以函數(shù)為例談數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有機(jī)融合

王 嶸

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

縱觀百年發(fā)展，我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)課程從傳授知識(shí)到發(fā)展智能再到提升素養(yǎng)，越來越注重?cái)?shù)學(xué)的育人價(jià)值.特別是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》)，提出了六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并給出了明確具體的界定.在教材編寫、教學(xué)實(shí)踐和學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)中，如何處理數(shù)學(xué)知識(shí)與核心素養(yǎng)的關(guān)系，達(dá)成兩者的有機(jī)融合，是實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)的關(guān)鍵.本文以函數(shù)為例，聚焦教材編寫，從體系建構(gòu)和呈現(xiàn)方式兩個(gè)方面探討這個(gè)問題.

1 強(qiáng)調(diào)邏輯性和關(guān)聯(lián)性的主線建構(gòu)

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立、又相互關(guān)聯(lián)，是一個(gè)有機(jī)的整體，而且它們是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中逐步形成和發(fā)展的.因此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有連續(xù)性和階段性.相應(yīng)地，教材就需要構(gòu)建一個(gè)結(jié)構(gòu)體系，努力處理好知識(shí)的整體性和層次性與素養(yǎng)的連續(xù)性和階段性之間的關(guān)系.

核心概念位居數(shù)學(xué)概念體系的中心，它既具有豐富的數(shù)學(xué)基本特征，又具有很強(qiáng)的自我生長(zhǎng)能力和聯(lián)系紐帶作用.因此，無論是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)還是核心素養(yǎng)，它都具有強(qiáng)大的縱向融合貫通、橫向緊密聯(lián)系的組織功能.[1][2]以核心概念的邏輯發(fā)展為主線組織相關(guān)知識(shí)，以其子概念為載體，發(fā)展不同主線間的聯(lián)系，就能形成主線明確、聯(lián)系通道順暢的網(wǎng)狀教材體系，從而將數(shù)學(xué)知識(shí)的整體構(gòu)建與核心素養(yǎng)的連續(xù)發(fā)展融為一體.

1.1 單條主線的縱向貫通

根據(jù)函數(shù)的邏輯發(fā)展，從定義到性質(zhì)，從一般到具體和特殊，從關(guān)系到對(duì)象，形成了貫穿高中數(shù)學(xué)課程的函數(shù)主線(圖1).首先，基于初中函數(shù)定義的變量說，提升抽象程度，研究一般函數(shù)的概念，得到函數(shù)定義的對(duì)應(yīng)關(guān)系說，并系統(tǒng)研究函數(shù)的性質(zhì)；然后基于一般的函數(shù)概念，既可以根據(jù)變化規(guī)律的特點(diǎn)，分析數(shù)量關(guān)系特征(函數(shù)結(jié)構(gòu))，得到四類基本初等函數(shù)，也可以將定義域限制在自然數(shù)集，得到一類特殊的函數(shù)——數(shù)列，并研究這些函數(shù)類的性質(zhì)和應(yīng)用；最后，將函數(shù)作為一種對(duì)象，從對(duì)函數(shù)分類到研究一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)入數(shù)學(xué)分析的領(lǐng)域.

圖1 函數(shù)的邏輯發(fā)展主線[注] 虛線框?yàn)槌踔袑W(xué)過的知識(shí)，仿宋字為滲透使用、延伸到大學(xué)將學(xué)的知識(shí).

