zφ(x)

u3(x,y,z)=U3(x)+yφ(x)

(1)

式中,U1(x),U2(x),U3(x)分別為橫截面沿x,y,z軸剛體位移;φ(x),θy(x),θz(x)分別為橫截面繞x,y和z軸的扭轉(zhuǎn)角。注意方程(1)中的y,z表示橫截面中心圍線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo),是環(huán)向坐標(biāo)s的函數(shù)。

假定薄壁軸的翹曲函數(shù)g(s,x)具有如下形式:

(2)

方程(2)右端表達(dá)式中的四項(xiàng)分別表示扭轉(zhuǎn)、拉伸、繞z和y軸彎曲的翹曲分量,其中,G(s)表示扭轉(zhuǎn)率,g1(s)表示軸向應(yīng)變,g2(s)和g3(s)分別表示沿y,z軸的彎曲曲率。

在方程(1)、(2)中,θy(x),θz(x)可以表示為:

(3)

按照文獻(xiàn)[4],根據(jù)位移方程(1)和(2)能夠得到橫截面正應(yīng)變?chǔ)脁x和面內(nèi)剪應(yīng)變?chǔ)脁s,進(jìn)一步按照文獻(xiàn)[5],將橫向剪應(yīng)變?chǔ)脁ξ的形式進(jìn)行修改,可以寫(xiě)出考慮橫向剪切的薄壁軸的幾何方程:

2γxξ=

(4)

定義薄殼力:

(5)

薄殼力和應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系:

Nxξ=D(s)γxξ,

(6)

其中

(7)

復(fù)合材料傳動(dòng)軸的靜力平衡方程利用變分原理導(dǎo)出:

δU+δw=0

(8)

其中,δU和δw分別為應(yīng)變能的變分和虛功。應(yīng)變能U分別由兩部分組成,其中,由于復(fù)合材料軸變形產(chǎn)生的應(yīng)變能:

(9)

其中,σxx,σxs,σxξ分別表示橫截面正應(yīng)力、面內(nèi)剪應(yīng)力和橫向剪應(yīng)力,εxx,εxs,εxξ是相應(yīng)的工程應(yīng)變。

另一方面,由于SMA絲回復(fù)力NSMA和溫度力NΔT產(chǎn)生的應(yīng)變能[3]:

(10)

于是,總應(yīng)變能表示為:

U=U1+U2

(11)

虛功δw包括外載荷的虛功和旋轉(zhuǎn)慣性力的虛功,其中外載荷的虛功:

(12)

其中,qx,qy,qz分別表示沿x,y,z方向的分布力;mx,mz,my分別表示關(guān)于x,y,z軸的分布力偶矩。

慣性力的虛功為:

(13)

所以,虛功表示如下:

δw=δwexternal+δwinertial

(14)

變形應(yīng)變能的變分為:

(15)

其中:

(16)

將式(6)代入式(16),并且利用幾何方程(4),可得:

(17)

其中,kij(i,j=1,…,6)是復(fù)合材料薄壁軸橫截面的剛度系數(shù),表達(dá)式如下:

(18)

通過(guò)將表達(dá)式(18)與文獻(xiàn)[4]進(jìn)行對(duì)比,發(fā)現(xiàn)36個(gè)剛度系數(shù)kij(i,j=1,…,6)中,只有16個(gè)剛度系數(shù)kij(i,j=1,2,…,4)與文獻(xiàn)[4]不考慮剪切變形復(fù)合材料薄壁軸的剛度系數(shù)一致,剩下的20個(gè)剛度系數(shù)kij,(i=1,2,…,6;j=5,6),kji(i=1,2,…,4;j=5,6)是由于考慮剪切變形而新增加。

將δU和δw代入變分原理(8),在周向均勻剛度配置(Circumferentially Uniform Stiffness-CUS)下, 導(dǎo)出彎-剪耦合靜力方程如下:

(19)

式中,qy=qy0Δ(x-xl),qz=qz0Δ(x-xl)分別是已知的沿y、z軸橫向剪力;my=my0Δ(x-xl),mz=mz0Δ(x-xl)分別是已知的繞y、z軸的彎矩。Δ(x-xl)代表狄拉克函數(shù),xl表示力(力矩)作用點(diǎn)的位置。

2 方程求解

假定彎曲位移U2(x),U3(x)和轉(zhuǎn)角θy(x),θz(x)具有下列形式:

(20)

其中,取滿(mǎn)足兩端簡(jiǎn)支軸位移邊界條件的近似函數(shù)為:

