如何構(gòu)建富有數(shù)學(xué)思想的課堂

陳清泉

摘 要：“基本數(shù)學(xué)思想”是新課標(biāo)的“四基”之一，可見其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性。文章從數(shù)學(xué)思想的特點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想的價(jià)值取向以及構(gòu)建富有數(shù)學(xué)思想的課堂三個(gè)方面進(jìn)行闡述，既對(duì)數(shù)學(xué)思想特點(diǎn)進(jìn)行剖析，又結(jié)合課堂教學(xué)的不同環(huán)節(jié)闡明如何發(fā)展數(shù)學(xué)思想，以期為構(gòu)建富有數(shù)學(xué)思想的課堂提供可行的方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想;小學(xué);數(shù)學(xué)課堂

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 收稿日期：2019-03-05 文章編號(hào)：1674-120X（2019）14-0052-02

一、基本數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想源于人們對(duì)某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)過程，它既是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括、提升后產(chǎn)生的數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，又是思維活動(dòng)經(jīng)過提煉與濃縮的結(jié)果?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出：數(shù)學(xué)課程內(nèi)容“不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的過程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法”。

同時(shí)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在課程總目標(biāo)中指出，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，“學(xué)生能獲得數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。這說明“數(shù)學(xué)思想”既是課程學(xué)習(xí)的一個(gè)基本目標(biāo)，也是課程教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。從這一點(diǎn)上看，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的重要組成部分。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，常見的數(shù)學(xué)思想有概括思想、歸納思想、轉(zhuǎn)化思想、抽象思想、分類思想、類比思想、函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、符號(hào)化思想與模型思想等。這些思想既是數(shù)學(xué)思想中最基本的部分，也是最核心的部分，需要教師在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中結(jié)合知識(shí)和技能的教學(xué)加以滲透。

二、數(shù)學(xué)思想價(jià)值取向

（一）有利于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)

數(shù)學(xué)思想是在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中抽象概括的產(chǎn)物，具有抽象性與概括性。它在學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中能幫助學(xué)生將新知識(shí)轉(zhuǎn)化成舊的知識(shí)，從而納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì);能引導(dǎo)學(xué)生辨析事物的本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力。學(xué)生只有認(rèn)識(shí)到隱藏在具體數(shù)學(xué)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想，才能從根本上理解知識(shí)、掌握知識(shí)和應(yīng)用知識(shí)。

（二）有利于學(xué)生創(chuàng)造能力的培養(yǎng)

由于數(shù)學(xué)思想是意識(shí)形態(tài)的產(chǎn)物，它是思維活動(dòng)高度概括與提煉的結(jié)果。學(xué)生根據(jù)知識(shí)的特點(diǎn)，憑借思維的想象和創(chuàng)造就可以獲得各種可能的結(jié)果。學(xué)生在分析和解決問題中產(chǎn)生的原始的想象與創(chuàng)造的經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過濃縮與提煉將成為常用的數(shù)學(xué)思想與方法。因此，從這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)思想是創(chuàng)造力的產(chǎn)物，豐富的數(shù)學(xué)思想能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力。

三、構(gòu)建富有數(shù)學(xué)思想的課堂

（一）立足數(shù)學(xué)本質(zhì)，挖掘數(shù)學(xué)思想

在數(shù)學(xué)教材中，教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)有兩種方式：一種是直觀和可視的內(nèi)容，如數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、性質(zhì)、公式、法則等，作為教學(xué)內(nèi)容直接明了地寫在教材中;另一種是無法直讀和隱性的內(nèi)容，如數(shù)學(xué)思想，深深地隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的背后。教學(xué)中，教師要將知識(shí)與技能背后隱藏的數(shù)學(xué)思想挖掘出來，使其顯性化，并結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)過程有效地加以滲透。如在執(zhí)教蘇教版四年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《運(yùn)算律》這一單元時(shí)，當(dāng)學(xué)生分別寫出了具有加法交換律、乘法交換律、結(jié)合律、分配律的等式后，教材均提出“你能再寫幾個(gè)這樣的等式嗎？”學(xué)生根據(jù)原有等式的特點(diǎn)類比推出其他等式，在這一過程中滲透了推理范疇中的類比的數(shù)學(xué)思想。之后教材通過“說說你有什么發(fā)現(xiàn)？”讓學(xué)生根據(jù)這些等式的特點(diǎn)，不完全歸納出它們的共同特點(diǎn)，這種從特殊到一般的推理過程正是歸納思想的應(yīng)用。接著學(xué)生概括出這些等式的共同特點(diǎn)（運(yùn)算律），并用簡潔的字母式子表示出運(yùn)算律，這是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中概括思想的又一應(yīng)用。同時(shí)，學(xué)生通過猜想、舉例、驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并對(duì)規(guī)律進(jìn)行概括的過程也正是建模的過程，在這一過程中滲透了數(shù)學(xué)模型思想。當(dāng)然，這些數(shù)學(xué)思想是以“暗線”的形式隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，需要教師去發(fā)掘、去滲透。

