基于問題的學(xué)習(xí)讓中職學(xué)生數(shù)學(xué)思維活起來

劉秋女

一、背景分析

數(shù)學(xué)思維，通常所指的是數(shù)學(xué)思維能力，即能夠用數(shù)學(xué)的觀點思考問題和解決問題的能力?；趩栴}的學(xué)習(xí)是以問題貫徹學(xué)習(xí)內(nèi)容，將學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗聯(lián)系起來，把問題解決作為手段和目標(biāo)。它與當(dāng)前中小學(xué)提倡的自主探究、合作學(xué)習(xí)等多種學(xué)習(xí)方式相似，能有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的發(fā)展，有助于更好地將枯燥乏味的數(shù)學(xué)理論課程轉(zhuǎn)化為學(xué)生體驗課程。自2010年起，廣州市中等職業(yè)學(xué)校每兩年開展一次數(shù)學(xué)應(yīng)用（思維）能力競賽，迄今為止共舉辦6次，目的在于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。那如何將日常教學(xué)與比賽備賽結(jié)合起來，讓更多的學(xué)生數(shù)學(xué)思維與應(yīng)用能力能在常態(tài)化數(shù)學(xué)教學(xué)中得以發(fā)展，筆者以人教版“函數(shù)單調(diào)性”一課為例，根據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實際基礎(chǔ)，科學(xué)設(shè)計問題并以問題學(xué)習(xí)為切入口，探索如何在中職課堂中激起學(xué)生思維碰撞的火花，讓中職學(xué)生數(shù)學(xué)思維活起來，最終形成愿意思考、會思考的數(shù)學(xué)課堂。

二、教學(xué)案例

【教學(xué)內(nèi)容】

《數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）上冊》（人民教育出版社）P66-P68，《3.1.3 函數(shù)的單調(diào)性》。

【教材分析】

函數(shù)的單調(diào)性從函數(shù)圖像的角度出發(fā)，學(xué)生并不難理解，但要把這種直觀認(rèn)識上升為理性認(rèn)識，即用符號語言刻畫和描述函數(shù)的單調(diào)性時，大部分學(xué)生就有一定的困難，這個時候需要教師的引導(dǎo)與點撥，因此本節(jié)課重在函數(shù)單調(diào)性定義的形成及理解上，這也就是這節(jié)課所要重點解決的問題。且這種由圖像到數(shù)學(xué)符號的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維也貫通了函數(shù)另一個性質(zhì)——《函數(shù)奇偶性》的學(xué)習(xí)。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.函數(shù)單調(diào)性定義的理解及簡單應(yīng)用;

2.基于問題的學(xué)習(xí)中，體驗函數(shù)單調(diào)性定義的“生成過程”，搭建數(shù)學(xué)思維階梯，提升數(shù)學(xué)思維能力。

【教學(xué)重難點】

函數(shù)單調(diào)性定義的形成與理解。

【教學(xué)過程】

（一）課前微課學(xué)習(xí)

1.觀看微課視頻《函數(shù)的單調(diào)性》（圖1）以及完成相關(guān)在線試題（圖2）。

評析：通過課前微課告知學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生在“微課”學(xué)習(xí)中遺留下的一些不理解的知識為課堂學(xué)習(xí)提供了一個重要的解決問題的契機。

（二）開門見山，提出問題

問題1：你能描述一下函數(shù)y=x2 圖像（圖3）的升降規(guī)律嗎？

生1：圖像在y軸右側(cè)是上升的，在y軸右側(cè)是下降的。

評析：讓學(xué)生描述函數(shù)y=x2圖像的升降規(guī)律，從觀察具體函數(shù)圖像為切入點提出這一基本問題，符合中職生數(shù)學(xué)思維水平，遵循數(shù)學(xué)思維發(fā)展從具體形象出發(fā)。問題是數(shù)學(xué)思維的起點，從基礎(chǔ)問題出發(fā)能激活學(xué)生原來已經(jīng)習(xí)得的數(shù)學(xué)知識，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的好奇心和興趣。

（三）感性認(rèn)識增（減）函數(shù)

問題2：函數(shù)y=x2的圖像在y軸右側(cè)（左側(cè)）是呈上升（下降）的趨勢，那怎樣利用自然語言描述這種“上升”呢？

師：也就是在特定的范圍內(nèi)，應(yīng)變量y與自變量x的變化關(guān)系如何描述？

生1：函數(shù)圖像在y軸右側(cè)是上升的趨勢可以描述為：當(dāng)x>0時，應(yīng)變量y隨自變量x的增大而增大。

生2：函數(shù)圖像在y軸左側(cè)是下降的趨勢可以描述為：當(dāng)x<0時，應(yīng)變量y隨自變量x的增大而減小。

評析：學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，根據(jù)當(dāng)前的問題去調(diào)動、激活以往的經(jīng)驗、知識，以融會貫通的方式對學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行重新組織，在解決問題中，發(fā)生思維的碰撞。

（四）理性分析增（減）函數(shù)

問題3：如何用符號語言描述這種“上升”或“下降”呢？

師：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在（0，+）上，任意改變x1，x2的值，只要當(dāng)x1

在（-，0）上，任意改變x1，x2的值，只要當(dāng)x1x22。

評析：教師科學(xué)設(shè)問，學(xué)生經(jīng)歷從“圖像”到“自然語言”最后“符號語言”三個梯度的體驗，問題層層深入引導(dǎo)學(xué)生逐步深入思考。在問題解決的體驗過程中，學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣度和深度隨之?dāng)U展，進(jìn)而有效地激發(fā)學(xué)生抽象思維的發(fā)展，逐漸搭建數(shù)學(xué)思維能力。隨后再給出增（減）函數(shù)的形式化定義，學(xué)生經(jīng)歷定義的形成過程，對定義的理解起來相對輕松，對幫助學(xué)突破難點有一定的作用。