根據(jù)這條主線，教材采用相對(duì)集中、分段安排的編排方式，以突出知識(shí)的邏輯性、整體性和素養(yǎng)的連續(xù)性、階段性.具體做法有：(1)函數(shù)的概念、函數(shù)的表示法、函數(shù)的性質(zhì)、基本函數(shù)類、函數(shù)的應(yīng)用集中于一冊(cè)，放在高一年級(jí)；特殊函數(shù)類、一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)集中于一冊(cè)，放在高二年級(jí).(2)函數(shù)的理解，分為兩個(gè)階段：一是理解它的概念本質(zhì)，即對(duì)應(yīng)關(guān)系；二是對(duì)函數(shù)進(jìn)行分類，把每一類函數(shù)當(dāng)作一個(gè)整體并研究它的結(jié)構(gòu)與共性，即將函數(shù)作為一個(gè)對(duì)象進(jìn)行操作.例如根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)差異可以分為冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，這些基本初等函數(shù)是函數(shù)大廈的基石，經(jīng)過有限次代數(shù)運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算、逆運(yùn)算(反函數(shù))，以及求極限、導(dǎo)數(shù)、積分就可以得到更多的新函數(shù).(3)函數(shù)的性質(zhì)，也分為兩個(gè)階段理解：一是介紹四個(gè)初等性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、最值(有界性)、奇偶性和周期性；二是滲透連續(xù)性和可導(dǎo)性，這種滲透都是基于直觀上的使用，例如結(jié)合圖象對(duì)“連續(xù)不斷曲線”的感知，以及結(jié)合具體函數(shù)認(rèn)識(shí)某一點(diǎn)“可導(dǎo)”等.對(duì)于分階段學(xué)習(xí)和理解的知識(shí)，教材通過關(guān)注以下兩點(diǎn)來加強(qiáng)主線的整體性：(1)從哪里來，延續(xù)初中所學(xué)，往哪里去，延伸到大學(xué)將學(xué)，例如章引言、節(jié)引言和章小結(jié)中的概要說明；(2)階段性總結(jié)，例如函數(shù)性質(zhì)的高一與高二的跨年級(jí)總結(jié)，特別是單調(diào)性的直觀理解、代數(shù)求解、導(dǎo)數(shù)刻畫的總結(jié)以及相關(guān)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的階段性提升.

1.2 不同主線間的橫向聯(lián)系

除了函數(shù)主線，高中數(shù)學(xué)課程還有三條主線：幾何與代數(shù)，概率與統(tǒng)計(jì)，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)[3].以函數(shù)的某些子概念為載體，就可以發(fā)展出與其他主線的聯(lián)系(圖2).函數(shù)是刻畫運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)學(xué)模型，其類型的多樣性和性質(zhì)的豐富性使得它可以表達(dá)豐富的現(xiàn)實(shí)世界規(guī)律.因此，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)和函數(shù)學(xué)習(xí)有一種天然的聯(lián)系，從獲得函數(shù)概念、每一類函數(shù)以及函數(shù)的應(yīng)用，幾乎都離不開建模活動(dòng).而基本初等函數(shù)以及通過運(yùn)算產(chǎn)生的新函數(shù)為概率與統(tǒng)計(jì)提供了相應(yīng)的數(shù)學(xué)工具，例如用函數(shù)模型模擬雙變量情形中的趨勢(shì)，建立回歸模型，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)了解正態(tài)分布的特點(diǎn).進(jìn)一步，當(dāng)用代數(shù)方法研究幾何時(shí)，運(yùn)動(dòng)、曲線、函數(shù)就和諧地聯(lián)系在一起了，如一次函數(shù)與直線，二次函數(shù)與拋物線，三角函數(shù)與圓、斜率、向量、復(fù)數(shù)，等等.

圖2 函數(shù)與其他主線之間的聯(lián)系

根據(jù)主線間的橫向聯(lián)系，教材通過加強(qiáng)聯(lián)系來突出數(shù)學(xué)的整體性，主要做法有：(1)強(qiáng)化子概念的橋梁作用.不同主線之間的聯(lián)系是通過主線核心概念的某些子概念建立的，因此呈現(xiàn)這些子概念時(shí)，特別突出了“橋梁”的搭建過程.比如與其他主線建立聯(lián)系最多的三角函數(shù)，關(guān)注了兩個(gè)“對(duì)應(yīng)”的建立：一是，角本身是一個(gè)幾何對(duì)象，引入弧度制，角和實(shí)數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)，符合對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)定義；二是，將角放在坐標(biāo)系中，角的變化與單位圓上點(diǎn)的變化建立了對(duì)應(yīng)，再利用圓的幾何性質(zhì)，就可以得到相應(yīng)的三角函數(shù)之間的關(guān)系，像誘導(dǎo)公式等.再如一元線性回歸模型，借助一次函數(shù)建立回歸模型，同時(shí)通過兩者的區(qū)別說明了回歸模型的含義.(2)繪制關(guān)系框圖.為了簡(jiǎn)單、明確地表明知識(shí)之間的邏輯發(fā)展和相互聯(lián)系，教材在小結(jié)中采用了框圖形式.比如圖3[注]人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室，普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)(送審本)：98.，就表明了復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、有理數(shù)，以及和平面向量、三角函數(shù)之間的關(guān)系.

