小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的滲透研究

葉儉平

（吉水縣思源實(shí)驗(yàn)學(xué)校，江西 吉安 331600）

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重加強(qiáng)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的滲透應(yīng)用，借助直觀性較強(qiáng)的“形”對(duì)抽象性較強(qiáng)的“數(shù)”進(jìn)行分析，基于“數(shù)”的本質(zhì)對(duì)“形”進(jìn)行探討，引導(dǎo)學(xué)生深入理解各類數(shù)學(xué)概念和相關(guān)知識(shí)，并有效增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)教師要深刻認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)和重要作用，立足于教學(xué)實(shí)踐，積極探究有效策略加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透應(yīng)用。

一、數(shù)形結(jié)合思想概述

數(shù)形結(jié)合，是指借助空間圖形表示數(shù)量關(guān)系，同時(shí)，可對(duì)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之成為空間圖形，實(shí)現(xiàn)數(shù)形二者的緊密結(jié)合，降低數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性。對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行應(yīng)用，要遵循如下原則：（1）可行性原則，要注重?cái)?shù)與形二者確實(shí)能相互轉(zhuǎn)化，要確保數(shù)量關(guān)系與幾何圖形二者間具有等價(jià)的邏輯關(guān)系。（2）數(shù)形兼顧原則，要注重具體的教學(xué)情境，不論是以形解數(shù)，還是以數(shù)解形，或者是數(shù)形互助，均須兼顧數(shù)和形二者，不可偏廢。（3）經(jīng)濟(jì)性原則，要借助數(shù)和形的相互轉(zhuǎn)換，方便學(xué)生深入理解并準(zhǔn)確掌握幾何圖形或者數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)。在解題過程中，可以借助數(shù)形結(jié)合思想，緊扣數(shù)學(xué)問題的解題關(guān)鍵，清晰整理解題思路，實(shí)現(xiàn)正確快速解題。[1]

二、數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的滲透

1.以形解數(shù)

以形解數(shù)，是指對(duì)于抽象性較強(qiáng)的數(shù)量關(guān)系，將之轉(zhuǎn)化為具有較強(qiáng)直觀性的幾何圖形，或者具有圖形運(yùn)動(dòng)特征的實(shí)物、直角坐標(biāo)系、數(shù)軸、文氏圖、線段圖、框圖以及表格等，將抽象的數(shù)學(xué)問題以清晰直觀的方式呈現(xiàn)表達(dá)出來。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師可通過以形解數(shù)的方式啟蒙學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，引導(dǎo)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念。[2]

例如，筆者在向?qū)W生講解“小數(shù)的近似數(shù)”的概念時(shí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)近似數(shù)進(jìn)行表示，不能將小數(shù)末尾存在的0 去掉。學(xué)生雖然能牢固記住此概念，但是缺乏對(duì)此概念的深刻理解，極易與小數(shù)性質(zhì)的相關(guān)概念相混淆。在小數(shù)性質(zhì)中，對(duì)小數(shù)末尾的0或增或減，均不會(huì)改變小數(shù)值的大小。那么，小數(shù)近似值7.8與7.80存在怎樣的異同呢？為引導(dǎo)學(xué)生正確理解，筆者借助數(shù)軸對(duì)小數(shù)近似值7.8 與7.80 各自的取值范圍進(jìn)行清晰直觀的表示，如圖1所示：

圖1 小數(shù)近似值7.8和7.80在數(shù)軸上的取值范圍

通過圖1，學(xué)生清晰直觀地看出了近似值7.8 與7.80的異同，深刻理解了近似值7.80比7.8具有更高的精確度。筆者借助數(shù)軸清晰直觀地向?qū)W生表示近似數(shù)的概念，降低了近似數(shù)這一概念的抽象性。

2.以數(shù)解形

以數(shù)解形，是指教師引導(dǎo)學(xué)生靈活應(yīng)用各類數(shù)學(xué)語(yǔ)言，諸如數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)量關(guān)系等對(duì)直觀圖形的本質(zhì)屬性或者圖形的具體位置以及實(shí)際運(yùn)動(dòng)等進(jìn)行深刻闡釋，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)圖形蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系以及數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻把握。圖形雖然具有較強(qiáng)的直觀性，但僅憑圖形通常難以展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。對(duì)此，教師要借助數(shù)對(duì)形蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)和規(guī)律進(jìn)行詮釋。[3]

