多個(gè)點(diǎn)電荷平衡與非平衡的進(jìn)階學(xué)習(xí)

安徽

多個(gè)點(diǎn)電荷在彼此間的靜電力作用下處于平衡或非平衡狀態(tài)，點(diǎn)電荷可以保持靜止也可以做變速運(yùn)動(dòng)，軌跡可以是直線，也可以是曲線。解題的方法可以采用動(dòng)態(tài)分析、相似形、整體法和隔離法等。

一、兩個(gè)點(diǎn)電荷的平衡與非平衡

1.1 兩個(gè)點(diǎn)電荷的平衡

【例1】如圖1，兩個(gè)帶有同種電荷的小球，用絕緣細(xì)線懸掛于O點(diǎn)，若平衡時(shí)兩小球到過O點(diǎn)的豎直線的距離相等，則兩小球的質(zhì)量關(guān)系為

( )

A.m1>m2B.m1=m2

C.m1

圖1

圖2

【反思】共點(diǎn)力平衡問題的解題方法有解析法、圖象法，對于三個(gè)力的平衡往往可以采取圖象法，可以構(gòu)建直角三角形，也可以構(gòu)建普通三角形，對于普通三角形可以采用正弦定理、余弦定理，也可以采用相似形求解。

1.2 兩個(gè)點(diǎn)電荷的非平衡

圖3

【例2】

如圖3，帶電粒子

A

帶正電，帶電粒子

B

帶負(fù)電，僅在彼此間的庫侖力作用下繞連線上某點(diǎn)

O

做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是

( )

A.它們做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小相等

B.它們的運(yùn)動(dòng)半徑與電荷量成正比

C.它們的角速度相等

D.它們的線速度與質(zhì)量成正比

【反思】此情景類似雙星問題，彼此間的庫侖引力提供各自的向心力，兩點(diǎn)電荷角速度相等、周期相等，半徑和質(zhì)量成反比，線速度大小和質(zhì)量成反比。

二、三個(gè)點(diǎn)電荷的平衡與非平衡

2.1 三個(gè)點(diǎn)電荷的平衡

【例3】如圖4，在光滑絕緣水平面上放置電荷量分別為q1、q2、q3的三個(gè)點(diǎn)電荷，三者位于一條直線上，已知q1與q2之間的距離為r1，q2與q3之間的距離為r2，三個(gè)點(diǎn)電荷僅在彼此間的庫侖力作用下均處于平衡狀態(tài)。

圖4

(1)若

q

2

為正電荷，判斷

q

1

和

q

3

的電性；

(2)求q1、q2、q3三者電荷量大小之比。

【分析與解】(1)三個(gè)點(diǎn)電荷僅在彼此間的庫侖力作用下均處于平衡狀態(tài)，每個(gè)點(diǎn)電荷受到的庫侖力均為等大反向的一對平衡力，所以當(dāng)q2為正電荷，q1和q3必為負(fù)電荷。

【反思】這是一道經(jīng)典的三個(gè)點(diǎn)電荷的平衡模型，關(guān)鍵采用假設(shè)分析法確定三個(gè)點(diǎn)電荷的電性關(guān)系“兩同夾異”，利用平衡問題構(gòu)建電荷量的關(guān)系“兩大夾小、近小遠(yuǎn)大”。

2.2 三個(gè)點(diǎn)電荷的非平衡

圖5

【例4】如圖5，兩個(gè)固定的帶電荷量均為+q的點(diǎn)電荷a、b，相距為L，通過它們的連線中點(diǎn)O作此線段的垂直平面，在此平面內(nèi)恰好有一個(gè)質(zhì)量為m，帶電荷量為-q的點(diǎn)電荷c以O(shè)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，a、b、c三個(gè)點(diǎn)電荷構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，已知靜電力常量為k，點(diǎn)電荷c的重力不計(jì)。則c的速率為

( )

圖6

【反思】圓周運(yùn)動(dòng)的求解基本思路為確定軌道平面、確定軌道圓心、確定軌道半徑以及確定向心力來源。

【例5】如圖7，光滑絕緣水平面上有三個(gè)孤立的點(diǎn)電荷Q1、Q2、Q3，其中Q2恰好靜止不動(dòng)，Q1、Q3圍繞Q2做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中三個(gè)點(diǎn)電荷始終共線。已知Q1、Q3分別與Q2相距r1、r2，不計(jì)點(diǎn)電荷間的萬有引力，下列說法正確的是

( )

A.Q1、Q3一定是同種電荷

圖7

B.