（五）實際應(yīng)用，發(fā)展提升

課堂例題及練習(xí)主要從兩個方面設(shè)計，一方面是給出具體的函數(shù)圖像（分有限區(qū)間及無限區(qū)間兩類），確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;另一方面是給出較簡單函數(shù)的解析式（如一次函數(shù)f（x）=3x+2），請學(xué)生利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的題目，最后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題步驟，其目的仍是幫助學(xué)理解函數(shù)單調(diào)性的含義，但根據(jù)中職生的知識基礎(chǔ)及認(rèn)知能力不宜成為重點。

（六）反例的獨特作用

問題4：對于特定的兩個x1，x2的值，當(dāng)x1

生1：這個符合了增函數(shù)的定義，必然成立;生2：在函數(shù)y=x2中，也有當(dāng)1<2時，有12<22，結(jié)果成立;生3：在函數(shù)y=2x中，也有當(dāng)-2<5時，有-4<10，結(jié)果成立;

……

也有提出反對的意見：生3：在函數(shù)y=x2中，也有當(dāng)-3<2時，卻有（-3）2>22，結(jié)果不成立;更有學(xué)生舉出反例：生4：在函數(shù)f（x）=-1x中，當(dāng)-1<1時，卻有f（-1）>f（1），結(jié)果不成立;

師：因此，在理解函數(shù)單調(diào)性的定義中，我們必須強調(diào)“任意”二字。任意性指的是兩個自變量x1，x2的任意性，不能是給定的兩個。

評析：課堂的精彩源于學(xué)生的即興討論。通過老師有意義的設(shè)問，對接點在于“任意”兩字，全班學(xué)生的討論、舉例論證，學(xué)生會有一種豁然開朗的感覺，從而可以幫助學(xué)生深刻、準(zhǔn)確地把握和理解單調(diào)性定義。所以，在課堂的教學(xué)中，教師如能充分地信任學(xué)生、不低估學(xué)生，學(xué)生的思維潛力將無限，課堂更加精彩。

三、教學(xué)思考

在中職數(shù)學(xué)的常規(guī)教學(xué)中，教師根據(jù)學(xué)情設(shè)計有意義、有梯度的問題，能有效激發(fā)學(xué)生發(fā)生思考，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，促使學(xué)生良好的思維品質(zhì)的形成。

1.微課設(shè)問，激發(fā)思維碰撞

微課是一種教學(xué)輔助手段，它是一個教學(xué)載體，而“問題”是核心。在本課的教學(xué)中，課前以微課學(xué)習(xí)引領(lǐng)為手段，課中以問題驅(qū)動引領(lǐng)為主線?！拔⒄n”是推送給學(xué)生讓學(xué)生課前學(xué)習(xí)，實際上是一種帶有老師講解的預(yù)習(xí)，學(xué)生可以有時間、有空間，反復(fù)推敲、琢磨重點與難點問題。課堂是師生交流、互動、探究的重要場所，它為學(xué)生在“微課”學(xué)習(xí)中遺留下的一些不理解的知識提供了一個重要的解決問題的契機。因此，結(jié)合教學(xué)目標(biāo)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計恰當(dāng)?shù)摹皢栴}”又成為備課的關(guān)鍵。課堂上引領(lǐng)學(xué)生以“問題為中心”開展討論、交流，激起認(rèn)知沖突、產(chǎn)生思維的碰撞，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，這才是課堂教學(xué)所追求的目標(biāo)和方向。

2.問題引領(lǐng)，活躍思維能力

（1）問題引領(lǐng)學(xué)習(xí)，體驗概念的生成過程

在《函數(shù)的單調(diào)性》課堂教學(xué)過程中，教師利用y=x2圖像的變化趨勢的問題點開門見山引入，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考。再過渡到數(shù)學(xué)的自然語言及數(shù)學(xué)的符號語言描述自變量x與因變量y的變化關(guān)系，最后給出增（減）函數(shù)的形式化定義。通過對問題的層層深入的解決，學(xué)生學(xué)習(xí)的成就感得以滿足，這種感受會促使學(xué)生繼續(xù)利用已有的知識去思考探索新知識，在探索中體驗和領(lǐng)悟。

（2）問題引起質(zhì)疑，創(chuàng)造課堂的最高境界

筆者的理解，課堂互動的最高境界是思維的碰撞，也是課堂上教師鼓勵學(xué)生質(zhì)疑，有學(xué)生不同的討論聲音，這樣的課堂才有生機和活力。

基于問題學(xué)習(xí)的《函數(shù)單調(diào)性》教學(xué)中，依托課前微課設(shè)疑，課中問題貫穿整個教學(xué)始終，以問題激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維的參與，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維遵循從具體思維到抽象思維的發(fā)展規(guī)律，最后到達(dá)辯證思維的體驗過程。總的來說，教師有意義地設(shè)計階梯問題，將數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練貫徹到常規(guī)課堂教學(xué)中，達(dá)到幫助學(xué)生逐漸形成良好的思維品質(zhì)的目的。在“潤物細(xì)無聲”中，希望學(xué)生能在以后的學(xué)習(xí)中學(xué)會運用數(shù)學(xué)思維去解決問題，最高的層次乃是在生活中，具有數(shù)學(xué)思維，遇到問題能勇往直前地解決問題，這恰恰就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最大的價值。

[本文是廣州市教育科學(xué)規(guī)劃2016年度立項課題：中職《數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）》微課資源建設(shè)與應(yīng)用的研究（課題編號：1201554663）的研究成果。]

責(zé)任編輯朱守鋰