圖3 關(guān)系框圖

2 展現(xiàn)知識(shí)和思維發(fā)生發(fā)展的雙過程

在教材整體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)之后，更為具體化、可視化的是教材的呈現(xiàn)，即如何在數(shù)學(xué)知識(shí)的表述中體現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，將知識(shí)學(xué)習(xí)與素養(yǎng)培養(yǎng)融為一體.我們認(rèn)為，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，無論是培養(yǎng)能力還是形成品德，都會(huì)具有數(shù)學(xué)的基本特征，而數(shù)學(xué)就是思維的科學(xué)，只有具有了數(shù)學(xué)的思維方式，擁有了一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，才能以數(shù)學(xué)的眼光觀察和發(fā)現(xiàn)問題，才能以數(shù)學(xué)的思想和方法分析和解決問題，才能在這個(gè)過程中養(yǎng)成探索精神和理性精神，才能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)在形成人生觀、價(jià)值觀、世界觀等方面的獨(dú)特作用.因此，教材以“展現(xiàn)雙過程”為橋梁，基于知識(shí)學(xué)習(xí)，以思維能力的培養(yǎng)為核心，并由此延伸到一般能力和個(gè)人品德的培養(yǎng).

2.1 基于知識(shí)的發(fā)生發(fā)展，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維方式

當(dāng)我們強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)不只是學(xué)習(xí)知識(shí)，還要學(xué)習(xí)思想和方法時(shí)，我們需要展現(xiàn)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程，讓學(xué)生通過經(jīng)歷這個(gè)過程，學(xué)會(huì)知識(shí)、掌握方法、理解思想；同樣地，如果要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，那么就需要讓學(xué)生使用數(shù)學(xué)思維方法，經(jīng)歷思考的過程.概括而言，就是讓學(xué)生以數(shù)學(xué)的思維方式經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展，既學(xué)會(huì)了知識(shí)，又受到了研究方法的訓(xùn)練，從而培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng).

知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程大致為：從哪里來，即數(shù)學(xué)對(duì)象的背景；如何獲得的，即數(shù)學(xué)對(duì)象的產(chǎn)生；具有哪些性質(zhì)、有何拓展與應(yīng)用，即數(shù)學(xué)對(duì)象的發(fā)展.相應(yīng)地，實(shí)現(xiàn)這個(gè)過程的數(shù)學(xué)思維方式大致為：觀察客觀現(xiàn)象，分析其主要特征，抽象出概念；然后通過探索，運(yùn)用直觀想象、歸納、比較，做出某種猜想；對(duì)猜想進(jìn)行證明，需要進(jìn)一步的深入分析、計(jì)算和邏輯推理，揭示出事物的內(nèi)在規(guī)律.例如圖4，展示了函數(shù)的發(fā)生發(fā)展和數(shù)學(xué)思維方式之間的一些主要關(guān)系，觀察背景實(shí)例，抽象概括出概念，通過比較歸納獲得性質(zhì)，運(yùn)用分析與綜合進(jìn)行論證和應(yīng)用.

圖4

2.2 兩個(gè)案例：指數(shù)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

為了較為直觀具體地說明如何通過展開知識(shí)和思維發(fā)生發(fā)展的“雙過程”，從而將知識(shí)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)相融合，下面來分析兩個(gè)案例.

1．指數(shù)函數(shù)的概念：數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

“指數(shù)”最初是多次自乘的一種縮寫符號(hào)，“指數(shù)法則：aman=am+n”也可以看成結(jié)合律的一種特殊情形.當(dāng)“保持指數(shù)法則”不變時(shí)，逐步地把指數(shù)從整數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)、一直到實(shí)數(shù)后，就得到一個(gè)函數(shù)，即指數(shù)函數(shù).同時(shí)，指數(shù)函數(shù)也是一類自然規(guī)律的數(shù)學(xué)抽象，它刻畫的是某類增長(zhǎng)率為定值的變化事物，即變化事物的增長(zhǎng)速率與其自身成正比，而線性函數(shù)的增長(zhǎng)速率為定值，所以指數(shù)函數(shù)是級(jí)數(shù)增長(zhǎng)，也就是通常所說的指數(shù)爆炸.

在高中階段，“無理數(shù)指數(shù)冪”實(shí)現(xiàn)了指數(shù)從整數(shù)到實(shí)數(shù)的推廣，明確了其意義與運(yùn)算性質(zhì).“指數(shù)函數(shù)”則是作為刻畫某一類自然規(guī)律的函數(shù)學(xué)習(xí)，因此，指數(shù)函數(shù)的概念是從這一類自然規(guī)律中抽象獲得.但是在抽象過程中，很關(guān)鍵的是對(duì)于數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算特點(diǎn)的分析，通過分析，去掉非本質(zhì)的，保留本質(zhì)的屬性，獲得共同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).