例如，筆者在向?qū)W生講解三角形的特性時(shí)，即先隨手畫了個(gè)三角形，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考，該如何對(duì)該三角形進(jìn)行表示呢？筆者采用數(shù)學(xué)符號(hào)A、B、C分別對(duì)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行表示，并告訴學(xué)生可利用三角形的三個(gè)頂點(diǎn)稱其為“三角形ABC”。這樣一來，三角形的每?jī)蓚€(gè)頂點(diǎn)即可表示一條邊，即為邊AB、邊BC、邊AC。而且，三角形的每個(gè)頂點(diǎn)均對(duì)應(yīng)三角形的一條邊，即A頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)BC邊，B頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)AC邊，C頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)AB邊。通過上述方式，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了三角形，在此基礎(chǔ)上，筆者對(duì)三角形的特性進(jìn)行總結(jié)，取得了良好的教學(xué)效果。

3.數(shù)形互譯

強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的滲透應(yīng)用，教師要秉承數(shù)形兼顧原則，通過數(shù)形互譯，兼顧直觀性較強(qiáng)的表象分析和嚴(yán)密性較強(qiáng)的邏輯推理，借助直觀性較強(qiáng)的形闡述抽象性較強(qiáng)的數(shù)，通過精準(zhǔn)的數(shù)反映數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性，實(shí)現(xiàn)數(shù)形的有效結(jié)合和統(tǒng)一。[4]具體可從以下方面著手：在數(shù)形融合的過程中，實(shí)現(xiàn)對(duì)新知識(shí)的有效構(gòu)建。例如，筆者在開展拓展延伸教學(xué)時(shí)，向?qū)W生講解了完全平方公式。筆者即通過數(shù)形互譯，利用圖形面積計(jì)算相關(guān)知識(shí)引導(dǎo)學(xué)生深刻理解了完全平方公式。如圖2所示：

圖2 （a+b）2=a2+b2+2ab面積模型

筆者引導(dǎo)學(xué)生將（a+b）2看作是大正方形的面積，大正方形的邊長(zhǎng)為a+b。然后，將大正方形劃分為兩個(gè)小正方形和兩個(gè)長(zhǎng)方形。由圖2 可知，兩個(gè)長(zhǎng)方形面積相等，均為邊長(zhǎng)ab的乘積。而兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)分別為a和b，這就意味著兩個(gè)小正方形的面積分別是a2和b2。筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察上圖可知，大正方形的面積=兩個(gè)小正方形+兩個(gè)小長(zhǎng)方形。大正方形面積為（a+b）2，兩個(gè)小正方形的面積分別是a2和b2，兩個(gè)小長(zhǎng)方形的面積均為ab。因此（a+b）2=a2+b2+2ab。通過上述方式，學(xué)生清晰直觀地理解了完全平方公式。

三、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用

小學(xué)數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的滲透應(yīng)用，能有效引導(dǎo)學(xué)生深入理解并熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題能力，并拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例如，某習(xí)題如下：2條直線相交最多存在幾個(gè)交點(diǎn)？3 條直線相交最多存在幾個(gè)交點(diǎn)？4 條呢？2017條呢？該習(xí)題實(shí)際上是對(duì)學(xué)生的歸納總結(jié)能力進(jìn)行考查，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)從特殊到一般的邏輯推理。[5]筆者引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)該習(xí)題進(jìn)行有效解決。首先，筆者引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)習(xí)題中的第一問，即2 條直線相交最多存在幾個(gè)交點(diǎn)，畫出了如圖3所示的圖形。然后，筆者向?qū)W生提問，若畫3條直線相交，怎樣畫才能得到最多的交點(diǎn)數(shù)？在學(xué)生思考的基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)將第三條直線與圖3 中畫出的兩條直線都相交，才能得到最多的交點(diǎn)數(shù)，如圖4所示。此時(shí)，3條直線相交具有1+2=3個(gè)交點(diǎn)。依次類推，應(yīng)將第四條直線與圖4中畫出的三條直線都相交，才能得到最多的交點(diǎn)數(shù)，如圖5所示。

圖3

圖4

圖5

此時(shí)，4條直線相交具有1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)。筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上述規(guī)律進(jìn)行歸納總結(jié)，得出如下結(jié)論，即n條直線相交，最多具有1+2+3+4+……+（n-1）個(gè)交點(diǎn)。因此，2017 條直線相交，即具有1+2+3+4+……+2016個(gè)交點(diǎn)。