基于多物理場(chǎng)的圖像處理中的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)*

（青島理工大學(xué)理學(xué)院 青島 266520）

1 引言

圖像在采集和處理過(guò)程中，由于成像方法和設(shè)備條件的限制不可避免地要受到不同程度的污染。圖像中的邊緣、細(xì)節(jié)特征等重要信息常湮沒于噪聲信號(hào)中，給圖像的后處理帶來(lái)很大的影響，因此提高圖像質(zhì)量是圖像處理中最重要的目標(biāo)。

近年來(lái)偏微分方程（Partial Differential Equations，PDEs）［1～3］理論已經(jīng)成為一種有效的圖像處理技術(shù)，基于PDEs的圖像濾波方法直接利用圖像的局部特征，在空域設(shè)計(jì)相應(yīng)的濾波方程，以達(dá)到去噪的效果。最為經(jīng)典的是由Perona-Malik［4］提出的各向異性擴(kuò)散模型（P-M模型），該模型利用圖像的梯度模值控制擴(kuò)散函數(shù)，但是去噪后的圖像往往在本該光滑的區(qū)域產(chǎn)生階梯效應(yīng)，且紋理等細(xì)節(jié)信息會(huì)丟失。1992年，F(xiàn).Catte et al.［5］針對(duì) P-M模型的不足提出了正則化的P-M模型，理論上證明了它的適定性問(wèn)題。1992 年，Rudin-Osher-Fatemi［6］將全變分引入圖像處理中，提出基于變分的PDEs模型——TV模型，其主要思想是根據(jù)圖像處理的要求建立能量泛函和約束條件，并將求泛函極值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解偏微分方程。1996 年，Weickert［7］提出各向異性的張量擴(kuò)散模型，該模型利用每一像素的梯度信息來(lái)構(gòu)造散布矩陣，獲得更豐富的圖像局部結(jié)構(gòu)信息，利用這些局部結(jié)構(gòu)來(lái)控制擴(kuò)散過(guò)程，以實(shí)現(xiàn)更好的圖像濾波。由于梯度運(yùn)算對(duì)高頻噪聲比較敏感，使得噪聲方差放大，因此為了保證擴(kuò)散方程的適定性，需要先對(duì)含有噪聲的圖像進(jìn)行Gaussian預(yù)濾波。然而經(jīng)過(guò)Gaussian光滑后，圖像較弱的邊緣在一定程度上也得到了模糊，紋理信息也被破壞。2002 年，Gilboa et al.［8］提出了基于正倒向擴(kuò)散（Forward-Backward Diffusion）的自適應(yīng)去噪模型。2013年，Xiaoping Ji［9］基于P-M模型提出了一種新的非線性混合擴(kuò)散模型并證明了解的存在唯一性。2014年，V.B.Surya Prasath et al.［10］基于圖像恢復(fù)提出了耦合PDEs模型并證明了解的適定性問(wèn)題；2016年，Y.Zhu et al.［11］提出了C-模型和P-M模型的凸性相耦合的非線性擴(kuò)散模型并證明了其弱解的存在性。2016 年，S.Tebini et al.［12］提出了一種新的數(shù)學(xué)各向異性擴(kuò)散函數(shù)，克服了傳統(tǒng)方法的缺點(diǎn)。這些模型的重點(diǎn)是如何利用圖像的特征信息構(gòu)造擴(kuò)散系數(shù)，從而去除噪聲，增強(qiáng)邊緣。

為了避免由于梯度模值和Gaussian預(yù)濾波造成的問(wèn)題，提出一種新的擴(kuò)散思想。該方法的核心是用圖像的物理性質(zhì)代替圖像的幾何性質(zhì)。圖像作為多孔介質(zhì)材料，圖像的灰度值作為多孔介質(zhì)的滲透率。將達(dá)西滲流方程與非線性擴(kuò)散方程耦合，建立一種新的多物理場(chǎng)耦合模型（MPM模型）。該模型主要建立在P-M模型的基礎(chǔ)上。