(21)

U2j,U3j,Θyj,Θzj是待定系數(shù)。

將式(20)代入方程組式(19),采用Galerkin法,得:

[KΩ+K1]{X}={F}

(22)

其中:

(23)

(24)

{F}T=(AiBiCiDi)

(25)

(26)

在此,廣義位移XT定義為

XT={U2j,U3j,Θyj,Θzj}1×4N, (j=1,2…,N)

(27)

在式(19)和式(22)中,NSMA和NΔT表示SMA絲產(chǎn)生的沿軸線(xiàn)方向的受限回復(fù)應(yīng)力的合力以及軸向溫度載荷,分別計(jì)算如下:

(zk-zk-1)ΔT]

(28)

3 數(shù)值結(jié)果與討論

針對(duì)含SMA絲的石墨/環(huán)氧型復(fù)合材料軸,進(jìn)行變形特性分析,其幾何尺寸為:截面半徑r=0.127 m,長(zhǎng)度L=2.023 m,厚度h=0.381 mm,鋪層方式為[θ,-θ,θ,-θ,θ,-θ]。復(fù)合材料的性能參數(shù)如表1所示,SMA的材料參數(shù)如表2所示。軸的跨中受到沿z軸方向的集中載荷qz0=2 000 N的作用。

表1 復(fù)合材料性能參數(shù)Tab.1 Mechanical properties of composite material

表2 SMA的材料參數(shù)Tab.2 Material properties of SMA wires[9]

通過(guò)對(duì)復(fù)合材料軸在旋轉(zhuǎn)時(shí)的變形特性分析,可以獲得SMA絲的含量和初始應(yīng)變、纖維鋪設(shè)角和轉(zhuǎn)速等參數(shù)對(duì)等效抗彎剛度和變形的影響規(guī)律。圖2和圖3表示復(fù)合材料軸跨中的等效剛度隨鋪層角的變化曲線(xiàn),同時(shí)也給出了SMA絲的含量以及初始應(yīng)變的影響。復(fù)合材料軸跨中的等效抗彎剛度基于該點(diǎn)鉛垂集中載荷與鉛垂位移之比來(lái)計(jì)算。結(jié)果表明,復(fù)合材料軸的等效抗彎剛度隨著SMA含量以及初始應(yīng)變的增加而增加。此外,從圖中還可以看出,當(dāng)鋪層角在15°附近時(shí)的等效抗彎剛度取得最大值。

圖4和5表示溫度的改變對(duì)復(fù)合材料軸跨中的等效抗彎剛度的影響,其中也分別展示出SMA絲的含量以及初始應(yīng)變的影響。溫度變化從0 ℃上升到100 ℃(M→A),然后在從100 ℃下降到0 ℃(A→M).從圖4和5中可以看出,復(fù)合材料軸跨中的等效抗彎剛度隨溫度的變化曲線(xiàn)是典型的遲滯迴線(xiàn)。在一個(gè)熱循環(huán)周期內(nèi),等效抗彎剛度隨溫度的變化可以分為兩個(gè)階段:增加階段和減少階段;在馬氏體向奧氏體相變的過(guò)程中,等效抗彎剛度隨著溫度的增加而增加,而從奧氏體向馬氏體相變的過(guò)程,等效抗彎剛度隨著溫度的減小而下降;從圖4可以發(fā)現(xiàn),隨著SMA絲含量的增加,等效抗彎剛度也隨之提高,遲滯迴線(xiàn)向上發(fā)生整體遷移;從圖5可以看出,與SMA絲含量的影響不同,在升、降溫階段的某些溫度區(qū)間,不同初始應(yīng)變下的遲滯迴線(xiàn)會(huì)相互重疊在一起。

(T=50℃,ε0=0.067)圖2 不同SMA含量的等效抗彎剛度隨鋪層角的變化曲線(xiàn)Fig.2TheequivalentbendingstiffnessversusplyanglefordifferentSMAfibercontents(Vs=0.36,T=50℃)圖3 不同初始應(yīng)變的等效抗彎剛度隨鋪層角的變化曲線(xiàn)Fig.3TheequivalentbendingstiffnessversusplyanglefordifferentSMAfiberinitialstrain(θ=30°,ε0=0.067)圖4 不同SMA含量的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的等效抗彎剛度隨溫度的變化曲線(xiàn)Fig.4TheequivalentbendingstiffnessversustemperaturefordifferentSMAfibercontents(Vs=0.36,θ=30°)圖5 不同初始應(yīng)變的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的等效抗彎剛度隨溫度的變化曲線(xiàn)Fig.5TheequivalentbendingstiffnessversustemperaturefordifferentSMAfiberinitialstrain