（二）結(jié)合探索過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程總是伴隨著數(shù)學(xué)思想的發(fā)展，仔細(xì)分析小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，無不體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的發(fā)展與應(yīng)用。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，概念的建構(gòu)、公式的推導(dǎo)、規(guī)律的揭示、結(jié)論的總結(jié)等過程，都蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)思想的發(fā)生與應(yīng)用。教師在學(xué)生經(jīng)歷與體驗(yàn)學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想及方法，使學(xué)生的學(xué)習(xí)成為一個(gè)明思想、重過程、求發(fā)展的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，讓數(shù)學(xué)思想成為指引學(xué)生學(xué)習(xí)的一盞明燈。

如講授蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《圓的面積》一課時(shí)，教師讓學(xué)生“將一個(gè)圓形紙片剪下來，按16等份剪開，再拼一拼，看看拼成什么圖形”。“如果把圓平均分成32份、64份……拼成的圖形有什么變化？拼成的長方形與原來的圓有什么關(guān)系？”學(xué)生通過動(dòng)手操作、觀察比較，經(jīng)歷了把一個(gè)圓形轉(zhuǎn)化成長方形或已學(xué)過的圖形的過程，體驗(yàn)了轉(zhuǎn)化思想在圖形轉(zhuǎn)化過程中的應(yīng)用，積累了轉(zhuǎn)化思想在解決問題中應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)。這種結(jié)合知識(shí)的探索過程，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想的發(fā)生過程在“多邊形的面積”的教學(xué)中尤為明顯。又如，蘇教版五年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)方程》一課，用式子表示天平兩邊物體質(zhì)量的關(guān)系：50+50=100、60+50>100、x+50>100、x+50=150、x+50<200、2x=200。之后，將這些式子進(jìn)行分類，學(xué)生有的將它們分成等式與不等式，有的將它們分成含有未知數(shù)的式子和不含未知數(shù)的式子，進(jìn)而分類成含有未知數(shù)的等式和不含未知數(shù)的等式，最后揭示出“像x+50=150、2x=200這樣含有未知數(shù)的等式是方程”。在這一過程中，學(xué)生經(jīng)歷了根據(jù)式子的特點(diǎn)分類出不同屬性的式子，進(jìn)而抓住它們的共同屬性，并分類、概括出“含有未知數(shù)的等式”這一特征群體。學(xué)生在辨析過程中經(jīng)歷了分類數(shù)學(xué)思想的發(fā)展與應(yīng)用。

（三）緊扣問題解決，凸顯數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)問題的解決，是一個(gè)問題不斷明晰的過程，是數(shù)學(xué)思想反復(fù)運(yùn)用的過程。數(shù)學(xué)問題的每一步轉(zhuǎn)化不是學(xué)生憑空臆想的結(jié)果，它是學(xué)生在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下，應(yīng)用數(shù)學(xué)思想的結(jié)果。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)突出數(shù)學(xué)思想在解決問題中的指導(dǎo)作用，彰顯數(shù)學(xué)思想在解決問題中的應(yīng)用過程。如蘇教版五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《解決問題的策略》，教材要求學(xué)生“計(jì)算+++”，此外，還讓學(xué)生“把一個(gè)正方形看作單位‘1，把算式中的加數(shù)填入下圖（如圖1）：空白部分占大正方形的幾分之幾？把算式和圖形聯(lián)系起來想一想，原來的算式可以怎樣轉(zhuǎn)化？”學(xué)生在將算式轉(zhuǎn)化成圖形后，很直觀地看出把大正方形減去空白部分得到的就是各彩色部分之和。學(xué)生在解決這個(gè)問題的過程中明確了，借助畫圖，把算式與圖形結(jié)合可以很快找到解決問題的方法，真正體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想給解決某些問題帶來的便利。學(xué)生一旦感受到數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)越性，就會(huì)在內(nèi)心對(duì)這種思想方法產(chǎn)生喜愛。