Q

1

、

Q

3

可能是異種電荷

【反思】此模型類似三星問題，天體間的相互作用力表現(xiàn)為萬有引力，但電荷間的相互作用力既有引力也有斥力。兩個(gè)模型的核心均是分析受力情況以及力的作用效果，達(dá)到平衡還是非平衡，合力為零還是提供向心力等。

三、四個(gè)點(diǎn)電荷的平衡與非平衡

3.1 四個(gè)點(diǎn)電荷的平衡

圖8

【例6】如圖8，水平面上A、B、C三點(diǎn)固定著三個(gè)電荷量均為Q的正點(diǎn)電荷，將另一質(zhì)量為m的帶正電的小球(可視為點(diǎn)電荷)放置在O點(diǎn)，OABC恰構(gòu)成一棱長為L的正四面體。已知靜電力常量為k，重力加速度為g，為使小球能靜止在O點(diǎn)，小球所帶的電荷量為

( )

圖9

【反思】本題的背景是三維立體，對學(xué)生的空間想象能力要求較高。通?？梢圆捎媒稻S思想，用兩個(gè)二維平面等效替代三維立體，也可以建立三維坐標(biāo)系分析。

【例7】如圖10，在光滑絕緣的水平桌面上有四個(gè)小球，所帶電荷量分別為-q、+Q、-q、+Q。四個(gè)小球構(gòu)成一個(gè)菱形，-q、-q的連線與-q、+Q的連線之間的夾角為α。若此系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，則正確的關(guān)系式是

( )

圖10

圖11

【反思】本題的四個(gè)點(diǎn)電荷僅在彼此間的庫侖力作用下都處于平衡，解題的關(guān)鍵在于受力分析，構(gòu)建平衡方程。

3.2 四個(gè)點(diǎn)電荷的非平衡

【例8】如圖12，邊長為L的等邊三角形△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均有帶電荷量為Q的點(diǎn)電荷，三角形的中心O點(diǎn)有一帶電荷量為-Q的點(diǎn)電荷，四個(gè)點(diǎn)電荷僅在彼此間的靜電力作用下構(gòu)建一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)，A、B、C三個(gè)點(diǎn)電荷繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每個(gè)點(diǎn)電荷質(zhì)量均為m。試求：A、B、C三個(gè)點(diǎn)電荷繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期。

圖12

圖13

【分析與解】根據(jù)對稱性易知處在中心O點(diǎn)的點(diǎn)電荷處于平衡狀態(tài)，對處于頂點(diǎn)的點(diǎn)電荷受力分析如圖13，合力提供向心力。

【反思】四個(gè)點(diǎn)電荷僅在彼此間的庫侖力作用下構(gòu)建一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)類似于四星系統(tǒng)，相比較天體模型，本題不僅需要考慮彼此間的引力還需要考慮斥力。

【例9】如圖14，邊長為L的正方形ABCD的A、C兩個(gè)頂點(diǎn)具有電荷量為+q的點(diǎn)電荷，B、D兩個(gè)頂點(diǎn)具有電荷量為-q的點(diǎn)電荷，四個(gè)點(diǎn)電荷僅在彼此間的靜電力作用下構(gòu)建一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)，繞正方形ABCD的中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每個(gè)點(diǎn)電荷質(zhì)量均為m。試求：四個(gè)點(diǎn)電荷做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率。

圖14

圖15

【分析與解】根據(jù)題意四個(gè)點(diǎn)電荷都繞正方形ABCD的中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，彼此間的靜電力提供各自的向心力。受力分析如圖15。

【反思】例題2、例題5、例題9都類似于天體的多星模型，兩者間有相似的地方——彼此間的相互作用力提供向心力；也有相異的地方——天體間的相互作用力表現(xiàn)為引力，點(diǎn)電荷間的相互作用力不僅有引力，還有斥力。

【總結(jié)】通過以上的分層學(xué)習(xí)，層層推進(jìn)、步步為營，前一題的學(xué)習(xí)為后面設(shè)置了足夠的平臺(tái)，學(xué)生的思維也較為順利的建立。從不同角度的發(fā)散較好地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，拓寬了學(xué)生的思維廣度，同時(shí)利用定量的分析有效加強(qiáng)了思維的深度。