2 傳統(tǒng)的各向異性擴(kuò)散模型

2.1 P-M模型

1990年，Perona-Malik（P-M）提出了各向異性非線性擴(kuò)散方程：

其中，| ?u|表示梯度模值，u0(x)表示原始圖像，擴(kuò)散函數(shù)g(s)是一個(gè)光滑的非增函數(shù)。

P-M模型中定義了兩個(gè)g(s)函數(shù)形式：K表示閾值，g(s)滿足以下條件：

1）g(s)是以| ?u|為自變量的單調(diào)遞減函數(shù)。在圖像的平坦區(qū)域，擴(kuò)散函數(shù)能自動(dòng)增大，這樣就可以使平坦區(qū)域中較小的噪聲被平滑；在圖像的邊緣附近，擴(kuò)散函數(shù)能自動(dòng)減小，那么邊緣則可幾乎不受影響。

2）當(dāng)|s|→∞時(shí)，g(s)→0。擴(kuò)散系數(shù)減小，邊緣得到保持。

3）當(dāng) |s|→0時(shí)，g(s)→1。P-M模型類似于熱傳導(dǎo)方程，能更好地去除噪聲。

P-M模型（以及它的正則化形式［5］）是利用圖像的幾何特征引導(dǎo)擴(kuò)散過(guò)程，但是圖像的局部結(jié)構(gòu)信息并不僅僅表現(xiàn)為圖像的梯度。因此，P-M模型存在著以下的缺陷和局限性：

1）在噪聲處，圖像的梯度可能非常大，此時(shí)平滑系數(shù)較小，噪聲點(diǎn)被保留下來(lái)；

2）P-M是病態(tài)模型，不穩(wěn)定。

2016年，S.Tebini et al.［12］提出了一種新的各向異性擴(kuò)散函數(shù)：

其中，g(s)是以| ?u|為自變量的減函數(shù)，K表示閾值。該模型在形式上和P-M模型類似，優(yōu)點(diǎn)在于收斂速度快，能夠減少去噪時(shí)間，保證圖像的細(xì)節(jié)和邊緣信息不被破壞。

2.2 張量擴(kuò)散模型

1996年，Weickert提出了各向異性擴(kuò)散方程的濾波方法：

其中，D(Jρ)表示2×2擴(kuò)散張量矩陣，它的元素是通過(guò)散布矩陣（scatter matrix）。

為了保證擴(kuò)散方程的適定性，需要先對(duì)噪聲圖像進(jìn)行Gaussian預(yù)濾波。然而經(jīng)過(guò)局部光滑后，圖像較弱的邊緣也一定程度地得到了模糊，一些紋理信息也被破壞。

3 MPM模型

3.1 MPM的物理背景

滲流力學(xué)是研究流體在多孔介質(zhì)中自由運(yùn)動(dòng)規(guī)律的科學(xué)，流體能夠在多孔介質(zhì)中滲流是由于各種力的作用，滲透率是多孔介質(zhì)的一個(gè)重要特性參數(shù)，表示多孔介質(zhì)對(duì)流體的滲透能力，它是依賴于Darcy定律而被定義的。Darcy定律可看做多孔介質(zhì)中略去慣性力的特殊情況下，穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。其具體形式可表示為

其中K為滲透系數(shù)，反映多孔介質(zhì)特性的參數(shù)，表示允許流體通過(guò)的潛在能力。

滲流連續(xù)性方程［13］為

其中：為介質(zhì)的滲流速度。

假定均質(zhì)等溫不可壓縮流體在骨架不可壓縮含水層中的滲流：

則式（9）簡(jiǎn)化為

為了避免因梯度和Gaussian預(yù)濾波造成的問(wèn)題，我們希望擴(kuò)散過(guò)程僅僅依賴于圖像本身。因此提出了以滲流場(chǎng)中的|v→|代替圖像的| ?u|來(lái)引導(dǎo)圖像濾波的非線性擴(kuò)散過(guò)程。依據(jù)式（8）和式（11），建立滲流場(chǎng)中速度方程：

K(u)＞0為可選擇滲透函數(shù)，新的多物理場(chǎng)耦合模型（MPM）：

式13(a)、(e)和(f)為P-M模型的非線性擴(kuò)散方程，式13(b)、(c)和(d)為達(dá)西滲流方程。Ω?Rn為有界區(qū)域，?Ω適→當(dāng)光滑，n是Ω的單位外法向量，ρ為流體密度，v為滲流場(chǎng)流體速度，p為滲流場(chǎng)流體壓強(qiáng)，μ為粘性系數(shù)，K(u)＞0為可選擇滲透函數(shù)，β和Qm為已知有界光滑函數(shù)。在數(shù)學(xué)上，我們已經(jīng)證明了MPM模型在Hilbert空間上弱解的存在唯一性。