（四）回顧總結(jié)過程，梳理數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)教材是根據(jù)不同領(lǐng)域內(nèi)容由淺入深系統(tǒng)編排的，數(shù)學(xué)思想方法則蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中。數(shù)學(xué)思想在教學(xué)內(nèi)容中的呈現(xiàn)是零散的，沒有進(jìn)行系統(tǒng)的編排。這就要求教師在每節(jié)課的教學(xué)中，以及課后小結(jié)、單元小結(jié)時(shí)及時(shí)梳理，總結(jié)提煉它們的共同特點(diǎn)，使數(shù)學(xué)思想納入學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，并不斷完善，形成網(wǎng)絡(luò)。如蘇教版六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《平面圖形周長和面積的整理復(fù)習(xí)》教學(xué)中，教師讓學(xué)生回顧反思：“我們學(xué)過哪些平面圖形的面積公式？這些公式各是怎樣推導(dǎo)的？”學(xué)生根據(jù)推導(dǎo)的過程進(jìn)行整理并形成網(wǎng)絡(luò)圖（如圖2）。學(xué)生在整理過程中逐步明確可以將未知的圖形轉(zhuǎn)化成已知的圖形，從而推導(dǎo)出面積公式的學(xué)習(xí)方法。過去學(xué)習(xí)單個(gè)圖形面積的過程是零散的，缺少系統(tǒng)與整體的認(rèn)識(shí)，而在復(fù)習(xí)、梳理中結(jié)合網(wǎng)絡(luò)圖能更好地呈現(xiàn)知識(shí)間的聯(lián)系，更容易幫助學(xué)生反思推導(dǎo)的過程，并且更能體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想在解決問題中的作用。這種借助復(fù)習(xí)、總結(jié)知識(shí)，再現(xiàn)學(xué)習(xí)過程的行為，能使學(xué)生更清晰地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)思想。

（五）反思思想構(gòu)建，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，往往只關(guān)注數(shù)學(xué)表面的知識(shí)與技能，較少去挖掘和發(fā)現(xiàn)知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想;在實(shí)際分析問題和解決問題中，也往往只是按要求完成解題任務(wù)，很少反思解題思想。

所以在教學(xué)中，教師要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生反思在知識(shí)與技能學(xué)習(xí)中所包含的數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生理解基本數(shù)學(xué)思想在學(xué)習(xí)中所發(fā)揮的指導(dǎo)作用，讓學(xué)生去感悟數(shù)學(xué)思想的深?yuàn)W，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想的精妙，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想的情感體驗(yàn)，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力。例如，在學(xué)習(xí)加法交換律時(shí)，學(xué)生已經(jīng)初步體會(huì)了數(shù)學(xué)概括思想、模型思想。因此在接下來的加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律這些運(yùn)算律的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地用這些數(shù)學(xué)思想去引領(lǐng)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟。又如，蘇教版六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《解決問題的策略》中的一道題：美術(shù)組男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的2/5，已知女生有21人，男生有多少人？學(xué)生在過去的學(xué)習(xí)中體會(huì)了數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化的思想給解決問題帶來的便利。因此，教師可以讓學(xué)生在分析數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生思考解答方法。學(xué)生思考解題策略的過程，實(shí)際上是對(duì)數(shù)學(xué)思想的反思與重現(xiàn)過程，它能使學(xué)生在數(shù)學(xué)思想的指引下更快地掌握解題方法，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想的綜合應(yīng)用。

四、結(jié)語

綜上所述，數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有較高的指導(dǎo)作用，它需要教師努力地構(gòu)建富有數(shù)學(xué)思想的課堂，在教學(xué)中去挖掘、滲透數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的體驗(yàn)與應(yīng)用。

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