(1)精選例子：觀察—分析

在數(shù)學(xué)研究中，數(shù)學(xué)抽象的第一步是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象，即從紛繁復(fù)雜的情景中發(fā)現(xiàn)一些反復(fù)出現(xiàn)的、預(yù)示著某種規(guī)律性的數(shù)學(xué)現(xiàn)象.由于教科書的局限性，不可能呈現(xiàn)這種復(fù)雜的情景，因此，教科書一般需要精挑細(xì)選作為數(shù)學(xué)抽象情景的例子.根據(jù)指數(shù)函數(shù)刻畫的自然規(guī)律類型，教科書精選了兩個(gè)實(shí)例：旅游經(jīng)濟(jì)問題和碳14衰減問題.第一個(gè)實(shí)例有兩個(gè)特點(diǎn)：一是貼近實(shí)際，A，B兩地景區(qū)的數(shù)據(jù)均源于真實(shí)數(shù)據(jù)，兩地景區(qū)的游客人數(shù)變化分別呈線性增長(zhǎng)和指數(shù)增長(zhǎng)；二是以表格呈現(xiàn)原始數(shù)據(jù)，學(xué)生需要通過觀察、作圖、運(yùn)算等發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的規(guī)律.第二個(gè)實(shí)例是經(jīng)典的指數(shù)函數(shù)問題，直接給出了變化規(guī)律：生物體死亡后，它體內(nèi)碳14含量會(huì)按確定的比率衰減，學(xué)生需要根據(jù)這個(gè)規(guī)律寫出碳14含量與死亡年數(shù)的關(guān)系式.兩個(gè)實(shí)例，一個(gè)是指數(shù)增長(zhǎng)，一個(gè)是指數(shù)衰減；一個(gè)需要觀察和分析數(shù)據(jù)，一個(gè)需要觀察和分析關(guān)系式的變化特點(diǎn).

(2)恰時(shí)恰點(diǎn)設(shè)問：分析—抽象—比較—概括—抽象[5]

設(shè)問是引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，展現(xiàn)思維過程的重要手段.恰時(shí)恰點(diǎn)地設(shè)問，是教科書編寫的目標(biāo)之一，也是不斷改進(jìn)的環(huán)節(jié)之一.對(duì)于旅游經(jīng)濟(jì)這個(gè)實(shí)例，通過數(shù)據(jù)及其圖象，學(xué)生能觀察到數(shù)據(jù)的變化規(guī)律：A地景區(qū)的游客人數(shù)呈線性增長(zhǎng)，B地景區(qū)的游客人數(shù)呈非線性增長(zhǎng).那么，這種非線性增長(zhǎng)的特點(diǎn)是什么？是否可以用數(shù)學(xué)工具刻畫呢？這時(shí)，簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)和圖象趨勢(shì)的觀察和分析，已經(jīng)不能解決這些問題，需要尋找方法深入分析和比較.因此，教科書設(shè)置“探究”欄目提出問題：年增加量是對(duì)相鄰兩年的游客人次做減法得到的.能否通過對(duì)B地景區(qū)每年的游客人次做其他運(yùn)算發(fā)現(xiàn)游客人次的變化規(guī)律？通過這個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生思考通過運(yùn)算精細(xì)分析數(shù)據(jù)間的數(shù)量關(guān)系，加一加、除一除，會(huì)發(fā)現(xiàn)B地景區(qū)的游客人次的年增長(zhǎng)率是一個(gè)常數(shù).那么，這一規(guī)律的數(shù)學(xué)屬性是什么？是否具有一般性？教科書通過分別分析兩個(gè)實(shí)例中關(guān)系式的運(yùn)算特點(diǎn)(指數(shù)冪)，抽象出各自的函數(shù)解析式之后，比較這兩個(gè)函數(shù)關(guān)系，概括它們的共同屬性，區(qū)分出本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性(比如由背景造成的定義域限制等)，抽象出指數(shù)函數(shù)的概念.