3.2 MPM點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的的新提法

各向異性擴(kuò)散是一種有效的平滑處理方法，其目的是去除噪聲同時(shí)保留圖像細(xì)節(jié)和邊緣信息。依據(jù)滲流速度場(chǎng)提出了一種新的自適應(yīng)平滑擴(kuò)散函數(shù)，其基本思想是：在速度值小的地方不擴(kuò)散，在速度值大的地方擴(kuò)散。

新的擴(kuò)散函數(shù)形式如下：

g(s)是一個(gè)單調(diào)遞增的標(biāo)量函數(shù)，s=||表示滲流場(chǎng)中速度模值的大小。在滲流速度較大的地方，益于平滑，能夠有效地去除噪聲；在滲流速度較小的地方，控制平滑，能夠有效地保持邊緣細(xì)節(jié)信息。

3.3 擴(kuò)散函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)

定義通量函數(shù)：

與P-M模型相比，所提出的函數(shù)收斂速度快，通量函數(shù)變化快。

如圖1所示，MPM模型的通量函數(shù)變化較快。這證明了去噪過(guò)程的處理時(shí)間是非常迅速的。因此，保證了在擴(kuò)散過(guò)程中對(duì)圖像邊緣和內(nèi)容的保

MPM對(duì)應(yīng)的通量函數(shù)為護(hù)。在圖2中，MPM模型的圖像邊緣的擴(kuò)散系數(shù)很低，這保證了邊緣不會(huì)被破壞。截面部分充分展現(xiàn)了擴(kuò)散系數(shù)的變化。

圖1 MPM、P-M、g3(s)的擴(kuò)散函數(shù)和通量函數(shù)的對(duì)比

4 數(shù)值仿真和分析

本文給出并討論了該模型的一些數(shù)值例子，并與P-M模型進(jìn)行了比較。峰值信噪比（peak-signal-noise-rate）和均方誤差（mean-square-error）用于評(píng)價(jià)去噪結(jié)果的質(zhì)量。它們的定義是：

u0表示原始無(wú)噪聲圖像，u表示濾波后的圖像，圖像大小為M×N。PSNR值越大說(shuō)明濾波效果越好。

邊緣保持指數(shù)越接近于1，表示濾波方法的邊緣保持效果越好。

圖2 P-M和MPM點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的二維視圖、三維視圖以及截面圖

圖3 P-M和MPM模型的去噪效果

圖4 不同模型的去噪結(jié)果

表1 兩種方法定量比較

圖3是兩種方法得到的結(jié)果，小山圖像。用高斯白噪聲加標(biāo)準(zhǔn)偏差，在上面的計(jì)算中，我們選擇了相同的時(shí)間（2s）。表1是兩種方法的定量比較。結(jié)果表明，與P-M模型相比，該方法具有更好的平滑和邊緣保持效果。另外我們的模型比P-M模型能更好地提高PSNR和EPI。

表2 兩個(gè)模型EPI值比較

圖4中可以看出MPM模型保持圖像邊緣的效率。在這種情況下，我們顯示原始圖像和過(guò)濾圖像之間的區(qū)別。表2顯示對(duì)去噪圖像的EPI值進(jìn)行了比較，并與P-M模型進(jìn)行了比較。該模型實(shí)現(xiàn)了比P-M更高的EPI，證明了該方案的有效性和較高的恢復(fù)質(zhì)量。顯然，無(wú)論是對(duì)于圖像的視覺質(zhì)量，還是對(duì)于復(fù)原圖像的定量評(píng)價(jià)，我們的方法仍然優(yōu)于P-M模型。

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)圖像處理所提出的多物理場(chǎng)耦合的模型，具有實(shí)際的物理背景。為了避免因梯度和Gaussian預(yù)濾波造成的問(wèn)題，我們希望擴(kuò)散過(guò)程僅僅依賴于圖像本身。本文基于滲流場(chǎng)提出了更有效的自適應(yīng)去噪模型，擴(kuò)散函數(shù)比傳統(tǒng)模型的收斂速度更快。而在圖像質(zhì)量評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)中，在峰值信噪比和邊緣保持指數(shù)相當(dāng)?shù)那闆r下，所用時(shí)間大大減少，能更好地去除噪聲并保持圖像細(xì)節(jié)和邊緣信息。