圖6和7表示復(fù)合材料軸跨中的鉛垂集中載荷作用下的撓度曲線(xiàn),其中給也出了SMA絲的含量以及初始應(yīng)變的影響。由圖6可見(jiàn),增加SMA絲的含量可以明顯提高復(fù)合材料軸抗彎剛度,從而減少軸的彎曲變形;而SMA絲的初始應(yīng)變似乎對(duì)軸的彎曲變形沒(méi)有明顯的影響。

圖8表示轉(zhuǎn)速對(duì)復(fù)合材料軸的彎曲靜變形的影響。結(jié)果表明,轉(zhuǎn)速對(duì)軸的影響主要體現(xiàn)在軟化效應(yīng),即,復(fù)合材料軸抗彎剛度隨著轉(zhuǎn)速的增加而減小,所以,導(dǎo)致相應(yīng)的彎曲變形隨著轉(zhuǎn)速的增加而增加。

圖9表示具有不同纖維鋪設(shè)角的復(fù)合材料軸的彎曲變形曲線(xiàn)。結(jié)果表明,適當(dāng)選擇纖維鋪設(shè)角,有助于降低復(fù)合材料軸的彎曲變形。

(T=50℃,ε0=0.067,Ω=1000rpm,θ=30°)圖6 不同SMA含量的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的橫截面鉛垂位移曲線(xiàn)Fig.6TheverticaldisplacementofcrosssectionfordifferentSMAfibercontents(Vs=0.36,T=50℃,Ω=1000rpm,θ=30°)圖7 不同初始應(yīng)變的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的橫截面鉛垂位移曲線(xiàn)Fig.7TheverticaldisplacementofcrosssectionfordifferentSMAfiberinitialstrain(T=50℃,Vs=0.36,θ=300,ε0=0.067)圖8 不同轉(zhuǎn)速的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的橫截面鉛垂位移變化曲線(xiàn)Fig.8Theverticaldisplacementofcrosssectionfordifferentspinspeed(Vs=0.36,T=50℃,ε0=0.067,Ω=1000rpm)圖9 不同鋪層角的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的橫截面鉛垂位移變化曲線(xiàn)Fig.9Theverticaldisplacementofcrosssectionfordifferentplyangle

圖10和11分別表示具有不同的SMA絲的含量以及初始應(yīng)變的復(fù)合材料軸的橫截面繞y軸轉(zhuǎn)角曲線(xiàn)。有此可見(jiàn),SMA絲的含量以及初始應(yīng)變對(duì)復(fù)合材料軸的橫截面轉(zhuǎn)角沒(méi)有明顯的影響。這可能是由于SMA絲沿著復(fù)合材料軸的軸向單向鋪設(shè)所造成的。

圖12和13分別表示轉(zhuǎn)速和鋪層角對(duì)復(fù)合材料軸的橫截面轉(zhuǎn)角曲線(xiàn)的影響,由此可以看到,轉(zhuǎn)速和鋪設(shè)角對(duì)復(fù)合材料軸的橫截面轉(zhuǎn)角的影響,類(lèi)似于它們對(duì)彎曲變形的影響(見(jiàn)圖8和9)。

圖14-17表示復(fù)合材料軸跨中的鉛垂位移-溫度變化曲線(xiàn),其中分別展示了SMA絲含量、初始應(yīng)變、轉(zhuǎn)速和纖維鋪設(shè)角的影響。由于彎曲變形與抗彎剛度成反比,所以,圖14-17中所有的位移-溫度遲滯迴線(xiàn)的方位與圖3和4的剛度-溫度遲滯迴線(xiàn)的方位剛好相反。由圖14和15可以看到,SMA絲含量和初始應(yīng)變對(duì)位移-溫度遲滯迴線(xiàn)的影響與它們對(duì)剛度-溫度遲滯迴線(xiàn)的影響是相似的。圖16和17表明,轉(zhuǎn)速和纖維鋪設(shè)角能夠明顯地改變位移-溫度遲滯迴線(xiàn)的大小,這也就意味著上述參數(shù)對(duì)復(fù)合材料軸的彎曲變形隨溫度的變化程度的大小有顯著的影響。