2. 導(dǎo)數(shù)的概念：直觀想象素養(yǎng)與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念的獲得，一般都通過數(shù)學(xué)抽象獲得.但是在這個(gè)過程中，根據(jù)知識(shí)的特點(diǎn)，運(yùn)用的思維方式不同，側(cè)重的數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)也不同.比如，指數(shù)函數(shù)概念的抽象，關(guān)鍵在于對(duì)運(yùn)算特點(diǎn)的分析，因此培養(yǎng)了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；而對(duì)于導(dǎo)數(shù)概念的抽象，其過程大致為：直觀的物理概念(速度)和幾何概念(切線)—樸素的數(shù)學(xué)想法—分析方法—符號(hào)表示—分析定義.由于高中階段并不介紹嚴(yán)格的極限定義，因此導(dǎo)數(shù)概念的獲得更需要對(duì)于無限的直觀想象和逼近思想的領(lǐng)悟，也就需要較強(qiáng)的直觀想象素養(yǎng).

從歷史上來看，導(dǎo)數(shù)這樣一個(gè)概念，其抽象過程也充滿了直覺、靈感、困惑、頓悟、質(zhì)疑等，因此相較于指數(shù)函數(shù)的“精選例子”和“設(shè)問”，對(duì)于導(dǎo)數(shù)，教科書更加關(guān)注“表明想法”和“明確道理”，讓學(xué)生充分運(yùn)用直觀想象、觀察分析、抽象概括等思維方式獲得導(dǎo)數(shù)的定義，感悟?qū)?shù)的意義.

(1)表明想法

無論是從直觀的速度概念還是切線概念出發(fā)，都需要想象“無限”是怎么回事.生物學(xué)是使用顯微鏡觀察微生物，而數(shù)學(xué)是用思維的顯微鏡想象無限.物質(zhì)的顯微鏡受倍率限制，而思考的顯微鏡可以無限.比如，把拋物線f(x)=x2在點(diǎn)(1，1)處放大10倍，100倍，點(diǎn)(1，1)附近的曲線彎曲越來越不明顯，這就像我們生活在地球的某一處很難感覺到地球是圓的一樣.繼續(xù)擴(kuò)大倍數(shù)，1000倍，10000倍……運(yùn)用思維的力量大膽想象，點(diǎn)(1，1)附近曲線的無限小部分變成了直線，而這條直線的無限延長(zhǎng)就成了切線.

首先，教科書借助速度概念和切線概念的直觀性引導(dǎo)學(xué)生開啟想象之門.例如，對(duì)于跳水運(yùn)動(dòng)，直觀感受運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水過程中運(yùn)動(dòng)的快慢；對(duì)于切線，直觀感受圓的切線定義(一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn))的局限性等.然后，在困惑、頓悟、靈感(思想)之處用一些話語點(diǎn)明想法的源頭和實(shí)施方法，例如對(duì)于跳水運(yùn)動(dòng)在某個(gè)時(shí)間段內(nèi)遠(yuǎn)動(dòng)員的平均速度為0，提出問題“用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題”“如何計(jì)算瞬時(shí)速度”后，要求學(xué)生想象：如果不斷地縮短時(shí)間段的長(zhǎng)度，那么平均速度和瞬時(shí)速度有何關(guān)系.同時(shí)還利用旁注點(diǎn)明：用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)研究問題是微積分的重要思想.接下來，在切線研究時(shí)，教科書類比瞬時(shí)速度，要求學(xué)生用這種運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)想象割線的變化趨勢(shì)，而且在展示動(dòng)態(tài)的局部放大的圖象變化時(shí)，又用旁注點(diǎn)明：數(shù)學(xué)上常用簡(jiǎn)單的對(duì)象刻畫復(fù)雜的對(duì)象.這里，我們用曲線上某點(diǎn)處的切線近似代替這一點(diǎn)附近的曲線，這就是微積分中重要的思想方法——以直代曲.

(2)明確道理

結(jié)束語

在教材編寫中，“如何將數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)素養(yǎng)融為一體”這個(gè)問題既是重點(diǎn)又是難點(diǎn).從前期研究到中期實(shí)驗(yàn)再到后期編寫，我們逐漸認(rèn)識(shí)到二者的相輔相承以及“融合”的自然而然.數(shù)學(xué)知識(shí)具有邏輯性和聯(lián)系性，數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有連續(xù)性和階段性，因此，都需要站在系統(tǒng)的高度編、教、學(xué)，這樣才能看到其中的“盤根錯(cuò)節(jié)”和“渾然一體”；具體到每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，特別是核心知識(shí)，側(cè)重的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不同，因此，需要根據(jù)知識(shí)的特點(diǎn)，分析其蘊(yùn)含的最突出的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，展開知識(shí)和思維發(fā)生發(fā)展的雙過程，才能深入本質(zhì)，明察秋毫.