2n+1階幻方的先縱后橫錯(cuò)位構(gòu)造法

劉興祥，張 婧，劉娟娟

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

矩陣是代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要研究對(duì)象，近年來關(guān)于幻方研究層出不窮[1-6]。目前，關(guān)于幻方構(gòu)造的方法已相當(dāng)豐富。本文根據(jù)幻方的定義及其性質(zhì)，研究了利用先縱后橫錯(cuò)位構(gòu)造的方法對(duì)2n+1階幻方的構(gòu)造，給予了證明并舉例說明。

1 預(yù)備知識(shí)

定義2[1，2]設(shè)矩陣A=(aij)m×n∈Zm×n，m,n∈N*，若(11…1)1×m(aij)m×n=Cr(11…1)1×n，則稱矩陣A=(aij)m×n為Z上的m×n階列和幻陣，其中Cr稱為m×n階列和幻陣A的列幻和。

定義3[2，3]設(shè)矩陣A=(aij)m×n∈Zm×n，m,n∈N*，若矩陣A滿足以下條件:

②(11…1)1×m(aij)m×n=Cr(11…1)1×n；

③Cr=Cl。

則稱矩陣A=(aij)m×n為Z上的m×n階行列和幻陣，其中Cl或Cr稱為m×n階行列和幻陣A的行列幻和。

定義4[3]設(shè)矩陣A=(aij)m×n∈Zm×n，m,n∈N*，若矩陣A滿足以下條件：

②(11…1)1×m(aij)m×n=Cr(11…1)1×n；

③Cr=Cl；

④m=n。

則稱矩陣A=(aij)為Z上的m階弱和幻方，其中Cl或Cr稱為m階弱和幻方A的弱幻和。

定義5[1-3]設(shè)矩陣A=(aij)m×n∈Zm×n，m,n∈N*，若矩陣A滿足以下條件：

①m=n；

③(11…1)1×m(aij)m×n=Cr(11…1)1×n；

⑥Cl=Cr=Cmd=Ccd。

則稱矩陣A=(Aij)m×n為Z上的m階和幻方，幻和記為CS，且CS=Cl=Cr=Cmd=Ccd。

2 主要結(jié)論

定理已知函數(shù)f(x)的定義如下：

對(duì)?x=(x1,x2,…,xn,xn+1，…x2n+1)∈(N*)1×n，則

設(shè)矩陣A=((i-1)(2n+1)+j)∈(N*)(2n+1)×(2n+1)，令A(yù)=(α1，…，α2n+1)，B=(β1，…，β2n+1)，

證明：當(dāng)n=k時(shí)(記m=2k+1)，

A=(α1,α2,α3,…,αk,αk+1,αk+2,…,α2k-1,α2k,α2k+1)，

令

B=(β1,β2,β3,…,βk,βk+1,βk+2,…,β2k-1,β2k,β2k+1)，

此時(shí)，矩陣B的每行和為1，2，3，…，2k+1,m,2m,…,2km的和，為(2k+1)(2k2+2k+1)。

B=(u1,u2,u3,…,uk,uk+1,uk+2,…,u2k-1,u2k,u2k+1)T，

其中，

C=(v1,v2,v3,…,vk,vk+1,vk+2,…,v2k-1,v2k,v2k+1)T，

此時(shí)，矩陣C的每行每列及主副對(duì)角線和都為1，2，3，…，2k+1,m,2m,…,2km的和，為(2k+1)(2k2+2k+1)。

證畢。

例1 利用先縱后橫的構(gòu)造方法構(gòu)造一個(gè)3階幻方。

當(dāng)n=1時(shí)，C是一個(gè)3階幻方，幻和為15。

例2 利用先縱后橫的構(gòu)造方法構(gòu)造一個(gè)5階幻方。

當(dāng)n=2時(shí)，令A(yù)=(α1,α2,α3,α4,α5)，

v1=(12 3 19 25 6)，

v2=(8 24 5 11 17)，

v3=(16 22 13 4 10)，

v4=(9 15 21 2 18)，

v5=(20 1 7 23 14)。

當(dāng)n=2時(shí)，C是一個(gè)5階幻方，幻和為65。