(T=50℃,ε0=0.067,Ω=1000rpm,θ=30°)圖10 不同SMA含量的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的橫截面繞y軸轉(zhuǎn)角變化曲線(xiàn)Fig.10Rotationsangleofcrosssectionabouty-axiswithdifferentSMAfibercontents(Vs=0.36,T=50℃,Ω=1000rpm,θ=30°)圖11 不同初始應(yīng)變的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的橫截面繞y軸轉(zhuǎn)角變化曲線(xiàn)Fig.11Rotationsanglecrosssectionaroundy-axiswithdifferentSMAfiberinitialstrain(T=50℃,Vs=0.36,θ=300,ε0=0.067)圖12 不同轉(zhuǎn)速的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的橫截面繞y軸轉(zhuǎn)角變化曲線(xiàn)Fig.12Rotationsangleofcrosssectionaroundyaxiswithdifferentspinspeed(Vs=0.36,ε0=0.067,Ω=1000rpm)圖13 不同鋪層角的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的橫截面繞y軸轉(zhuǎn)角變化曲線(xiàn)Fig.13Rotationsangleofcrosssectionaroundyaxiswithdifferentplyangle(ε0=0.067,Ω=1000rpm,θ=30°)圖14 不同SMA含量的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸跨中鉛垂位移隨溫度變化曲線(xiàn)Fig.14Theverticaldisplacementofthemiddleofshaftvs.temperaturewithdifferentSMAfibercontents(Vs=0.36,Ω=1000rpm,θ=30°)圖15 不同初始應(yīng)變的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸跨中鉛垂位移隨溫度變化曲線(xiàn)Fig.15Theverticaldisplacementofthemiddleofshaftvs.temperaturewithdifferentSMAfiberinitialstrain

為提高計(jì)算精度,同時(shí)驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果隨式(20)截取項(xiàng)數(shù)N增加的收斂性,在位移表達(dá)式(20)中,取不同項(xiàng)數(shù)計(jì)算復(fù)合材料軸跨中鉛垂位移并進(jìn)行比較,結(jié)果如表3所示。由表3可知,隨著項(xiàng)數(shù)N的增大,鉛垂位移趨于一個(gè)固定值,說(shuō)明本文提出的模型與算法具有收斂性。

(Vs=0.36,θ=300,ε0=0.067)圖16 不同轉(zhuǎn)速的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸跨中鉛垂位移隨溫度變化曲線(xiàn)Fig.16Theverticaldisplacementofthemiddleofshaftvs.temperaturewithdifferentspinspeed(Vs=0.36,ε0=0.067,Ω=1000rpm)圖17 不同鋪層角的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸跨中鉛垂位移隨溫度變化曲線(xiàn)Fig.17Theverticaldisplacementofthemiddleofshaftvs.temperaturewithdifferentplyangle

表3 Galerkin法的收斂性(軸跨中鉛垂位移隨N變化趨勢(shì))Tab.3 Convergence of Galerkin method (variation of vertical displacement of the middle of shaft with N).

4 結(jié)論

研究了一個(gè)埋入SMA絲的復(fù)合材料軸的剛度和靜變形特性。基于復(fù)合材料薄壁梁理論、Brinson熱力學(xué)本構(gòu)方程和變分原理建立軸的靜力平衡方程,采用Galerkin法進(jìn)行模型離散化和近似求解。分析結(jié)果表明:

(1)利用SMA絲的馬氏體相變驅(qū)動(dòng)作用可以顯著改善軸的等效抗彎剛度特性和靜變形特性;

(2)溫度的變化對(duì)軸的靜力學(xué)特性有重要的影響,在一個(gè)熱循環(huán)周期內(nèi),由于馬氏體向奧氏體相變(M→A)以及逆相變(A→M)的發(fā)生,等效等效抗彎剛度以及橫向彎曲變形隨溫度的變化曲線(xiàn)是典型的遲滯迴線(xiàn);

(3)SMA絲含量和初始應(yīng)變的增加,可以提高軸的等效抗彎剛度,減小彎曲變形;另一方面,纖維鋪設(shè)角和轉(zhuǎn)速可以明顯改變位移-溫度遲滯迴線(xiàn)的大小,例如,當(dāng)鋪層角在15°附近時(shí)的等效抗彎剛度可以取得最大值,而復(fù)合材料軸抗彎剛度隨著轉(zhuǎn)速的增加而減小,說(shuō)明這些參數(shù)能夠?qū)?fù)合材料軸的變形隨溫度變化程度有顯著的調(diào)節(jié)作用。本文的分析結(jié)果對(duì)于埋入SMA絲的復(fù)合材料傳動(dòng)軸的剛度和變形特性的提供了一定的理論依據(jù)和參考價(jià)值。