基于二維最簡顆粒排列的線性與赫茲模型參數研究

郭 鴻， 曹 龍， 張科強， 陳能遠， 馬帥帥， 王 普

(1.陜西理工大學 土木工程與建筑學院， 陜西 漢中 723000；2.信息產業(yè)部 電子綜合勘察研究院， 陜西 西安 710054)

離散元方法(Discrete Element Method，DEM)在當今的科研領域應用愈來愈廣泛，如巖土工程[1-2]、地質構造、機械工程等領域。離散元方法著眼于對固體和松散介質力學特性的深入研究，適合描述固體材料中細觀、宏觀裂紋擴展、破壞累積并斷裂、破壞沖擊和微震響應等問題。PFC2D/3D(二維/三維顆粒流程序)是離散元方法的主流軟件之一，其中線性接觸模型和赫茲接觸模型是最常用的兩個模型。相對于線性接觸模型，赫茲接觸模型能更真實地模擬球體與墻體、球體與球體的接觸效果。劉暢等人[3]通過PFC2D建立了巖石材料的單軸和雙軸離散元[4]數值模擬試驗，進行了平行黏結有關參數[5-7]標定過程的研究，總結了細觀參數與宏觀參數之間的關系，方便平行黏結有關參數的確定。徐小敏等人[8]通過室內三軸試驗的PFC3D模擬和結果的回歸分析，基于線性接觸模型建立了顆粒材料初始楊氏模量、初始泊松比等宏觀彈性常數與顆粒法向剛度、顆粒剛度比等細觀彈性常數間的經驗公式。然而，就常用的兩種接觸模型(赫茲模型和線性模型)而言，其參數之間的相互聯(lián)系和標定目前尚未見文獻報道。

另外，在PFC2D運用過程中[9]，首先需要確定顆粒的相關參數，包括顆粒的尺寸，顆粒的剛度、強度，以及剪切模量、泊松比[10-11]等，計算模型參數的正確取值，有利于減少程序調試的次數。

鑒于此，本文以二維情況下規(guī)則排列的顆粒為研究對象，以赫茲模量和線性模型為理論基礎，在目前國內外學者普遍運用的“試錯法”[12]的基礎上，深入研究線性接觸模型和赫茲接觸模型相關參數的關系，推導兩種模型關鍵參數之間的關系。

1 數學模型推導

PFC2D是通過離散單元方法來模擬圓形顆粒介質的運動及其相互作用[13]。赫茲接觸和線性接觸可承受有限壓力，兩種模型用不同的計算方法模擬顆粒接觸，可模擬材料的本構行為。

線性模型：線性接觸模型由常用的剪切剛度Kn和Ks定義相關模型參數(墻體和球體、球體和球體)。

赫茲(Hertz)模型：Hertz-Mindlin 接觸是基于Mindlin和德雷謝維奇(1953)理論的近似計算模型，在Cundall(1988)中描述了非線性接觸公式。它僅適用于接觸球面的情況。赫茲模型的基本參數為剪切模量G和泊松比v。

在PFC2D手冊的基礎上，對公式進行處理，得出線性模型與赫茲模型在形變量與受力相同的情況下，剪切模量G的計算方法。

線性模型中關于球體的法向剛度：

(1)

切向剛度：

(2)

赫茲模型中球體的法向剛度：

(3)

切向剛度：

(4)

在球體與球體、球體與墻體接觸的部分參數計算如下：

球體與球體接觸：

球體與墻體接觸：

(5)

在赫茲模型中力與形變量的關系為曲線，對形變量積分得出形變量與力的關系式：

(6)

(7)

由式(7)可知：

(8)

由式(5)可知：

(9)

(10)

由式(10)得：

(11)

進一步，可得出：

(12)

由于赫茲模型的參數標定程序相對復雜，而線性模型參數標定容易，因此，在已知最終應力和變形等效的情況下，用線性模型代替赫茲模型進行數值模擬，可以提高計算效率。

2 PFC2D模型建立及數據分析

2.1 規(guī)則模型建立

圖1 顆粒模型

2.2 線性模型和赫茲模型的數值壓縮試驗對比

4種規(guī)則排列顆粒體系的線性接觸模型參數和赫茲模型參數如表1所示，相應的壓縮試驗結果如圖2所示。不失一般性，對于2×1排列顆粒，泊松比取值為0.4，其余排列均為0.1，法向剛度均取為同一數值1.0×107N/m。

表1 顆粒模型參數表

(a) 2×1排列顆粒 (b) 10×1、10×3、10×5排列顆粒圖2 線性接觸模型和赫茲接觸模型接觸力與總變形量關系曲線

2.3 相同力與變形量條件下剪切模量與泊松比關系

以10×1顆粒體系為例，分別建立線性接觸模型和赫茲接觸模型與上節(jié)例子相同，線性模型的參數法向剛度取值為1.0×107N/m。以10×1顆粒體系為數值試樣進行壓縮試驗，設定一定壓縮量3.79 cm，則線性接觸模型的最大接觸力為21.1 kN。赫茲模型的參數泊松比取5個值，分別是0.1、0.2、0.3、0.4、0.5，則可以根據兩個模型的最終等效確定剪切模量G。赫茲接觸模型的數值壓縮試驗和用式(11)計算所得的剪切模量G和泊松比ν的關系如圖3所示?？梢钥闯觯M值和理論值非常接近，從而驗證了式(11)的正確性。

圖3 剪切模量與泊松比關系圖

3 結 論

本文通過數學推導的方法，提出了離散元數值模擬中線性接觸模型和赫茲接觸模型參數的相互關系，并通過建立不同排列規(guī)則模型的方法，分別用線性接觸模型和赫茲模型進行了數值模擬驗證。結果表明，所推導的線性模型與赫茲模型的參數正確。

(1)在模型其他參數條件不變的情況下，赫茲模型的剪切模量隨著其泊松比的增大而線性減?。?/p>

(2)相同條件下，赫茲接觸模型的剪切模量隨著線性接觸模型法向剛度的增大而指數增大；

(3)線性接觸模型由于參數標定容易確定，在總應力-應變等效的情況下，可以用本文推導出的公式進行模型代換赫茲接觸模型，提高數值模擬效率；

(4)對于不規(guī)則排列顆粒模型參數關系的驗證及計算方法的改進，還有待于進一步研究。